2024年中考数学复习：中点模型专项练习

中点模型专项练习

1二次函数和圆中点模型求最大值（初三）

如图，抛物线y=#-4与x轴交于A、B两点P是以点C（0,3）为圆心,2为半径的圆上的动点，Q是线段PA

的中点，连接OQ,则线段OQ的最大值是（）

A.3C.1D.4

2直角顶点在圆上斜边上的中线中点模型（初三）如图,OM的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,点P是。M上的任

意一点PALPB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称厕AB的最小值为（）

3平行四边形的延长类中线求线段的值中点模型（初二）如图,在口ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是。

ABCD内一点,且/BFC=90。.连接AF并延长,交CD于点G.若EF〃AB,则DG的长为（）

53

X.-B,-C.3D.2

22

4正方形中多个中点中点模型三角形中位线（初二）

如图，在边长为2立的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中

点,连接GH,则GH的长度为一.

5动点构造三角形中位线求最值中点模型（初二）

如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值

为.

6动点构造三角形中位线求最值中点模型（初三）

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x与双曲线y=纹于A,B两点,P是以点C（2,2）为圆心，半径长为1的

圆上一动点，连接AP,Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2,则k的值为一.

7矩形延长类中线求线段的值中点模型（初三）

如图,在矩形ABCD中,E,F分别为边AB,AD的中点,BF与EC、ED分别交于点M,N.已知AB=4,BC=6„则

MN的长为—.

8梯子滑动型最值问题取斜边上的中线（初二）

已知：如图,Rt△ABC中，乙4BC=90°,AB=4,BC=3,两直角顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，点

C在第一象限，连接OC,则OC长的最大值是—.

9等边三角形和中点有关的基本辅助线（初二）

如图，平行四边形力BCD的顶点C在等边，△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上,G为DE的中点，连接CG.若

AD=3,AB=CF=2,则CG的长为.

10利用三角形中位线定理求线段的长（初二）

如图,矩形纸片ABCD,AB=6cm,BC=8cm„E为边CD上一点.将△沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在

AD边上的点F处，过点F作尸M，BE,垂足为点M,取AF的中点N,连接MN,则MN=cm.

11利用三角形中位线定理求线段的长中点模型（初二）

如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M、N分

别是DC、DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN=.

12构造三角形中位线中点模型求线段的长（初二）

如图，在△ABC中，乙4cB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分AABC的周长，则DE的

长是—.

ADB

13中点模型倍长类中线有全等巧用勾股定理（初二）如图，在Rt△4BC中，点D为AC的中点,DE1DF,DE交AB

于E,DF交BC于F,若AE=2百,EF=4厕FC的长是—.

14三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似（初三）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.

如图G是△2BC的重心.求证:AD=3GD.

15菱形有中点构造三角形中位线（初二）如图，在四边形ABCD中,AB\\CD,AB=AD,AC平分/.BAD.

（1）求证:四边形ABCD是菱形：

⑵若菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延

长线相交于点G,求EG的长.

16中点模型倍长中线构造全等三角形（初二）

若AABC^W△AED均为等腰三角形,且.NB2C=^.EAD=90°.

（1）如图⑴，点B是DE的中点,判定四边形BEAC的形状,并说明理由;

⑵如图⑵，若点G是EC的中点,连接GB并延长至点F,使（CF=CD.

求证:①EB=DC,®ZEBG=ZBFC.

17与中点有关的辅助线三角形中位线（初二）

如图,在矩形ABCD中MB=4,4）=6,,点P、M、N分别在边AB、AD、BC上运动，且线段MN始终经过矩形的

对称中心，则△PMN周长的最小值为.

18构造三角形中位线中点模型（初二）

⑴如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是AD.BC的中点,连接FE并延长，分别与BA,CD的延长线交于

点M,N.求证:乙BME=4CNE;

（2）如图2,在AABC中,F是BC边的中点,D是AC边上一点,E是AD的中点直线FE交BA的延长线于点G,若

AB=DC=2,/.FEC=45。,求FE的长度.

