高中数学 1.1 归纳与类比课件 北师大版选修22.ppt

路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 成才之路 数学 推理与证明 第一章 1归纳与类比 第一章 1 了解合情推理的含义 2 能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理 3 体会并认识合情推理在教学发现中的作用 本节重点 合情推理的定义及归纳推理和类比推理的定义 本节难点 归纳和类比推理的基本方法 1 归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性 推断 这种推理方式称为归纳推理 简称归纳 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的 一般地 如果归纳的个别情况越多 越具有代表性 那么推广的一般性结论也就越可靠 该类事物中每一个事物都有这种属性 2 类比推理的定义由于两类不同对象具有某些类似的特征 在此基础上 根据一类对象的其他特征 推断另一类对象也 这种推理方式称为类比推理 简称类比 类比推理是由特殊到特殊的推理 是两类事物特征之间的推理 利用类比推理得出的结论不一定是正确的 一般地 如果类比的两类对象的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越相关 那么类比得出的结论就越可靠 具有类似的其他特征 3 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 合情推理是根据实验和实践的结果 个人的经验和直觉 已有的事实和正确的结论 定义 公理 定理等 推测出 的推理方式 尽管合情推理的结果 但它是科学发现和创造的基础 某些结果 不一定正确 1 对归纳推理的理解归纳推理是从个别事实中概括出一般结论的一种推理模式 归纳推理的前提是特殊的情况 立足于观察 试验或经验的基础上 归纳推理的结论具有猜测的性质 2 归纳推理的一般步骤 1 观察 通过观察个别事物发现某些相同性质 2 概括 归纳 从已知的相同性质中概括 归纳出一个明确表述的一般性命题 3 猜测一般性结论 在一般情况下 如果归纳的个别情况越多 越具有代表性 那么猜测出的一般性结论也就越可靠 3 对类比推理的理解类比推理是在两类不同的事物之间进行对比 找出若干相同或相似之处之后 推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式 类比推理的关键在于明确指出两类对象在某些方面的相似特征 4 类比推理的一般步骤 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 或猜想 一般情况下 如果类比的两类事物的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越相关 那么类比得出的结论就越可靠 类比推理的结论既可能真 也可能假 它是一种由特殊到特殊的认识过程 具有十分重要的实用价值 5 合情推理的特点及一般步骤 1 合情推理是指 合乎情理 的推理 数学研究中 得到一个新结论之前 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论 证明一个数学结论之前 合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向 2 一般来说 由合情推理所获得的结论 仅仅是一种猜想 未必可靠 6 归纳推理的特点是 1 归纳推理的实质是由部分到整体 由个别到一般的推理 2 应用归纳推理获得的新结论 一般只能作为猜想 虽然猜想是否正确还有待严格的证明 但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向 类比推理的特点是 1 类比推理的实质是两类事物特征之间的推理 2 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象 我们可以从不同角度出发确定类比对象 基本原则是要根据当前问题的需要 选择适当的类比对象 7 常见类比的知识点 1 平面几何与立体几何 能进行类比的基本元素有 2 实数相等关系与不等关系 方程与不等式的性质 3 实数的运算律与向量的运算律 4 等差数列与等比数列的定义及性质 5 三种圆锥曲线的定义与性质 归纳推理 某少数民族的刺绣有着悠久的历史 图 1 2 3 4 为她们刺绣中最简单的四个图案 这些图案都是由小正方形构成 小正方形数越多刺绣越漂亮 现按同样的规律刺绣 小正方形的摆放规律相同 设第n个图形包含f n 个小正方形 解析 1 f 5 41 2 因为f 2 f 1 4 4 1 f 3 f 2 8 4 2 f 4 f 3 12 4 3 f 5 f 4 16 4 4 由以上规律 可得出f n 1 f n 4n 因为f n 1 f n 4n 所以f n 1 f n 4n 所以f n f n 1 4 n 1 f n 2 4 n 1 4 n 2 f n 3 4 n 1 4 n 2 4 n 3 f n n 1 4 n 1 4 n 2 4 n 3 4 n n 1 2n2 2n 1 类比推理 分析 先找出相似的性质再类比 一般是点类比线 线类比面 面类比体 解析 圆与球有下列相似的性质 1 圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合 球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合 2 圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形 球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形 通过与圆的有关性质类比 可以推测球的有关性质 分析 考虑到用 面积法 证明结论时 把o点与三角形的三个顶点连结 把三角形分成三个三角形 利用面积相等来证明相应结论 在证明四面体中类似结论时 可考虑利用体积的方法相应结论 点评 在类比推理中 找出两类事物之间的相似性或一致性 特别是由平面向空间类比中 注意研究空间和平面的根本区别 类比推理 在 abc中 余弦定理可叙述为a2 b2 c2 2bccosa 其中a b c依次为角a b c的对边 类比上述定理 给出空间四面体性质的猜想 解析 如图 s1 s2 s3 s分别表示 pab pbc pca abc的面积 依次表示平面pab与平面pbc 平面pbc与平面pca 平面pca与平面abp之间所成二面角的大小 故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为 点评 我们常将空间几何体与平面图形之间的性质进行类比 如四面体 三角形 长方体 矩形 圆 球 注意 线 面 平面角 空间角 面积 体积之间具有类比关系 归纳推理 观察下列等式 cos2 2cos2 1 cos4 8cos4 8cos2 1 cos6 32cos6 48cos4 18cos2 1 cos8 128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1 cos10 mcos10 1280cos8 1120cos6 ncos4 pcos2 1 可以推测 m n p 答案 962 解析 观察每一个等式中最高次幂的系数 2 8 32 128 m 构成一个等比数列 公比为4 故m 128 4 512 观察每一个等式中cos2 的系数 2 8 18 32 p 规律是1 2 2 4 3 6 4 8 故p 5 10 50 每一个式子中的系数和为1 故m 1280 1120 n p 1 1 代入m和p 可求得n 400 故m n p 512 400 50 962 点评 在归纳中只照顾到了不等式中左边的项数及右边规律 但没有把握深层次规律 即x的系数和为1 归纳推理时要注意对结构形式细致观察 并且尽量多归纳几个 必要的时候对特殊情况进行随时检验 一 选择题1 把1 3 6 10 15 21 这些数叫作三角形数 如图所示 则第七个三角形数是 a 27b 28c 29d 30 答案 b 答案 c 解析 结合实数的运算律知c是正确的 3 四个小动物换座位 开始是鼠 猴 兔 猫分别坐在第1 2 3 4号座位上 如图所示 如果第1次前后排动物互换座位 第2次左右列动物互换座位 这样交替进行下去 那么第2009次互换座位后 小兔坐在第 号座位上 a 1b 2c 3d 4 答案 a 解析 由题意得第4次互换座位后 四个小动物回到了原位 即每经过4次互换座位后 小动物回到原位 所以第2009次互换座位后的结果与第1次互换座位后的结果相同 小兔坐在第1号座位上 故选a 二 填空题4 2014 临沂一模 对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式 22 1 3 32 1 3 5 42 1 3 5 7 根据上述分解规律 对任意自然数n 当n 2时 有 答案 n2 1 3 2n 1 解析 分解以后是以1为首项 2为公差 项数为n的等差数列的和 三 解答题6 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间中 并判断类比的结论是否成立 1 如果一条直线与两条平行线中的一条相交 则必与另一条相交 2 如果两条直线同时垂直于第三条直线 则这两条直线互相平行