高考数学 第二章 第一节函数及其表示课件 理.ppt

第二章函数 导数及其应用第一节函数及其表示 1 函数与映射的概念 数集 集合 任意 数x 唯一确定 f x 任意 元素x 唯一确定 元 素y 即时应用 1 判断下列对应关系f是否是从a到b的函数 请在括号中填 是 或 否 a r b x x 0 f x x a r b r f x x2 a z b r f x a z b z f x x2 3 2 设a 0 1 2 4 b 0 1 2 6 8 判断下列对应关系是否是a到b的映射 请在括号中填 是 或 否 f x x3 1 f x x 1 2 f x 2x 1 f x 2x 解析 1 否 因为a中的元素0在b中没有对应元素 否 因为a中的元素为负数时在b中没有对应元素 是 满足函数的定义 是从a到b的函数 2 是 满足映射的定义 是从a到b的映射 否 当a中的x 0 2 4时在b中没有象 否 当a中的x 4时在b中没有象 否 当a中的x 2时在b中没有象 答案 1 否 是 否 是 2 否 否 是 否 2 函数的构成要素函数由 三个要素构成 对函数y f x x a 其中 1 定义域是 2 值域是 定义域 值域 对应关系 自变量x的取值范围a 函数值的集合 f x x a 即时应用 1 判断下列各组函数中 是否是同一函数 请在括号中填 是 或 否 f x x与g x 2 f x x 与g x f x x x 与g x f x 与g t t 1 t 1 2 函数y x2 2x的定义域为 0 1 2 3 那么其值域为 3 设集合a x y 集合b y y x2 x r 则a b 解析 1 否 函数f x 与g x 的定义域不同 否 函数f x 与g x 的对应关系不同 否 函数f x 与g x 的定义域不同 是 函数f x x 1 与g t t 1 t 1 是同一函数 2 当x取0 1 2 3时 对应的函数y的值依次为0 1 0 3 所以其值域为 1 0 3 3 已知a x x 2 0 x x 2 b y y 0 a b x x 2 答案 1 否 否 否 是 2 1 0 3 3 x x 2 3 函数的表示方法表示函数的常用方法有 和 解析法 列表法 图象法 即时应用 1 判断下列四个图象是否是函数f x 的图象 请在括号中填 是 或 否 2 如图所表示的函数的解析式为 3 若f 1 x 2 则f x 的解析式为 解析 1 f x 是 否 否 否 2 由题中图可知 图象分为两段 每一段都是线段 当0 x 1时 y x 当1 x 2时 y x 3 综上可知 3 方法一 令t 1 则x t 1 2 t 1 代入原式有f t t 1 2 2 t 1 t2 1 f x x2 1 x 1 方法二 x 2 1 2 1 f 1 1 2 1 又 1 1 f x x2 1 x 1 答案 1 是 否 否 否 2 y 3 f x x2 1 x 1 4 分段函数若函数在其定义域的不同子集上 因 不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 分段函数虽然由几部分组成 但它表示的是一个函数 对应关系 即时应用 1 已知函数f x 则f f 2 设f x 若f x 3 则x 解析 1 f 3 f f f 1 2 当x 1时 x 2 3 得x 1 符合要求 当 1 x 2时 x2 3 得x 只有符合要求 当x 2时 2x 3 得x 不符合要求 综上可知 x 1或 答案 1 2 1或 热点考向1求简单函数的定义域 值域 方法点睛 1 求简单函数的定义域的方法 1 若已知函数的解析式 则构造使解析式有意义的不等式 组 求解 2 实际问题 由实际意义及使相应解析式有意义的不等式 组 求解 3 求抽象函数的定义域 若已知函数f x 的定义域为 a b 其复合函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 2 求简单函数值域的方法根据简单函数解析式的特点 分别选用 1 直接观察法 2 图象观察法 3 单调性法 4 分离常数法 5 基本不等式法 6 换元法 例1 1 2012 江苏高考 函数的定义域为 2 已知函数f 