（应用数学专业论文）一类带停时的奇异型控制模型的推广.pdf

姚 8 c 1 l 9 声 明 本人郑重声明: 本论文的所有研究工作都是在导师指导下， 由本 人独立完成，论文中所引用的已知结论均已列在参考文献中. 未经作扮、 导热砰愚 勿全, , . 公 布 目录 摘 要 随机最优控制是现代控制理论的一个重要分支. 近几十年来被广泛应用 于工程、 经济、 金融、 生物、 管理等领域， 随机最优控制模型的研究始于 二十世纪六十年代， 在随后的二十多年中 得到了 很大发展， 各种模型被相 继提出 并进行了 研究， 其 研究主要分为两个方面: 对随机微分 积 分) 方 程的研究和最优化问题( 基于费用函数的变分方程) 的研究。 本文研究的带有停时的 奇异型随机最优控制模型于1 9 9 4 年由m.h . a . d a v is 和m . z e r r o s 13 1 提出. 但 相应的费用函数 过于简 单， 使其应 用面受到了限 制. 本论文对原间 题的费用函数进行了更一般的推广， 从而扩展了其应用 范围， 并且基子动态规划方法研究了 解决此类间题的关键所在: 对费用函 数所应满足的变分方程的 构造和分析. 论文分为四章: 第一章绪论，主要介绍了随机最优控制的一些发展情况及一些常见 的随机最优控制模型. 第二章研究了带有吸收壁和反射壁的最优控制策略， 扩展了费用函 数， 并对控制方法进行了直观分析. 第三章研究了 跳一一停” 型最优控制策略， 并对变分方程的提出进 行了构造分析. 第四章结语， 给出了 本文的主要结论以及有待于进一步解决的间 题. 关键词: 随机最优控制; 奇异控制; 动态规划; 变分方程; 停时; 跳一一 停;吸收壁; 反射壁. 目录2 ab s t r a c t s t o c h a s t i c o p t i m a l c o n t r o l i s a n i m p o r t a n t b r a n c h o f c o n t r o l t h e o r y . i n r e c e n t d e c a d e s , s t o c h a s t i c o p t i m a l c o n t r o l is w i d e ly a p p li e d i n m a n y fi e ld s s u c h a s s p a c e s h i p n a v i g a t i o n , t r a c e p r o b l e m . e n g i n e e r i n g , e c o n o m i c s , fi - n a n c e . b i o l o g y , m a n a g e m e n t a n d s o o n t h e r e s e a r c h o f s t o c h a s t i c c o n t r o l mo d e l s i s c o mme n c e d i n 1 9 6 0 s , a n d l a r g e l y d e v e l o p e d i n t w o d e c a d e s s u b s e q u e n t l y . m a n y m o d e l s a r e p u t f o r - %v a r d , t h e r e s e a r c h o f t h o s e m o d e l s m a i n l y d i v i d e d i n t o t w o a s p e c t : t h e r e s e a r c h o f s t o c h a s t i c d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n ( o r i n t e g r a l e q u a t i o n ) a n d t h e r e s e a r c h o f v a r i a t i o n a l e q u a t i o n . s i n g u l a r s t o c h a s t i c c o n t r o l m o d e l w i t h s t o p p i n g t i m e s t u d i e d i n t h i s p a p e r i s p u t f o r w a r d b y m. h . a . d a v i s a n d m. z e r r o s i n 1 9 9 4 . b u t t h e c o s t f u n c t i o n i s t o o s i m p l e t o b e u s e d . f o r t h e s a k e o f e x t e n d i n g i t s a p p l i c a t i o n . t h i s p a p e r g e n e r a l i z e s t h e c o s t f u n c t i o n , s o g e n e r a l i z e s t h e m o d e l a p p l i c a t i o n . a n d w e a l s o d i s c u s s t h e k e y w o r k t h a t d i s s o l v e t h i s k i n d s o f p r o b l e m : t h e c o n s t r u c t a n d a n a l y s i s o f v a r i a t i o n a l e q u a t i o n . t h i s p a p e r i n c l u d e s f o u r c h a p t e r s :t h e fi r s t c h a p t e r i s t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e r e c e n t w o r k s a n d s o m e n o r m a l o p t i m a l s t o c h a s t i c m o d e l s . t h e s e c o n d c h a p t e r e x t e n d s i s c o s t f u n c t io n o f o r i g i n a l m o d e l .t h e t h ir d c h a p t e r g i v e s a n o t h e r e x t e n d i n g o f t h e o r i g i n a l m o d e l s . i n t h e l a s t c h a p t e r , w e g i v e t h e m a i n c o n c l u s i o n s o f t h i s p a p e r a n d t h e p r o b l e m s w h i c h c a n b e r e s e a r c h e d f u r t h e r . 目录3 ke y w o r d s : s t o c h a s t i c o p t i m a l c o n t r o l ; s i n g u l a r c o n t r o h d y n a m i c a l p r o - g r a m m i n g ; v a r i a t i o n a l e q u a t i o n ; s t o p t i m e : j u m p - s t o p ; a b s o r b i n g : r e fl e c t i n g 第一章绪论 1 . 1 现代控制理论发展简介 现代控制理论的莫基人是美国科学家维纳自 从二十世纪五十年代 以来，由于计算机、 航空、 航天等技术的飞速发展， 控制理论得到了广泛 的应用， 同时其本身也获得了很大的发展. 主要包括如下五个分支 线性 系统理论， 建模和系统理论， 最优控制以及自 适应控制. 在 对实际控制问 题的研究中， 人们认识到， 由 于某些外部及内部因 素 的干扰， 影响 控制系统的不确定因 素是时有发生的. 因 此， 随机控制理论 得到了 应用和发展. 随机 控制理论是研究 具有随机信号， 随 机噪声和随机 待it 的系统控制理论. 这方面的工作可分为两个方面来看: 1 、 对随机过程的研究.由 于随机控制研究的 是非确定性系统， 传统 的 微 分方程理论在描 述它时 产生了 很大的困 难，1 9 5 1 年， 伊藤( k . i t 司 发表了 论随 机微分方程一文， 使得对具有良 好统计规律的非确定性 系统的描述有了相应的理论基础. z 、 对控制本身的研究. 