喀兴林高等量子力学EX3、4、5.doc

精选 word 范本 3 1 做题人 韩丽芳 校对人 胡相英 好 幺正算符也有本征矢量 证明幺正算符的本征值都是绝对值是 1 的复数 幺正算符的 两个本征矢量 若所属本征值不同亦必正交 证明 设算符为幺正算符 为其任意本征矢量 为对应的本征值 U u 即 uU 则 uuUUUU 因 所以 即 0 1 u u1 u 即证得幺正算符的本征值都是绝对值是 1 的复数 设算符为幺正算符的两个本征值为 对应的矢量分别为 且U 1 u 2 u 1 2 21 uu 则 111 uU 1 1 1 1 1 u U 222 uU 2 2 2 1 1 u U 因为幺正算符则有 1 UU 21212121 uuUU 21 21 21 1 uu UU 所以 0 1 21 21 21 uu uu 因为 故 即 和正交 0 1 21 21 uu uu0 21 1 2 即证得幺正算符的两个本征矢量 若所属本征值不同亦必正交 3 2 投影于某一子空间的投影算符 既然是厄米算符 它的本征值是什么 有无简并 P 本证子空间是什么 好 精选 word 范本 解 投影于某一子空间的投影算符 设全空间是维的 且 m i iiP 1 nnm 则本征值方程 m i iiP 1 其中为本征值 为相应的本征态 则 22 PP 由幺正算符等幂性得PP 2 PP 2 由 和 式得 所以或 2 1 0 即求得投影算符的本征值是 1 或 0 当时 本征失量是 其中 所以是简并的 本征子空间是由这1 imi 2 1 S 个基矢构成的矢量空间 m 当时 本征矢量是与正交的矢量 所以也是简并的 本征子空间是空间的0 iS 补空间 练习 3 3 证明若算符的本征值谱中有零本征值 则这个算符肯定没有逆 证明 假设算符 A 有逆 则在值域中取一任意 则定义域有 存在 即 AA1 已知 A 的全部本征值和相应的本征矢量 i 1 2 3 iii aA AaAA 算符 A 存在零本征值 即 00 aa 对于任意本征矢量与矛盾 aA Aa 假设不成立 即算符的本征值谱中有零本征值 这个算符肯定没有逆 练习 3 4 根据完全性和封闭性的定义 分别证明 在 n 维空间中的一个完全矢量集 归一化但彼此不一定正交 i 1 2 3 n 若从其中去掉一个矢量 i i 例如去掉 就不再是完全集 做题者 杨涛 审题人 吴汉成 1 精选 word 范本 证明 假设在 n 维空间中的一个完全集去掉一个矢量后仍是完全集 i 1 新的矢量集是线性无关的 即 23 n 22 nn iiii ii c 我们把加入完全矢量集成立一个新集合 1 23 n i 是完全集 则肯定能表为的线性叠 23 n 1 23 n 加 新集合是线性相关的与它是线性无关相矛盾 i 在 n 维空间中的一个完全集去掉一个矢量后不是完全集 i 1 3 5 在有限维空间中 有 A 和 B 两个相互对易的厄米算符 它们的全部线性无关的正交 归一化本征矢量字分别为 和 i i ji ii mibiB maiaiA 3 2 1 3 2 1 分别为本征值和的简并度 它们也可以等于 1 i m j m i a j b 1 证明 iajjji 是 A 和 B 的共同本征矢量 它们是否归一化 彼此是否正交 2 全部不为零的的总数是多少 它们是线性相关的还是线性无关的 ija 做题 陈捷狮 审查人 刘强 解 1 jiijjaijjAjiA ij jibijjbijjBjiB jj 所以 是 A 和 B 的共同的本征矢量 ji 由于1 iaiajjjjijjijjjiajia 他们是归一的 由于 A 和 B 作用在的本征值不同 所以彼此是正交 ji 2 全部不为零的的总数是 它们是线性无关的 ija jim m 精选 word 范本 练习 4 1 在任何表象中 与厄米算符 H 对应的矩阵 称为厄米矩阵 与幺 ij H 正算符对应的矩阵 称为幺正矩阵 证明它们分别满足下列关系 ij U ijji HH ij k kjikkj k ki UUUU 做题 陈捷狮 审查人 刘强 解 1 ijji HjHiHjiiHjiHjH 2 利用完全性关系可得 jk k ik k ij kkk kj k ki UUUkjUki UjkkUijUkiUkjUkiUkUU 证毕 练习练习 4 2 在某表象中 算符的矩阵形式为A 2 1 10 2 1 1 020 2 1 10 2 1 1 A 1 求的本征值及相应的本征矢量 A 2 用的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失 A 解 1 本征值方程为 c b a c b a 2 1 10 2 1 1 020 2 1 10 2 1 1 则久期方程为 0 2 1 10 2 1 1 020 2 1 10 2 1 1 解得 1 2 3 2 2 精选 word 范本 当 1 2 时本征函数为 2 0 1 0 1 0 1 21 KK c b a 即此时本征函数分别为 2 2 0 2 2 1 0 1 0 2 当时 3 2 本征函数为 2 2 0 2 2 3 因为0 0 0 323121 所以用的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失为 1 2 A 3 练习 4 3 在三维空间中 K 表象的基是 有一算符 A 在此表 1 2 3 象中的矩阵为 503 020 307 A 1 求 A 的本征矢量在 K 表象中的形式及相应的本征值 2 取 A 的本征矢量 为 L 表象 即 A 表象 