高考数学 第三章 第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 理.ppt

第四节函数y asin x 的图象及三角函数模型的简单应用 1 用 五点法 作函数y asin x a 0 0 的图象 五点法 作图的五点是在一个周期内的最高点 最低点及与 的三个交点 作图时的一般步骤为 x轴相交 即时应用 用五点法作函数y sin x 在一个周期内的图象时 主要确定的五个点是 解析 分别令x 0 2 可求出x的值分别为 又因为a 1 所以需要确定的五个点为 0 1 0 1 0 答案 0 1 0 1 0 2 图象变化规律 其中a 0 0 1 先平移后伸缩y sinx的图象y sin x 的图象 y sin x 的图象y asin x 的图象y asin x k的图象 a 2 先伸缩后平移y sinx的图象y asinx的图象 a y asin x的图象y asin x 的图象y asin x k的图象 即时应用 1 y sin x 的图象是由y sinx的图象向 平移 个单位得到的 2 y sin x 的图象是由y sinx的图象向 平移 个单位得到的 3 y sin x 的图象是由y sin x 的图象向 平移 个单位得到的 4 y sin 2x 的图象是由y sin2x的图象向 平移 个单位得到的 解析 1 2 3 根据图象变化规律易求 4 y sin 2x sin 2 x 将y sin2x的图象向左平移个单位长度就得到y sin 2x 的图象 答案 1 左 2 右 3 右 4 左 3 函数y asin x 的物理意义形如y asin x 的函数 在物理 工程等学科的研究中有着广泛的应用 其中参数a 具有相应的实际意义 在物理学上 当函数y asin x a 0 0 x 0 表示简谐运动时 则a叫做 t 叫做 f 叫做 x 叫做 叫做 振幅 周期 频 率 相位 初相 即时应用 如图 它表示电流i asin t a 0 0 在一个周期内的图象 试根据图象写出i asin t 的解析式 其频率f 解析 由图象知a t 所以t 由 由 2k 得 2k k z 所以i sin t t 即f 答案 i sin t 热点考向1函数y asin x a 0 0 的图象及其图象变换 方法点睛 函数y asin x a 0 0 的图象的作法 1 五点法 用 五点法 作y asin x 的简图 主要是通过变量代换 设z x 由z取0 2 来求出相应的x 通过列表 计算得出五点坐标 描点后得出图象 2 图象变换法 由函数y sinx的图象通过变换得到y asin x 的图象 有两种主要途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后平移 提醒 五点作图取值要准确 一般取一个周期之内的 函数图象变换要注意顺序 例1 1 2013 三明模拟 要得到函数的图象 只需将函数y cos2x的图象 a 向右平移个单位 b 向右平移个单位 c 向左平移个单位 d 向左平移个单位 2 2013 合肥模拟 设函数f x cos x 0 0 的最小正周期为 且 求 和 的值 在给定坐标系中作出函数f x 在 0 上的图象 解题指南 1 将函数解析式化为即可得到结果 2 由周期得 由得 采用五点法作图 注意定义域 0 即可 规范解答 1 选d 故只需将y cos2x的图象左平移个单位即可得到的图象 2 最小正周期 2 由 得列表 图象如图 互动探究 若将本例题 1 中改为 要得到函数y sin2x的图象 只需将函数的图象怎样变换得到 则如何求解 解析 所以只需将的图象向右平移个单位即可得到y sin2x的图象 热点考向2由图象求解析式 方法点睛 确定y asin x b a 0 0 的解析式的步骤和方法 1 求a b 确定函数的最大值m和最小值m 则a b 2 求 确定函数的周期t 则可得 3 求 常用的方法有 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时a b已知 或代入图象与直线y b的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 五点法 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的第一个点为突破口 具体如下 第一点 即图象上升时与x轴的交点 时 x 0 第二点 即图象的 峰点 时 x 第三点 即图象下降时与x轴的交点 时 x 第四点 即图象的 谷点 时 x 第五点 时 x 2 提醒 在求 时要注意所给的范围 例2 1 如图是函数y asin x 2 a 0 0 的图象的一部分 它的振幅 周期 初相各是 a a 3 b a 1 c a 1 d a 1 2 如图是函数y asin x a 0 0 的图象的一段 它的解析式为 a y sin 2x b y sin c y sin x d y sin 2x 3 如图是f x asin x a 0 0 的一段图象 则函数f x 的解析式为 解题指南 由图象确定三角函数y asin x 的解析式 首先确定a的值 其次根据图象求周期t 根据周期求 最后根据所给的数据求 规范解答 1 选c 由图象知 a 1 所以t 由 2k k z得 2k k z 当k 1时 2 选d 由图象知a t 所以t 所以 2 又由 2 2k k z 所以当k 1时 所以y sin 2x 3 由图象得a 2 当x 0时 sin 因为 所以 所以由题图可知 3 所以f x 2sin 3x 答案 f x 2sin 3x 互动探究 把本例中 3 的图象改为如图 其他不变 如何求解 解析 由图象知a t 4 所以t 16 则 由6 2k k z 得 所以函数的表达式为 y sin x 反思 感悟 1 振幅a与最值有关 与周期t有关 初相 用待定系数法求解 2 利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重 3 要善于观察图象 抓住图象的特征 变式备选 函数f x asin x a 