分块矩阵ppt课件 (2).ppt

分块矩阵 一 分块矩阵的运算规则 二 分块矩阵的一些例子 矩阵分块 是矩阵运算的一个重要方法 可将大规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算 在矩阵某些行之间插入横线 某些列之间插入纵线 将矩阵分割成若干个小矩阵 每个小矩阵称为矩阵的子块 以子块为元素的矩阵 称为分块矩阵 1 矩阵分块的方法 例如 即 说明 1 矩阵分块时 同一个矩阵可以有不同的分块方法 应根据需要进行选择 2 矩阵分块一般形式 矩阵A aij m n 在行方向分s块 列方向分t块 称A为s t分块矩阵 第k行l列子块Akl是mk nl阶矩阵 各子块行数 各子块列数 说明 2 矩阵分块三原则 体现原矩阵特点 依据问题需要 子块可以作元素运算 一 分块矩阵的运算规则 设A B是m n阶矩阵 采用相同的分块法分块将A B分块如下 1 分块加法 注 分块矩阵运算中 每个子块具有二重性 一是分块矩阵的元素 二是本身是矩阵 2 分块数乘 设A是m n阶矩阵 任意分块 k是常数 则定义 3 分块乘法 设A是m l阶矩阵 B是l n阶矩阵 即A的列数 B的行数 即A的列分块法 B的行分块法 分块A Auv s rB Bvw r t 则A与B的乘积C Cuw 是s t阶分块矩阵 满足 注 分块矩阵乘积AB中 每个子块 1 作为分块阵元素参与运算 2 作为矩阵也要满足乘法条件 例1 用分块矩阵法求AB 解 则 又 于是 说明 3 矩阵分块的目的 是让矩阵的计算过程更简单 计算量更少 4 分块转置 设矩阵A Aij 是s r阶分块矩阵 例1的计算量比较 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数 合计32次 说明 分块转置中 每个子块一方面作为分块阵元素要转置 另一方面作为矩阵本身也要转置 分外层 内层双重转置 特别地 对于列分块矩阵 二 一些特殊的分块矩阵 1 2阶分块上 下 三角形矩阵求逆 例2 求下列2阶分块逆矩阵 其中A11 A22可逆矩阵 其中B12 B21可逆矩阵 解 1 设A的分块逆矩阵为 得到4个矩阵方程组 求解该方程组 得 2 解略 请仿 1 方法自行求解 设A1 A2 As均为方阵 不一定同阶 则称下面的A为分块对角矩阵 2 分块对角矩阵 如果矩阵A1 A2 As均可逆 则分块对角矩阵A可逆 且其逆矩阵为 说明 分块对角阵的逆矩阵 与对角矩阵的逆矩阵形式类似 3 矩阵乘积AB A不分块 B按列分块 设矩阵A B分别是s n和n t阶矩阵 A不分块 B按列分块 即 则 例3 求解下列矩阵方程 说明 矩阵方程AX B可看成t个线性方程组Ax1 b1 Ax2 b2 Axt bt其中B b1 b2 bt X x1 x2 xt 解 对增广矩阵 A B 进行初等行变换 于是方程组Ax1 b1有解 当且仅当 0时 Ax2 b2有解 所以矩阵方程AX B在参数 0时 有解 说明 利用增广矩阵的初等行变换 可以对矩阵方程AX B的t个线性方程组同时进行求解 4 矩阵乘积AB A按列分块 B每个元素为块 1 设矩阵A是s n矩阵 X是n 1矩阵 将A按列分块 即 则 我们将表达式 称为向量 的线性组合 称为组合系数 说明 1 对于线性方程组Ax b 利用这样的分块方式 可以得到线性方程组的向量形式 说明 2 如果记ei是第i个分量为1 其余分量为0的列向量 则 同样记 i是第i个分量为1 其余分量为0的行向量 则 iA表示A的第i个行向量 2 设矩阵A是s n矩阵 B是n t矩阵 将A按列分块 则 即AB的每个列向量 都是A的列向量的线性组合 例4 设A是2阶矩阵 x是2维非零列向量 若 求矩阵C 使得AB BC 见教材P69例2 15 2 4矩阵的秩 一 秩的概念 二 初等变换和矩阵的秩 初等行变换 可以将矩阵A化为阶梯形矩阵 这个阶梯阵的阶梯数 是由矩阵秩唯一确定的 故引入矩阵的秩概念 三 矩阵的等价标准形 一 秩的概念 在Am n中 任取k行 k列 k m k n 位于这些行列交叉处的k2个元素 按原有的位置次序所构成的k阶行列式 称为A的k阶子式 1 k阶子式 说明 1 A共有个k阶子式 例如 2阶非零子式 3阶零子式 2 秩的定义 矩阵A的非零子式的最高阶数 称为矩阵A的秩 记为r A r或rank A r 说明 1 0 r Am n min m n 说明 2 规定零矩阵的秩为0 即r O 0 说明 3 对于n阶矩阵A 有 A为满秩矩阵 更一般地 如果m n阶矩阵A满足 r A m A为行满秩矩阵 r A n A为列满秩矩阵 例1 解 在A中 例2 见教材P71例2 18 例3 解 注 阶梯阵的秩等于其阶梯数 即非零行行数 3 矩阵秩的性质 利用行列式的性质证明上述性质 命题2 1 r A r