这方面的主 要理论有: 庞特里亚金的极大值 原理 1 9 5 1 年) ， 贝尔 曼的动态规划法( 1 9 5 7 年) ， 卡尔曼的滤波和预测 理论 ( 1 9 6 0 年) ，这些工作产生了 随机最优控制理论和滤波理论. 随机最优控制是随机控制理论的一个重要分支， 其主要是求一状态 反馈， 使目 标达到最优， 该状态反馈称为最优控制策 略. 随机最优控制的 研究 主 要基于贝尔 曼动态规划原 理.r .e . b e l l m a n 在其著 作d y n a m i c a l p r o g r a m m i n g ( 1 9 5 7 ) 中 把动 态规划原 理表 述如 下: 第一章 绪论 a n o p t i m a l p o l i c y h a s t h e p r o p e r t y t h a t w h a t e v e r t h e i n i t i a l c o n d i - t i o n s a r e ; t h e r e m a i n i n g d i c i s i o n m u s t c o n s t i t u t e a n o p t i m a l p o l i c y w i t h r e g a r d t o t h e s t a t e r e s u l t i n g f r o m t h e fi r s t , d e c i s i o n . 即 一个最优策略具有这样的 性质: 不管初始状态或策略如何， 相对于初始 策略产生的状态来说， 其后的策略必须构成最优策略. 概括为， 每个最优 策略只能由 最优子策略组成.由 此通常得到 b e l lm a n 动态规划方程， 而 这个方程在很多情形下不可解，一般地需要借助以下两种方法: 1解变分方程方法， 由a . b e n s o u s s a n a n d j .l . l i o n s 提出， 通常是 利用动态规划原理得出费用函数所应满足的变分方程，再给出相应的最 优控制策略.它常用于一维问题， 侧重于随机分析. 2 . 粘性解方法，由 m. g . c r a n d a l l a n d p . l . l i o n s 在研究随机控制 问 题时 提出， 其中的方法不只对随机控制的研究起到推动作用， 也对微分 方程的研究起到巨大的 推动作用. 这种方法侧重于方程， 也适用于多维问 题，在金融数学的研究中常常用到. 本文下面的主要工作就是利用动态规划原理得出费用函数所应满足的变 分方程，并给出最优控制策略. 这里需要指出的是，目 前主要研究的随机最优控制间 题都是状态完 全能观测的系统， 本论文研究的也是这样的一类问题. 1 .2 几 种常见的 随机控 制模型 i 奇异控制 自 八十年代初， 奇异型随机控制间题开始引 起人们的关注， 后来的十 第一章 绪论 多年发展较快， 是一种比较实用的模型. 设牌 .f . p ) 为一概率空问，i i i, , t 。 为其上wi e n e r 过程，天 = 以w ,0 0 , x er , f eb，目 标费用为: j (一 ; ) 一 e l 一h (x t)d t + d i e, 其中二 =x 十琳 + fi t , h ( x ) 一般为非负二次连续可导凸函数. 目 的 是求 最优 控制c e 1 3 ， 使 ax c ) = m i n4e6 d ( x , 动 带有折扣费用的奇异型随机最优控制模型的推广， 可以从费用函数和状 态 过程两方面入手， 在一维情形下已经研究扩展的比 较完善. 这方面的文 献可参看!1 ，3 ，4 ，5 . 2 . 平均期望费用模型 对x e r , e b，目 标费用为: j (x , ) 一 1二f 参 二 兀 tlim inn f t e f h (x t)d t + do t 第一章 绪论 脉冲控制由于其应用上的可操作性， 最先受到重视. 最初由b c n s o u s - s a n a n d l i o n s 提出 。 后来r i c h a r d 将其推广到无 限 时域上. 设晰 是概率空间牌 j r . p ) 上的标准布朗 运动， 入 =川i i i , , s 1 ， 令v表示控制集. 分两种情况: 1 折扣费用问题 对于x er , v ev，目 标费用为: j (x ,v) = e lf0 一 “ (一 )“， + 客 一 b (f;)j 其中 状 态 过 程x t =x + 川十e l ; i r . , ， 求 一 个 控 制沪使 j ( x , v ) 一 溉j ( x , v ) 2 . 