的基 求表象 1 2 3 变换的幺正矩阵和 U 1 U 3 验证所求矩阵的幺正性 4 用与 计算算符 A 在 L 表象中的矩阵 U 1 U 作题人 胡项英 校对人 韩丽芳 解 1 设 A 在 K 表象中的本征矢量为 相应的本征矢量为 3 2 1 c c c 则 精选 word 范本 3 2 1 3 2 1 503 020 307 c c c c c c 有解则 0 503 020 307 所以得 8 4 2 所以 当时 代入本征值方程且根据 则 2 1 1 2 3 2 2 2 1 ccc 所以 1 0 231 ccc 0 1 0 1 同理 当时 则 4 2 所以 2 3 0 2 1 321 ccc 2 3 0 2 1 2 当时 则 8 3 所以 2 1 0 2 3 321 ccc 2 1 0 2 3 3 2 根据幺正矩阵则 A 在 K 表象中矢量按列排列即为 ii U U 所以 2 1 2 3 0 001 2 3 2 1 0 U 2 1 0 2 3 2 3 0 2 1 010 1 U 3 将 的值代入得 U 1 U1 11 UUUU 所以 为幺正矩阵U 4 根据 分别代入则 UAUA kl 1 1 UU 精选 word 范本 800 040 002 l A 练习练习 4 4 为厄米算符 侯书进 H exp HiS 证明 1 是幺正算符 S 2 exp detHitrS 证明 1 为厄米算符 则H HH 所以 exp 1 HiSS 即ISSSS 1 则是幺正算符S 2 因为是的函数 则与可以同时对角化 在表象中 表S H S H H H 现为对角矩阵 对角矩阵元为的本征值 则 nnn HH H n n n nn HHHtr 而的本征值S n iexpH 即 nnnn iexpHSS 则 exp iexp exp det n nn nnn HitrHiHBS n 练习练习 4 5 吴汉成 吴汉成 完成 董延旭完成 董延旭 核对 核对 在三维空间中 有矩阵在三维空间中 有矩阵 A 和和 B 1022 255 255 A 022 211 211 B 1 证明证明 A 和和 B 均为厄米矩阵 而且均为厄米矩阵 而且 A B 0 2 分别求分别求 A 和和 B 的本征值与本征矢量 的本征值与本征矢量 3 求求 A 和和 B 两算符的 归一化的 共同本征矢量集 两算符的 归一化的 共同本征矢量集 4 求能使求能使 A 和和 B 都对角化的幺正变换矩阵都对角化的幺正变换矩阵 U 5 用用 U 将将 A 和和 B 对角化 对角化 精选 word 范本 解 1 证明 由题意得 A 的转置矩阵 A 1022 255 255 A 显然又得的共轭矩阵 A 1022 255 255 A 与 A 比较 得 AAA 又 显然 A 为厄米矩阵 AA AA 同理可证 B 为厄米矩阵 又 4210210 21022 21022 022 211 211 1022 255 255 AB 4210210 21022 21022 1022 255 255 022 211 211 BA AB BA 0 故得证 0 BAABBA 2 设 A 的本征值为 a 本征矢量为 B 的本征值为 b 本征矢量为 3 2 1 A A A A 3 2 1 B B B B 则必有本征方程 AA aA 即 3 2 1 3 2 1 1022 255 255 A A A A A A a 精选 word 范本 1 0 1022 255 255 3 2 1 A A A a a a 久期方程 0 1022 255 255 a a a 解之得 0 1 a8 2 a12 3 a 当 代入 1 式得 0 1 aa 0 1022 255 255 3 2 1 A A A 整理得 0255 321 AAA 0255 321 AAA 01022 321 AAA 联解得 0 321 AAA 即得 0 1 1 3 2 1 A A A A A A 归一化条件 1 AA 即 1 0 0 1 1 1 1 A A AA 即得 1 1 11 1 AAAA 解之得 2 2 1 A 2 2 12 AA 精选 word 范本 A 的本征矢量 0 2 2 2 2 3 2 1 A A A A 同理可得 当 A 的本征值时 A 本征值矢量 8 2 aa 2 2 2 1 2 1 3 2 1 A A A A 当 A 的本征值时 A 本征值矢量 12 3 aa 2 2 2 1 2 1 3 2 1 A A A A 至于求 B 本征值和本征矢量的方法步骤 与求 A 的本征值和本征矢量的方法步骤是一样的 因此同理可求得 B 的本征值分别是 2 1 b2 2 b2 3 b 而且相应本征值 b 的本征矢量分别为 1 本征值时 2 1 bb 0 2 2 2 2 3 2 1 B B B B 2 本征值时 A 2 2 bb 0 2 2 2 2 3 2 1 B B B B 3 本征值时 2 3 bb 2 2 2 1 2 1 3 2 1 B B B B 精选 word 范本 3 设 A 和 B 的共同本征矢量 则必有本征方程 3 2 1 bBaA 显然也有方程 babAAbAB 设则 ba AB 又 并代入式 4210210 21022 21022 AB AB 得 3 2 1 3 2 1 4210210 21022 21022 2 0 4210210 21022 21022 3 2 1 所以得久期方程 0 4210210 21022 21022 解之得 24 16 0 321 当时 代入 2 式得 0 1 0 4210210 21022 21022 3 