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文档简介
第三讲柯西不等式与排序不等式3 1二维形式的柯西不等式 栏目链接 1 利用柯西不等式证明不等式 2 能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值 3 认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式 理解它们的几何意义 栏目链接 栏目链接 1 定理1 二维形式的柯西不等式的代数形式 设a b c d均为实数 则 其中等号当且仅当 时成立 2 定理2 柯西不等式的向量形式 设 为两个平面向量 则 其中等号当且仅当两个向量 时成立 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 ad bc 方向相同或相反 即两个向量共线 栏目链接 思考1几何意义 设 为平面上以原点o为起点的两个非零向量 它们的终点分别为a a b b c d 那么它们的数量积 而所以柯西不等式的几何意义就是 其中等号当两个向量方向相同或相反 即两个向量共线 时成立 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接 题型一不等式证明 例1已知a2 b2 1 x2 y2 1 分析 利用柯西不等式的代数形式证明 证明 由柯西不等式得 ax by 2 a2 b2 x2 y2 1 ax by 1 栏目链接 栏目链接 栏目链接 原不等式成立 点评 利用柯西不等式证明某些不等式时 有时需要将数学表达式适当的变形 这种变形往往要求具有很高的技巧 必须善于分析题目的特征 根据题设条件 综合地利用添 拆 分解 组合 配方 变量代换 数形结合等方法才能找到证题的突破口 栏目链接 变式训练
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