平均期望成本问题 对 v v令 j ( x , v ) =t h ( x l ) d t +又 b ( # , ) r ; 0 , v x e r找出 控制v = ( ; * ; i ) , i 1 使得 溉 j ( x , v * ) = a 一 惑h m in f j (x , v ) ,t-,- 其中 x t x , ; + ; - 满足 分段随机微分方程 d x l =以 x t ) d w, t e执 t ;+ 1 1 x r , += 对脉冲控 制的 研究， 详细的 证明 见 刘坤会回1 2 孙世良 1 3 1 . i i i 带有停时的随机最优控制模型 第一章 绪论 随着对随机最优控制理论的研究和实际应用中的发展，一类新的模 型即带有停时的随机最优控制模型被提出，这里带停时的意思为费用函 数中含有停时， 这既要求不但要得出最优控制， 而且要求出最优停时. 以 普通型最优控制为例， 条件同i 中 所述。 并设 t表全体只适应之停时， 则对 h e 召 . 二 任 t，费用函数为: 、 (; ， ) 一 e l f h (t , x , ,) 十 。 (x (7 ) ) 目 的 是寻找# e b , -r 任 t使得: j . w , r . ) 一 ; m in 二 j ( i, r ) .e d ,* e t 带有停时的随机最优控制在实际中有很强的应用背景， 如跟踪问题， 经济学中的 “ 投人一一产出” 问题， 投资中的最佳停止问题等. 相应的文 献参看 1 4 . , 1 5 , 2 1 , 2 2 . 1 .3 本论文的工作简介 本论文 讨论了一 类带停时的奇异型随机最优 控制模型， 该模型由m.h .a d a u i 。 和m .z e r r o s 在1 9 9 4 年【1 5 提出 并 进行了 研究， 其 模 型 如 下: 设( s 2 , .f , p ) 为 一 概 率 空间，w , , t _ 0 为 其上w i e n e r 过 程，.f t 二 以w ，0 0 为折扣因 子， a , 6 x 一i 从+乏 ， ， 制费用， 目的是寻找 f s r , =x + l -1 % , + , ， 为正常数， 二元组 ( 著 若 x为初值， 动为一控制， 则状态 x t = j x ( , r ) 为控 任召 r t . 任t， j x ( 使得 ， 了 ) 一 in f j ( , r )t .r 文献 1 5 的 作者证明了该模型存在两种不同的最优控制策略， 分别 为带有吸收壁和反射壁的控制策略和 “ 跳一一停” 控制策略， 并给出了相 应的最优控制，此后又有人将模型推广为: 、 (; ，r ) = e f 。一 a x tl dt + k 1 臀，f ( x ) 为r上分段的正值连续偶函数. 2 、 对 “ 跳一 停” 控制策略， 将其推广为: j x ( e , r ) 二e f 。 一 h (x t)d t + f (x ,) dot + 。一 ， (m l 上式中g ( x ) , h ( x ) 均为二次连续可导的偶函数，g ( 0 ) 二h ( 0 ) =0 ， 并且 v x e r , 3 e 0 ， 使得: _ 尹( x ) 2 习a 则存 在常 数。b ; 0 。 2 p (x ) 2 a 一 2 a p (二 ) 一 确a c ( x ) = - 2 w ( x ) .p 3 ( x ) 0 所以 任意 a l ( - ) , 9 2 ( x ) 均在0 , r ) 之间 的 实 数 域上 有 意义. x e 0 , r ) , a 1 (x ) 0 , p 1 (0 ) 一 ， li m w , (x ) 一 + 00 ; 第二章 带反射壁和吸收 壁的奇异型随机控制 、1 x6 了才飞、 zc二 尸( 而对n 2 ( x )我们有11 2 ( 0 ) 在!0 , r ) 之间至少有一解， 一。 x p a f , ( o ) 、 2 a / - a ) 1 ， 故。 i ( x ) = 令“ 一 m in 1 t : p i (x )0 a 0 ， 由( 2 . 1 0 ) 式可知 a。( 因为 p 3 ( - ) 在 0 , 的区间内小 于零) 再由 ( 2 .1 1 ) , ( 2 .1 2 ) 易见ba0 即a , b均为负. e x p 2 ( b - a ) 2 2 c, = - 2 a 一 丫 2 a ( 2 a b 一 。 