2 1 整理得 021022 321 021022 321 04210210 321 联解得 0 321 所以得 精选 word 范本 0 1 1 3 2 1 由归一化条件 得 1 0 0 0 1 1 1 1 解之得 2 2 1 2 2 12 所以 当本征值时 的本征矢量 0 1 0 2 2 2 2 3 2 1 1 同理可得 当本征值时 的本征矢量 16 2 2 2 2 1 2 1 2 当本征值时 的本征矢量 24 3 2 2 2 1 2 1 3 综上所述得 A 和 B 的 归一化 共同本征矢量集 3 2 1 0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 3 精选 word 范本 4 设能使 A 和 都对角化的幺正变换矩阵为 U 则必有 1 UU UAUUAUA 1 UBUUBUB 1 BUUUUAUBUUAUUBUUAUBA 又 并代入上式 1 U U 1 ABUABUUABUUABUBA 此关系式说明了 能使 A 和 B 都对角化的幺正变换矩阵 与能使 AB 对角化的幺正变 换的矩阵 都是相同的 两者都是 U 另一方面 由 3 的结果可得能 AB 对角化的幺正 矩阵为 3 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 3 U 5 由于 U 是幺正矩阵 所以 并联系 3 式得 UU 1 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 UUU 所以对角化 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1022 255 255 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 AUUA 02426 046 046 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 精选 word 范本 其对角元为 A 的本征值 与 2 小题的结果完全一致 000 080 0012 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 022 211 211 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 BUUB 022 211 211 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 其对角元为 B 的本征值 与 2 小题的结果完全一致 200 020 002 练习练习 4 6 在一个在一个 9 维空间中有二矩阵维空间中有二矩阵A和和B 2 1 0 1 0 1 0 1 2 6 4 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2 4 6 BA 式中空格及圆点均代表零 式中空格及圆点均代表零 1 分别求 分别求A和和B的本征值与本征矢量 不必归一化 取最简单形式 的本征值与本征矢量 不必归一化 取最简单形式 若本 若本 征值是征值是m重简并的 写出其本征子空间的重简并的 写出其本征子空间的m个代表矢量 个代表矢量 2 写出 写出A和和B的共同本征矢量完全集 共有的共同本征矢量完全集 共有 9 个矢量 个矢量 做题人 宁宏新 校对人 胡项英 解 设 的本征值为 则 det 即 0 A 精选 word 范本 600000000 040000000 002000000 000400000 000040000 000004000 000000200 000000040 000000006 det 026 40200 02020 20400 02042 00022 446 3522 0 2 6 987654321 当时 有6 54321 000000000 020200000 004020000 020200000 002020200 000002020 000020400 000002020 000000000 000000000 000000000 000000000 010100000 001000100 000000000 002010000 000001010 000000000 由得 0 A 精选 word 范本 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 54321 99 88 77 44 86 75 73 42 11 kkkkk 为不同时为零的权 51 kk 本征值为 时 其是 重简并的 代表矢量为 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 当时 有2 876 400000000 020200000 000020000 020200000 002020200 000002020 000020000 000002020 000000004 100000000 000000000 000000000 010100000 001000100 000000000 000010000 000001010 000000001 由得 0 A 精选 word 范本 为不同时为零的权 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 321 9 88 77 44 86 5 