图1图2

19倍长中线法遇见中点常见辅助线（初二）如图,在4ABC中，点D为BC边上任意一点.

⑴如图1,若D为BC的中点.

①若AB=7,AC=5,则△ABD与AACD的周长之差为一;

②E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF=EF,求证:AC=BE;

⑵如图2,AD为/BAC的平分线.若AC+CD=AB,求证:ZC=2LB.

20遇见中点中线辅助线添加方法（初二）

【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①,AABC中,若,AB=12,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=4D,连接BE.请根据小明的方法思

考：

A.SASB.SSSC.AASD.HL

⑵由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是—.

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的

结论集中到同一个三角形之中.

【初步运用】如图②,AD是△4BC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=4,EC=3,.求线段BF的

长.

【灵活运用】如图③，在△ABC中，乙4=90°,D为BC中点DE1DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.

试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论.

1.解:连接BP,如图.当y=0时,”-4=0,解得久1=4,K2=-4,则A(-4,0),B(4,0),：Q是线段PA的中点，OQ

为AABP的中位线,OQ=《BP,当BP最大时.OQ最大,而BP过圆心C时.PB最大,；BC=V32+42=5,

2.解:连接PO,VPA1PB,/.ZAPB=90°,VAO=BO,.*.AB=2PO,若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值，连接

O、P、M三点共线时，PO最小,过点M作ME±y轴于点E,在RtAMOE中.0M=V42+32=5,此时PO最小值

为5-2=3,；.AB的最小值是6,故选:C.

3.解:如图,延长BF交CD的延长线于H,

四边形ABCD是平行四边形,二AB=CD=5,AB〃CD,

/.ZH=ZABF,VEF/7AB,AEF^CD,

：E是边BC的中点，；.EF是ABCH的中位线，

；.BF=FH,；NBFC=90。，；.CF_LBF,；.CF是BH的中垂线,；.BC=CH=8,，DH=CH-CD=3,

Z.ABF=4H

在AABF和AGHF中，BF=HF,

.^AFB=GFH

.二△ABF四△GFH(ASA),；.AB=GH=5,

；.DG=GH-DH=2.故选:D.

解法二:由梯形中位线可知:2EF=AB+CG,EF=4,；.2x4=5+CG,；.CG=3,；.DG=CD-CG=5-3=2

4.解:连接CH并延长交AD于P,连接PE,V四边形ABCD是正方形，，ZA=90°,AD〃BC,AB=AD=BC=2Vx

VE,F分别是边AB,BC的中点，.••TIE=CF=|X2V2=V2,

VAD/7BC,AZDPH=ZFCH,VZDHP=ZFHC,DH=FH,AAPDH^ACFH(AAS),.*.PD=CF=V2,•­.AP=AD-

PD=V2,.-.PE=VXP2+AE2=2,V点G,H分别是EC,CP的中点,GH=：PE=1;

5.解:如图所示,连接AE,

1/M,N分别是EF,AF的中点，

；.MN是AAEF的中位线,MN=^AE,

.••当AE取最大值时，MN有最大值.

V四边形ABCD是正方形,ZB=90°,

•••AE=7AB2+BE2=y/22+BE2=y/4+BE2,

当BE最大时,AE最大此时MN最大，

:点E是BC上的动点，

当点E和点C重合时,BE最大,即BC的长度,

，此时AE=V4+22=2V2,

...MN=^AE=V2,.*.MN的最大值为V2.

故答案为：V2.

6解:连接BP,点O是AB的中点，则OQ是AABP的中位线，贝1]0Q=之BP,当B、C、P三点共线时.PB最大，则OQ

有最大值.而0Q的最大值为2,故BP的最大值为4,则BC=BP-PC=4-1=3,设点B(m,-m),：C(2,2)