0 0 的部分图象如图所示 1 求 2 求函数的图象的对称轴和对称中心 解析 1 由图象知a 1 t t 2 由2 2k 得 2k k z 2 由 1 得f x sin 2x 由2x k 得x k z 函数f x 的对称轴为x k z 又由2x k 得x k z 故对称中心为 0 k z 热点考向3三角函数性质的应用 方法点睛 函数y asin x 的性质 1 奇偶性 k k z时 函数y asin x 为奇函数 k k z时 函数y asin x 为偶函数 2 周期性 y asin x 存在周期性 其最小正周期为t 3 单调性 根据y sint和t x 的单调性来研究 由 2k x 2k k z得单调增区间 由 2k x 2k k z得单调减区间 4 对称性 利用y sinx的对称中心为 k 0 k z 求解 令 x k k z 求得x 例3 2012 山东高考 已知向量m sinx 1 n 函数f x m n的最大值为6 1 求a 2 将函数y f x 的图象向左平移个单位 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍 纵坐标不变 得到函数y g x 的图象 求g x 在上的值域 解题指南 1 先求出f x 的解析式 再进行三角变换化为y asin x 的形式 由f x 的最大值可求a 2 根据三角函数的平移变换可求出g x 的解析式 再求在上的值域 规范解答 1 m sinx 1 n f x m n 所以f x 的最大值为a 函数f x m n的最大值为6 所以a 6 2 将函数y f x 的图象向左平移个单位得到y 的图象 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍 纵坐标不变 得到函数的图象 所以g x 在上的值域为 3 6 变式训练 2012 莆田模拟 已知函数f x sinxcosx cos2x 1 求y f x 在x 0 上的值域和单调区间 2 把y f x 的图象向右平移个单位后得到的图象 其大于零的零点从小到大组成数列 xn 求数列 xn 的前n项和sn 解析 1 f x sinxcosx cos2x sin 2x 当x 0 时 2x sin 2x 1 故值域为 1 当x 0 时单调递增 当x 时单调递减 2 f x sin 2x 向右平移个单位后得到g x sin2x 令g x sin2x 0 x k z 即xn n n sn x1 x2 xn 1 2 n 热点考向4三角函数模型的简单应用 方法点睛 三角函数模型的实际应用和解题步骤 1 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面 一是已知函数模型求解数学问题 关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系 二是把实际问题抽象转化成数学问题 建立三角函数模型 再利用三角函数的有关知识解决问题 2 三角函数模型应用解题的一般步骤 根据图象建立解析式 根据解析式作出图象 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 例4 估计某一天的白昼时间的小时数f t 的表达式是f t sin t 79 12 其中t表示某一天的序号 t 0表示1月1日 依次类推 常数 与某地所处的纬度有关 取3 14 1 在波士顿 6 试画出当t 0 365 时函数f t 的图象 2 在波士顿哪一天的白昼时间最长 哪一天的白昼时间最短 解题指南 由题目中的已知条件 利用五点法画出g t 3sin t 79 的图象 再向上平移12个单位可得f t 的图象 再利用图象可得白昼时间最长与最短的时间 规范解答 1 先用五点法作出y g t 3sin t 79 的简图 令 t 79 分别等于0 2 得出下表 若t 0 g 0 3sin 79 3sin 1 36 2 9 因为函数g t 的周期为365 所以g 365 2 9 将函数g t 在 0 365 上的图象向上平移12个单位长度 就得到函数f t 的图象 2 白昼时间最长的一天 即f t 取得最大值的一天 此时t 170 对应的是6月20日 闰年除外 类似地 t 353时 f t 取得最小值 即12月20日白昼时间最短 反思 感悟 三角函数应用模型的三种模式 一是给定呈周期变化规律的三角函数模型 根据所给模型 结合三角函数的性质 解决一些实际问题 二是给定呈周期变化的图象 利用待定系数法求出函数模型 再解决其他问题 三是搜集一个实际问题的调查数据 根据数据作出散点图 通过拟合函数图象 求出可以近似表示变化规律的函数模型 进一步用函数模型来解决问题 变式训练 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现 该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的 已知3月份出厂价格最高为8元 7月份出厂价格最低为4元 而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的 并已知5月份销售价最高为10元 9月份销售价最低为6元 假设某商店每月购进这种商品m件 且当月售完 请估计哪个月盈利最大 并说明理由 解析 6月份盈利最大 由条件可得 出厂价格y1与月份x的函数关系式为y1 2sin x 6 销售价格y2与月份x的函数关系式为y2 2sin x 8 则利润函数关系式为 y m y2 y1 m 2sin x 8 2sin x 6 m 2 2sinx 所以 当x 6时 y 2 2 m 即6月份盈利最大 1 2013 龙岩模拟 将函数的图象向左平移个单位 再向下平移1个单位 得到函数g x 的图象 则g x 的解析式为 解析 选b 由题意得 故选b 2 2012 浙江高考 把函数y cos2x 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 然后向左平移1个单位长度 再向下平移1个单位长度 得到