73 42 1 kkk 31 kk 本征值为 时为三重简并 代表矢量为 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 3 3 2 3 1 当时 有0 9 600000000 040200000 002020000 020400000 002040200 000004020 000020200 000002040 000000006 100000000 000100000 000000000 010000000 001010000 000000010 000010100 000001000 000000001 由得 0 A 精选 word 范本 代表矢量为 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 9 8 77 4 6 75 53 2 1 kk 0 0 1 0 1 0 1 0 0 设 的本征值为 则 det 即 0 0 200000000 010000000 000000000 000100000 000000000 000001000 000000000 000000010 000000002 det 2 2 1 1 0 987654321 当时0 321 200000000 010000000 000000000 000100000 000000000 000001000 000000000 000000010 000000002 精选 word 范本 由得 100000000 010000000 000000000 000100000 000000000 000001000 000000000 000000010 000000001 0 为不同时为零的权 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 321 9 8 77 4 6 55 33 2 1 kkk 31 kk 当时 为三重简并 代表矢量为 0 321 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 3 3 2 3 1 当时 有1 54 精选 word 范本 100000000 000000000 001000000 000000000 000010000 000002000 000000100 000000020 000000003 由得 100000000 000000000 001000000 000000000 000010000 000001000 000000100 000000010 000000001 0 不同时为零 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 9 88 7 4 66 5 3 2 1 kk 21k k 精选 word 范本 为二重简并 代表矢量为1 54 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 当时 有1 76 300000000 020000000 001000000 000200000 000010000 000000000 000000100 000000000 000000001 由得 100000000 010000000 001000000 000100000 000010000 000000000 000000100 000000000 000000001 0 精选 word 范本 不同时为零 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 21 9 8 7 44 6 5 3 22 1 kk 21k k 为二重简并 代表矢量为1 76 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 2 2 1 当时2 8 400000000 030000000 002000000 000300000 000020000 000001000 000000200 000000010 000000000 精选 word 范本 由得 100000000 010000000 001000000 000100000 000010000 000001000 000000100 000000010 000000000 0 不简并 代表矢量为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 9 8 7 4 6 5 3 2 11 kk 0 0 0 0 0 0 0 0 1 当时2 9 000000000 010000000 002000000 000100000 000020000 000003000 000000200 000000030 000000004 精选 word 范本 由得 000000000 010000000 001000000 000100000 000010000 000001000 000000100 000000010 000000001 0 不简并 代表矢量为 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 99 8 7 4 6 5 3 2 1 kk 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 求 A B 的共同本正矢量完全集 对于 A 6 本征值