则BC2=(m—2)2+(—m—2)2=3?,解得：m2=.1.k=m(—m)=—m2=—/故答案为—

7.解:如图1,延长CE、DA交于Q,：四边形ABCD是矩形,BC=6,NBAD=90°,AD=BC=6,AD〃BC,；F为AD

中点...AF=DF=3,

在RtABAF中，由勾股定理得:BF=y/AB2+AF2=5,：AD〃BC,；.ZQ=ZECB,

(Z.QEA=乙BEC

TE为AB的中点,AB=4,・・・AE=BE=2,在^QAE和^CBE中，NQ=乙ECBQAE=CBE(AAS),AQ=BC=6,即

.AE=BE

QF=6+3=9,

Q

VAD//BC,.,.△QMF^ACMB,.,.FM=OFC=-,

6

如图2,延长BF和CD,交于W,同理AB=DW=4,CW=8,BF=FW=5,VAB^CD,ABNE^AWND,

；.MN=BN-BM=段-2=］，故答案为：!

8解:取AB中点P,连接OP、CP厕OP=BP=1AB=2,由勾股定理得，CP=y/BC2+AP2=利用三角形两

边之和大于点三边可知：OCWOP+PC=2+VI。,即当O、P、C三点共线时0C有最大值,OC的长的最大值为2+

而，故答案为：2+

9解：：四边形ABCD是平行四边形，.^.AD=BC,CD=AB,DC〃AB,^.^AD=3,AB=CF=2,

CD=2,BC=3,BF=BC+CF=5,：ABEF是等边三角形,G为DE的中点，BF=BE=5,DG=EG延长CG交BE于

点H,VDC//AB,/./CDG=NHEG,在ADCG和AEHG中，乙H巴..DCGwEHG(ASA),；.DC=EH,

(DG=EG=Z-EGH

CG=HG,：CD=2,BE=5,

.\HE=2,BH=3,VZCBH=60°,BC=BH=3,

ACBH是等边三角形，CH=BC=3,

解法二:延长DC交FE于点M,则CGBADEM的中位线，则CD=3ME=|.

10.解:连接AC,MC.由翻折的性质可知,BE垂直平分线段CF,VFMXBE,/.F.M,C共线,FM=MC,「AN=FN,

MN=|AC,V四边形ABCD是矩形,zXBC=90AC=+BC2=10(cm),MN=^AC=5(cm),故答案

223.解:连接CF,

,正方形ABCD和正方形BEFG中,AB=7,BE=5,.\GF=GB=5,BC=7,.\GC=GB+BC=5+7=12,.,.CF=^GF2+GC2=13.

：M、N分别是DC、DF的中点，丽=|6=多故答案为：y.

H.解:延长BC至M,使CM=CA,连接AM,作CN_LAM于N,：DE平分AABC的周长，；.ME=EB,又：AD=DB,；.

DE是AABM的中位线,(DE=^AM,DE//AM,VZACB=60°,AZACM=120°,

：CM=CA,；.NACN=60。，AN=MN,ZNAC=30°

:CN=-AC=AN=V3CN=AMV3

22’2

・•.DE=与故答案为：当

何卜

12.解:如图,过点C作CG〃AB交ED的延长线于点G,连接FG,\,点D是AB的中点，JAD=CD；AB〃GC,二Z

B=ZBCG=90°,

\LADE=ACDG

在△ADE和4CDG中,AD=CD,・•・ADE=ACDG(ASA),EF=FG,EA=GC,FG2=FC2+GG2,AEF2=AE2+

Z-DAE=Z-DCG

C尸在RtABEF中,FC=y/EF2-AE2=2,故答案为:2.

13.证明:连接DE,

:点G是AABC的重心，.•.点E和点D分别是AB和BC的中点；.DE是AABC的中位线；.DE〃AC且。E=

“'，♦.・nSACG,喋=济；济*打皿=3DG,即AD=3GD.

14.解:(1)：AC平分/BAD,AB〃CD,

，ZDAC=ZBAC,ZDCA=ZBAC,

NDAC=/DCA,；.AD=DC,又；AB〃CD,AB=AD,

AB〃CD且AB=CD,.•.四边形ABCD是平行四边形,

VAB=AD,四边形ABCD是菱形.