f , ( a ) ) - 2 a + 了 2 a ( 2 a b 一 。 f i ( a ) ) ( 2 .8 ) 乘以( 2 .9 ) 有: 2 a p ( a ) 一 、 俪 p ( a ) 一 2 a 2 c y p ( a ) +甲 2 a p ( a ) 一 2 a ( 2 . 1 4 ) 因为 a . b均为负，易得: - 2 a 一 、 2a ( 2 a b 一 o f ( a ) ) - 2 a + 、 2 a ( 2 a b 一 。 f , ( a ) ) 。 再 结 合2 a 川 司一 、 2ap ( a ) 一 2 a a 0 . 取f ( 二 ) =4 e x p ( 2 a x ) + b e x p 卜训 2 a x ) 十 舍 x 2 + 奋先 验 证f ( x ) 满 足 ( 2 .3 ) 式: 2 f (x ) - ckf (x ) + a x e - 告 (2 a a ex p ( 2 a x ) + _一、2 入 、 2 a h e x p ( - -, / 2 a x ) + 万) 一_一、 a x e a ( a e x p ( j 2 a x ) + b e x p 一 x / 2 0 x ) + 万 + 夭) +a x e a 一 * x 2 一 a + a x e 0 再来验证 f ( x ) 满足( 2 .4 ) 式: : (。 ) 一 ， ex p (二 ) + b ex p (一 、a ) + a a a + a 2 _( 4 a 2 ) - 1 (4 a u (a ) - 4 a ) + 立 a 2 + 宾 aa - _p (a ) 一 典 十 a a 2-十 典 aaaa- e4 a ) + a a 2 a 第二章 带反射壁和吸收壁的奇异型随机控制 二a g (a ) 一 、 (a ) f ( a )=斌 丽a e x p ( 2 a a 卜 而石 b e x p ( 一2 a a 鲁2 2a (1(a) 十 2 aa.a c eg (a ) - 2 a a + 2 入 a 最后验证 二 g ( a ) f ( x ) 满足( 2 .5 ) 式 a e x p ( v 2 xb 卜b e x p ( - v t a b ) a b 2入 十 了 + ; 2- - 2; 一 二 (ta b - a fl(a ) - 4a 2 - 2a + 二 (2 * 卜 a 、 ()卜z2 a b - o f (a) -1- aba + : 竺 ( y 上州人 - 丽+ a 2 二 世 a -一-一一一 一 v /2-cca ex p ( 2a b) 一 v /-9-a b ex p (- 2 a b) + 半 = 2 , (4 a 2 ) 一 e x p ( 一 丫 2 a b ) - 2 a 一 寸 2 a ( 2 a 一 a f l ( a ) ) e x p ( 夕 2 a b ) 一、 2a( 4 a 2 ) 一 e x p ( v 2 a b ) - 2 a + ( 2 a 一 a f , ( a ) ) - p ( 一 、 场 ) + 匀抽 ff 2 a b a 2 。 ， _ ， =一-( l h b一 ah ( aj l 4 臼、 2 a b 2 a 2 a 十f i ( a ) 2 入 b 一a i , ( a ) ) 十 a f ( b ) t 2 a ( 4 a 2 ) 一 ， e x p ( - 2 a b ) (- 2 a 一 、 2a( 2 a b - a f i ( a ) ) - p ( 夕 t a b ) 第二章 带反射壁和吸收壁的奇异型随机控制 2 a (4 0 2 ) 一 e x p ( 2 c ,b ) - 2 a + 2 a ( 2 a b 一 o f , ( a ) ) e x p ( 、 t a b ) + 0 定义 f w f i ( a ) , 几( a ) 设 f 2 w 为 r处处二次连续可导a数， f 2 ( a )=f助 = =f i ( a ) , f z ( b ) 二。且d x e ( a , b ) , f 2 ( x ) ? f ( a ) 令 0 三x久 ax b . x_ 0 ( 2 ) v ( x ) - b , 二 ( - x ) , x( 0 了.，、. - l j 了.