2x 的定义域是 1 1 则f x 的定义域是 3 求下列函数的值域 y x2 2x x 0 3 y log3x logx3 1 y 2013 厦门模拟 y 规范解答 1 要使f x 有意义 则必须满足即故定义域是答案 2 f 2x 的定义域为 1 1 即 1 x 1 2x 2 故f x 的定义域为 2 答案 2 3 y x 1 2 1 在 0 3 上的图象如图所示 由图象知 0 y 32 2 3 15 所以y 0 15 y 定义域为 0 1 1 当0 x 1时 y 3 当x 1时 y 1 综上可知 y 3 1 因为x2 1 1 又y 2x在r上为增函数 y 2 1 故值域为 当x 0时 y x2 1 1 当x 0时 y x2 0 y 0 1 互动探究 若本例 2 中条件不变 求f log2x 的定义域 解析 由本例 中知f x 的定义域为 2 函数y f log2x 中 log2x 2 即 log2x log24 x 4 故函数f log2x 的定义域为 4 变式备选 若函数f x 的定义域为r 则a的取值范围为 解析 因为函数f x 的定义域为r 即 0 对x r恒成立 亦即x2 2ax a 0恒成立 需 2a 2 4 a 4a2 4a 0即可 解得 1 a 0 答案 a 1 a 0 热点考向2分段函数及其应用 方法点睛 分段函数求值 解不等式及求解析式的方法分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的 处理分段函数的求值 解不等式及求解析式等相关问题时 首先要确定自变量的值属于哪个区间 从而选定相应关系代入计算求解 特别要注意分段区间端点的取舍 提醒 分段函数由几个部分组成 但它表示的是一个函数 例2 1 已知函数f x 则f x f x 1的解集为 a 1 1 b 1 0 1 c 0 1 d 1 0 1 2 已知函数y f x 的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成 求函数的解析式 解题指南 1 求解分段函数有关的不等式 一般的思路是根据每一段的解析式分类求解 再求其并集 2 已知图象形状 求解析式 可用待定系数法 规范解答 1 选b 当 1 x 0时 0 x 1 此时f x x 1 f x x 1 x 1 f x f x 1化为 2x 2 1 得x 则 1 x 当0 x 1时 1 x 0 此时 f x x 1 f x x 1 x 1 f x f x 1化为 x 1 x 1 1 解得x 则0 x 1 故所求不等式的解集为 1 0 1 2 根据图象 设左侧的射线对应的解析式为y kx b x 1 点 1 1 0 2 在射线上 解得 左侧射线对应函数的解析式为y x 2 x 1 同理 x 3时 函数的解析式为y x 2 x 3 再设抛物线对应的二次函数解析式为y a x 2 2 2 1 x 3 a 0 点 1 1 在抛物线上 a 2 1 a 1 1 x 3时 函数的解析式为y x2 4x 2 1 x 3 综上 函数的解析式为y 互动探究 本例 2 的条件不变 求函数y f x 的值域 解析 方法一 由函数y f x 的图象可得其值域为y 1 所以函数y f x 的值域为 y y 1 方法二 由函数y f x 的解析式可知 当x 1时 y 1 当1 x 3时 y 1 2 当x 3时 y 1 所求函数的值域为 1 反思 感悟 分段函数是指自变量在不同的取值范围内 其对应关系也不同的函数 分段函数的定义域是各段定义域的并集 值域是各段值域的并集 故解分段函数时要分段解决 变式备选 1 设函数f x 若f 2 f 0 f 1 3 则关于x的方程f x x的解的个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选b 由已知得 解得 f x 当x 0时 由f x x得 x2 2x 2 x 得x 2或x 1 又x 0 故x 1舍去 当x 0时 由f x x得x 2 所以方程f x x有两个解 2 甲 乙两地相距150千米 某货车从甲地运送货物到乙地 以每小时50千米的速度行驶 到达乙地后将货物卸下用了1小时 