⑵连接BD,交AC于点O,（自行画图）

:菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,.•.CD=13,AO=CO=12,：点E、F分别是边CD、BC的中点,

；.EF〃BD（中位线），：AC、BD是菱形的对角线，

；.AC_LBD,OB=OD,又；AB〃CD,EF〃BD,

；.DE〃BG,BD〃EG,四边形BDEG是平行四边形，

；.BD=EG.在ACOD中.VOCXOD,CD=13,

C0=12.OB=OD=V132-122=5..-.EGBD=10.

15.解:(1)四边形BEAC是平行四边形，理由如下：

AAED为等腰三角形,/EAD=9(r,B是DE的中点，

ZE=ZBAE=45°,ZABE=90°,

「△ABC是等腰三角形，ZBAC=90°,

NABC=NBAE=45。，ZABE=ZBAC=90°,

；.BC〃AE,AC〃BE,四边形BEAC是平行四边形；

(2)@VAABC和AAED均为等腰直角三角形,/BAC=NEAD=90。，AE=AD,AB=AC,ZBAE=ZCAD,AAAEB

^△ADC(SAS),；.BE=CD;

D

B

②延长FG至点H,使GH=FG,VG是EC的中点，JEG=CG,又丁NEGH二NFGC,I.AEGH^ACGF(SAS),

・•・ZBFC=ZH,CF=EH,

VCF=CD,CD=BE,

・・・EH=BE,・・・NH=NEBG,・・・NEBG=NBFC.

16.解:取MP的中点Q,连接AQ,OQ,AO,.\AQ是RtAAPM斜边上的中线,:.AQ=|PM又：线段MN始终经过矩

形的对称中心，

O是MN的中点，；.OQ是AMPN的中位线，

•••MO=ON=|"N,OQ=：PN,

：.CAPMN=PM+PN+MN=2AQ+2OQ+2ON

=2(AQ+OQ+ON)=2(AO+ON)

:点O是固定点，，AO是定值AO=V22+32=VH当ON取最小时,2(AO+ON)有最小值，即为所求AMPN周长的

最小值作OGLBC,垂足为G,此时OG=2即为ON的最小值,APMN周长的最小值为2V13+4.

故答案为：2可+4.

17.(1)证明:如图1,连接BD,取DB的中点H,连接EH,FH,：E,H分别是AD,BD的中点.

；.EH是AABD的中位线EHAB,EH=

，ZBME=ZHEF,VF,H分别是BC,BD的中点，

；.FH是ABCD的中位线•••FHCD,FH=\CD,

；.NCNE=/HFE,：AB=CD；.HE=FH,

ZHEF=ZHFE.\ZBME=ZCNE;

⑵如图2,连接BD,取DB的中点H,连接EH,FH,VE,F分别是AD,BC的中点，EH是AABD的中位线,FH是

ABCD的中位线,EH=^AB,FH=|CD,FH〃AC,；./HFE=/FEC=45。，；AB=CD=2,；.HF=HE=1,；.ZHEF=Z

HFE=45。，；.AEFH是等腰直角三角形，EF=VWE2+HF2=V2.

18.解:①：D为BC的中点，.•.BD=CD,；.4ABD^^AACD的周长之差为(AB+AD+BD)(AC+AD+CD)=AB-AC.：

AB=7,AC=5,

/.AB-AC=2.故答案为:2.

②证明:如图1,延长AD至G,使DG=AD,连接BG,VD是BC的中点，，BD=CD,

DG=AD

在ABDG和ACDA中,=/.CDA,

BD=CD

：.ABDG^ACDA(SAS),.1.ZG=ZCAD,BG=AC,

VAF=EF,.*.ZCAD=ZAEF,ZG=ZAEF=ZBEG,.,.BE=BG,.*.AC=BE;

(2)证明:如图2.在AB上截取AE=AC,连接DE,：AD是/BAC的平分线，NBAD=/CAD,

AE=AC

在AEAD和ACAD中,卜84。=ACAD,

AD=AD

.•.AEAD^ACAD(SAS),.\ZAED=ZC,ED=CD,

VAC+CD=AB,@.AB=AE+EB,：.CD=ED=EB,：.ZB=ZBDE,/.ZAED=ZB+ZBDE=2ZB,gpZC=2ZB.

19.【问题情境】