、 u 容易验证，v ( x ) 为连续可导且其二次导数只在二 =土 a ， 士 b 时为第一类问 断 点， 其 余 均 连 续， 为了 方便 证明 ， 仍 如引 理1 一 样， 令p ( x ) = a 9 ( x ) 一 a x e 先来证明v ( x ) 0 当。 。 当a x 0 故p e( 。b ) 因此vi(z)在区问( a _ p ) 之问为单调增加， 而在区问 ( p , b ) 之间 为 单调减 小. 则 对二 e ( 。 ， 句r ( 劝=f ( 劝 。 当二b 时， v ( x ) =f ( x ) = 0 又因 为 : ( ) 为偶函数， 故对 b a : e r , 有v ( x ) -。 ， 即: ( ) 满足变分方程( 1 ) 由 上 面 的 证明 还 可 推 知 :h x e ( a . b ) , 0 v ( x ) 一 f ( x ) 替 g ( x ) ( 因 为f ( 二 ) =2 a a e x p ( 、 2 a x ) + 2 0 b e x p ( - 、 2 a ) + 警b a 替 ， f ( 0 ) 0 , g ( 0 ) = 0 , 所 以v ( 二 ) =9 1 ( 二 ) 0 , v ( x ) 在( a , b ) 上不减， 所以v ( x ) “ 由 于合 嵘 ( a ) 一 a v ( a ) + a a 2 0 , 告 v _ ( a ) 一 。 v ( a ) + a a 2 0 ， 故扣 ( a ) - 二( a ) + a a 2 。与 上 同 理 ，查 v ( b ) 一 ce v ( b ) 十 a a 2 。 这 样 ， 对h x e r + 均 有麦 v ( x ) 一 a v ( x ) 十 入 护全 。 再 由: ( x ) 为 偶 函 数 ， 故 对介e r , 。 ( 幻 均满足变分方程 ( 4 ) . 由v ( x ) 的分 段构造，( 5 ) 亦易 证得. 引理 3 b o , x _0 为 任意两个实数，盯 为ci 中连续非降 过程， b t 一 m a x 0 , m a x x0 , t+ w , 一 v ( - a 一景 卜 气一 a +誉) 一 t( - a -签 )x ，a +是 x e ( - a 一是 ， - a + v ( a 一些 竺 户( 二 一 。 十 n ) , x e ( a 一号 ， 。 +轰 ) ; 2 ( x ) 二 : “ ( 一 6 一( 二 十 6 + 之 ) ，二 创一 卜 畏 . - b 十 b +十 1、廿 0-n乙-几 v ( b + v (b + b r4 一兰 全二 盏 (: 一 6 + 7t ) 二 。 ( b 一 尝 b 十 轰 ) b一n 对于其他情形: 。 之 ( x ) =v ( x ) 则显然有 ( x ) 连续， 并 且有， ; ( ) 一 2 w + (a ) + 竺 (。 ， : (一 ) 一 ; ! ; (一 ) + 竺 (一 ， ; (“ ) 一 ; ， ; (“ ) + 竺 ” )” v . ( - b ) =2 iv ( - b ) + v _ ( - b ) 溉概概概 故有( x ) 令v ;, ( 二 ) = ，v ( x ) , ( 。 - o o ) 片 ( 二 ) d u , v ( x ) =片呱 ( 二 ) d u ， 此 时易 证 有， in( 二 卜 v ( 二 ) 一 i j (v (u ) 一 v (u ) du l 第二章 带反射壁和吸收壁的奇异型随机控制 三 j l( u ; (。 ) 一 “ (u ) idu 0o+ = 心 + 去 i(v n (u ， - v (u )id u + i i(v n (u ) 一 : (u ) i d u 一 去 ( 伪 正常数) ， 了才了 - 以北一? 故有v ., ( x ) *v ( x )( : -0 0 ) ， 又 i v n ( x ) 一 v ( x ) i= lx l4 c j 二二 d u 4 c l x l 几 则对任意的x r，有v ( x ) - v ( x ) ( n *0 o ) . 由 上面的 分析易见 ， 存在n i , n 2 为 正常数 ， 使 得: iv n ( x ) i 5 n i , i v . ( x ) i 5 n 2 ， 即( x ) , v ( x ) 均 有界. 由 前 面 构 造， 易 见v ( x ) 二次 连 续 可导 ， 则 对二 : = x 十 琳十 g， 应 用d o l e a n s - d a d e - m e y e : 公式1 6 1 : 得: v (x ) = 一 、 (x r ) + i 。