高考数学 第三章 第六节简单的三角恒等变换课件 理.ppt

第六节简单的三角恒等变换 1 半角公式 即时应用 1 思考 你能用sin cos 表示tan吗 提示 2 判断下列公式及其变形是否正确 请在括号中填写 或 解析 根据公式可知根号下分子上应该是 故错 等号右边分子上应该是 故错 等号右边分子上应该是 可以化简验证 故错 答案 3 填空 cos215 sin215 2sin215 1 解析 cos215 sin215 cos30 2sin215 1 cos30 答案 2 形如asinx bcosx的式子的化简asinx bcosx sin x 其中 即时应用 1 把下列三角函数式化成sin x 的形式 sin cos sin cos 5sin 12cos 2 计算 解析 1 sin cos 5sin 12cos sin 13sin 其中tan 2 原式 答案 1 2sin 13sin 其中tan 2 热点考向1三角函数式的求值 方法点睛 三角函数式求值的类型和思路 1 三角函数式求值的类型三角函数式求值分为直接求值和条件求值 直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值 条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值 同时注意所给角的范围 2 条件求值的一般思路 先化简所求式子或所给条件 观察已知条件与所求式子之间的联系 从三角函数名及角入手 将已知条件代入所求式子 化简求值 例1 求下列三角函数式的值 1 sin50 1 tan10 2 若cos cos 则tan tan 3 已知tan 2 则 解题指南 1 把切函数换成弦函数再用公式化简求值 重在公式的逆用 2 利用两角和 差的余弦公式展开求cos cos sin sin 相除得结果 3 根据已知条件求出tan 把所给的三角函数式变形 代入tan 即可 规范解答 1 原式 sin50 sin50 2sin50 2 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin 由 解得cos cos sin sin 则 3 由于是 答案 1 1 2 3 互动探究 把本例 2 中的 cos cos 改为 sin sin 如何求 解析 因为sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 两式相加得sin cos 两式相减得cos sin 反思 感悟 三角函数式求值问题的注意点 1 三角函数式求值时一定要准确地应用公式和选择恰当的思路 否则会使求值过程烦琐 2 条件求值要求准确利用所给的条件 在此可能涉及到式子的变形和角的变换 同时要注意角的范围 变式备选 已知求cos 2 的值 解析 又故可知 从而 热点考向2三角函数式的化简 方法点睛 三角函数式化简的原则 要求及方法 1 三角函数式的化简原则 一是统一角 二是统一函数名 能求值的求值 必要时切化弦 更易通分 约分 2 3 三角函数式化简的方法主要是弦切互化 异名化同名 异角化同角 提醒 同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用 特别是 1 的代换经常用到 例2 化简 2 解题指南 利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式 化无理式为有理式 但要注意 的范围 规范解答 原式 2 cos 0 当时 sin cos 0 原式 2 sin cos 2cos 2sin 当 2 时 原式 其中tan 2 原式 反思 感悟 本题利用了 1 的逆代技巧 即化1为sin2 cos2 是欲擒故纵原则 一般地有 变式训练 化简 解析 原式 变式备选 化简 解析 方法一 原式 方法二 原式 热点考向3三角恒等式的证明 方法点睛 三角恒等式证明的方法及切入点 1 证明恒等式的方法 从左到右 从右到左 从两边化到同一式子 原则上是化繁为简 必要时也可用分析法 2 三角恒等式证明的切入点 看角 分析角的差异 消除差异 向结果中的角转化 看函数 统一函数 向结果中的函数转化 例3 证明 1 2sin x sin x cos2x 2 解题指南 1 从等号的左边开始证明先变成相同的角 再利用公式推导 2 从等号的左边证明 主要是利用同角三角函数关系式 注意 1 的代换 规范解答 1 左边 2sin x cos x sin 2x cos2x 右边 原题得证 2 左边 右边 原题得证 互动探究 把本例 2 中等号左边改为 右边不变 试证明 证明 左边 右边 所以原等式成立 反思 感悟 三角函数式的化简与证明 主要有以下几类 对三角的和式 基本思路是降幂 消项和逆用公式 对三角的分式 基本思路是分子与分母约分和逆用公式 最终变成整式或数值 对二次根式 则需要运用倍角公式的变形形式 在具体过程中体现的则是化归的思想 是一个 化异为同 的过程 涉及切弦互化 即 函数名 的 化同 角的变换 即 单角化倍角 单角化复角 复角化单角 复角化复角 等具体手段 变式备选 在 abc中 已知求证 证明 热点考向4asinx bcosx sin x 的应用 方法点睛 三角函数性质的讨论 1 三角函数性质的讨论 可通过变形为asin bcos sin 其中tan 的形式去讨论 这样的变形 主要是 角的确定 2 通过恒等变形 我们可以将较为复杂的函数形式转化为较为简洁的函数形式 有利于更好地讨论三角函数的性质 但要注意是恒等变形 因为在某些情形下 变形会导致定义域的变化 从而影响函数的值域和周期等性质 提醒 该公式是逆用两角和的正弦公式得到的 当 为特殊角即 的值为1或时要熟练掌握 对 是非特殊角时 只要求会求最值即可 例4 2013 厦门模拟 已知函数 1 求函数f x 的最小正周期以及单调递增区间 2 设f x 的最小值是 1 最大值是2 求实数a b的值 解题指南 1 先降幂 利用辅助角公式化为一个角的三角函数 再求周期和单调区间 2 根据最大值 最小值列出方程组 再求a b 规范解答 1 由得 f x 的最小正周期为 单调增区间为 2 f x min f x max 变式训练 2012 三明模拟 已知函数f x sin2 x 0 的最小正周期为 1 求 的值 2 求函数f x 在区间上的取值范围 解析 1 f x 因为函数f x 的最小正周期为 且 0 所以解得 1 2 由 1 得因为所以所以因为所以f x 在区间上的取值范围为 1 2013 三明模拟 已知函数 其中 0 x r 的最小正周期为 则函数的一条对称轴可能是 a b c d 解析 选d 又最小正周期为 故得 1 故当时 此时f x 取得最大值 故一条对称轴为 2 2013 厦门模拟 已知函数f x 若f x 1 则x的取值范围为 解析 选b 3 2013 莆田模拟 已知tan 2 则 a 3 b 1 c d 解析 选 4 2012 福州模拟 已知函数f x tan 2x 1 求f x