然后以每小时60千米的速度返回甲地 从货车离开甲地起到货车返回甲地为止 设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米 试写出y与x的函数解析式 解析 由题意 可知货车从甲地前往乙地用了3小时 而从乙地返回甲地用了2 5小时 当货车从甲地前往乙地时 由题意 可知y 50 x 0 x 3 当货车卸货时 y 150 3 x 4 当货车从乙地返回甲地时 由题意 知y 150 60 x 4 4 x 6 5 所以y 热点考向3求函数值 方法点睛 求函数值的类型及解法 1 求f g x 类型的函数值时 遵循先内后外的原则 2 对于分段函数的求值问题 应根据自变量所在区间对应求值 不确定时要分类讨论 3 对具有奇偶性 周期性 对称性的函数求值 要用好其函数性质 将待求值调节到已知区间上求解 4 对于抽象函数求函数值 要用好抽象的函数关系 适当赋值 从而求得待求函数值 例3 已知函数f x 是定义在实数集r上的不恒为零的偶函数 且对任意实数x都有xf x 1 1 x f x 求f f 的值 解题指南 求解该题 需知道f x f x 1 满足的关系式 将f x 1 用f x 表示 然后再给x赋值 先求出f 再求f f 的值 规范解答 若x 0 则有f x 1 f x 取x 则有f f 1 f f f x 是偶函数 f f 由此得f 0 于是 f f 1 f f 1 f 5f 0 若x 0 则0f 0 1 1 0 f 0 有f 0 0 f f f 0 0 反思 感悟 对于这类给出函数所满足的抽象的性质 但不知道函数解析式的求值问题 主要考查对函数 映射概念的理解及应用 求解时应根据该抽象的函数关系的结构特征 结合待求值的特点 给变量赋予特殊值 从而使问题具体化 简单化 达到求出函数值的目的 变式训练 1 2012 莆田模拟 已知f x 则f f 的值为 a 2 b 1 c 1 d 2 解析 选c f f f 1 1 cos f 1 cos f 1 2 cos f 2 cos cos 2 cos 2 2cos 1 故选c 2 已知定义域为 x x r 且x 1 的函数f x 满足f f x 1 则f 3 解析 f f 3 1 f f 1 f 3 f 1 2 2f 3 2 2 f 3 1 f 3 2 答案 2 变式备选 设对任意实数x y均有f x y 2f y x2 2xy y2 3x 3y 1 求f 0 2 求f x 的解析式 解析 1 令x y 0 f 0 0 2 当x为任意实数 y 0时 f x 2f 0 x2 3x f x x2 3x 1 2012 福建高考 设f x g x 则f g 的值为 a 1 b 0 c 1 d 解析 选b 因为 为无理数 所以g 0 f g f 0 0 2 2012 安徽高考 下列函数中 不满足f 2x 2f x 的是 a f x x b f x x x c f x x 1 d f x x 解析 选c a f 2x 2x 2 x 2f x 满足要求 b f 2x 2x 2x 2 x x 2f x 满足要求 c f 2x 2x 1 2 x 1 2f x 不满足要求 d f 2x 2x 2f x 满足要求 3 2013 南平模拟 若函数f x 满足关系式则f 2 的值为 a 1 b 1 c d 解析 选b 令x 2得 令得 联立得f 2 1 4 2011 福建高考 设v是全体平面向量构成的集合 若映射f v r满足 对任意向量a x1 y1 v b x2 y2 v 以及任意 r 均有f a 1 b f a 1 f b 则称映射f具有性质p 现给出如下映射 f1 v r f1 m x y m x y v f2 v r f2 m x2 y m x y v f3 v r f3 m x y 1 m x y v 其中 具有性质p的映射的序号为 写出所有具有性质p的映射的序号 解析 由题意知 a 1 b x1 y1 1 x2 y2 x1 1 x2 y1 1 y2 对于 f1 a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 而 f1 a 1 f1 b x1 y1 1 x2 y2