一 。ctv (x t) - 2 vn (x c) 一 f 一; (x :一 )， 一 j t 。一 。 “ (! :一 )“ “ ! - 又 。 一 “ 1 o v ( x l 卜 v n ( x t - ) 0 x 1 1 ( 2 . 1 9 ) 0 1 r 上式中x =二 * 一x = _ . 第二章 带反射壁和吸收壁的奇异型随机控制 首先证明( 2 . 1 9 ) 式最后一项非负.因为: l v( x t 卜 。 : ( x t - ) ) x ,= v , ( x , ) 一 。 n ( x , - ) 一 蛛 ( x t - ) 二 ， = v n ( x ,一 十l x t ) - v ( x t - ) 一妹 ( x t - ) l x t 一 2 vn (x ，一 + “: 一 ) 2x t (。 0 所以( 2 .1 9 ) 式 最后一项 非负， 下面再来证明( 2 .1 9 ) 式右部其余各项均是 可积的，从而可取数学期望. l e-v n ( x z ) l e e - t w ( x r ) 卜 e r w n ( x * ) 一v ( x t ) i - r 匆 ( x , ) 一v xi ( x r ) 一。 ( x , ) ) 变分 方程( 1 ) e g (x , ) ? e ar 架 三 e ( mi g ( x * ) 十m2 )引理4 上 式中c 1 , 1 19 1 , m 2 均为 正常 数( 下同， 即 对 其依 次 编号 ) ， 因 为已 假 设( 2 . 1 8 ) 式右部为有限值， 故e ( e 0 7 9 ( x t ) ) 00， 故有e k e = v n ( x ) 1 c ic ， 即 e r v ( x r ) 可积. 再来 看第二项， 有: j 一 !。 。 (一 ) 一 1 v (一 ，“ ， f 。 一 a lv (x t) 一 ” (x t) jdt - lv ( x , ) i dt j4e + j e ia v (x t)i d t + 1 已一 一 ， 1 一“一 ，一 ， n d t 滋 臼 一 e 甲尸奋矛j。 从 第二章 带反射壁和吸收壁的奇异型随机控制 。 一 。 ( c i ix t i +n , ) dt e a f a f ; 入 x , 2 女 宁了jot厂，0 + 珑从 同 理， 由 2 . 1 8 ) 式右 部为有限值， 有 e a kl a 了 m ,s a x t d t c e l i f e o t la v . ( x t ) 一2 嗽x t ) 7 dt j) 二， 即 其 可 积 再来看f , e ai v n ( x t ) 弋 ，对其有 if 一 v (x t) d ,( 仍由( 2 . 1 8 ) 式右部为有限的假设， 应有: f o e a t v ( x t ) t 可 积. i c i i n ( x t ) i t i e a t e ( 二 。) i d ,t e f ( x t ) 嫉 e f o e - a t f ( 二 。 ) 晾 0 0 ， 即 于宁了 .了却2九厂尹九 一一1 最 后由v ( x t ) 的 有 界 性， 有 e lf o剑 斑, ( x te - v ) 为平 方可 积 鞍， 故有e lf o e a t v , ( x t ) d w) =0 cx，这说明 结合上面证明 ， 除去( 2 . 1 3 ) 式最后一项， 并对其两边取期望， 可得: vn (x ) : e i。一 、 (二 ):+ “ :五 一 !a v (一 卜 告 ; 。 )。 卜 e i f r0 二 。 !、 (: 。)“。 : ( 2 2 0 ) 下 证诊2 0 ) 右边 三 项当。 *0 0 时 均 有 极 限 . 先ijl e ( 。 一 。 r u ( x r ) ) 、e ( e - t , ( x r ) )( 。 *0 0 ) ， ie ( 。 一 。 r u . ( x , ) ) 一 e ( e v ( x r ) ) i s ) 答， 即 其 有 界 ， 再 由 控制收敛定理， 有: e f y0 已一 二 x t)dt 一 e jo c一 urr(x t)(d t. 再 证e f , e - 1 1 a v( x t ) d t 、e f a e 0 t a v ( x t ) d t ， 同 上 有: ( n 一 o o ) 由控制收敛定理， f e a ta v n (二 !)“