度高中数学 3.1.3 概率的基本性质同步辅导与检测课件 新人教A版必修3.ppt

3 1随机事件的概率3 1 3概率的基本性质 概率 1 正确理解事件的包含 并 和 交 积 相等 及互斥事件和对立事件的概念 2 掌握概率的几个基本性质 3 正确理解和事件与积事件 以及互斥事件与对立事件的区别与联系 基础梳理 1 事件的包含关系如果事件a发生 则事件b 则称事件b 事件a 例如 事件a 投掷一个骰子投得向上点数为2 b 投掷一个骰子投得向上点数为偶数 则 记作 2 相等事件若 且 那么事件a与事件b相等 1 一定发生包含例 事件b包含事件aa b2 a bb a 3 并 和 事件若某事件发生当且仅当 则称此事件为事件a与b的并事件 或称和事件 记作 a b 4 交 积 事件若某事件发生当且仅当 则称此事件为事件a与b的交事件 或称积事件 记作 a b 5 互斥事件若a b为 即a b 那么称事件a与事件b 3 事件a发生或事件b发生4 事件a发生且事件b发生5 不可能事件 互斥 6 对立事件 对立事件 例如 某同学在高考中数学考了150分 与这同学在高考中考得130分 这两个事件是 7 互斥事件概率加法公式当事件a与b互斥时 满足加法公式 p a b p a p b 若事件a与b为对立事件 则a b为必然事件 所以p a b 于是有p a 例如 投掷骰子六点向上的概率为1 6 投得向上点数不为六点的概率为 6 若a b为不可能事件 a b为必然事件 那么称事件a与事件b互为例 互斥事件7 p a p b 11 p b 例 思考应用 1 如何类比集合之间的包含关系理解事件之间的包含关系 解析 非空集合a是集合b的子集是指集合a的每个元素都是集合b的元素 若将事件所包含的基本事件看成 元素 那么 对于事件a与事件b 事件a发生则事件b一定发生其实就是指事件a所包含的 元素 都是事件b的 元素 于是 我们称事件b包含事件a 记作b a 类似地 不可能事件记作 任何事件包含不可能事件 类比集合的相等可定义两个事件相等 如果事件c发生 那么事件d一定发生 反过来也成立 则这两个事件相等 一般地 a b且a b 则a b 2 如何类比集合的运算理解事件的运算 解析 集合a与集合b的并集是指由集合a或集合b的元素构成的集合 集合a与集合b的交集是由既是集合a的元素又是集合b的元素构成的集合 将某事件所包含的基本事件看成 元素 我们可类似地理解事件的运算 1 事件a与事件b的并事件即若某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生 记作a b或a b 2 事件a与事件b的交事件即若某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生 记作a b或ab 3 如何理解互斥事件 解析 对互斥事件的理解要抓住以下三个方面 第一 互斥事件研究的是两个事件之间的关系 第二 所研究的两个事件是在一次试验中涉及的 第三 两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的 4 如何理解互斥事件与对立事件的区别与联系 解析 互斥事件指的是事件a b为不可能事件 即a b 其含义是 事件a与事件b在一次试验中不会同时发生 对立事件指的是事件a b为不可能事件 同时事件a b为必然事件 其含义是 事件a与事件b在一次试验中有且只有一个发生 互斥事件与对立事件的区别与联系是 互斥事件是指事件a与事件b在一次试验中不会同时发生 其具体包括三种不同的情形 1 事件a发生且事件b不发生 2 事件a不发生且事件b发生 3 事件a与事件b同时不发生 而对立事件是指事件a与事件b有且仅有一个发生 其包括两种情形 1 事件a发生b不发生 2 事件b发生事件a不发生 对立事件是互斥事件的特殊情形 所以在一次试验中 两个互斥的事件可能都不发生 可能有一个发生 但绝对不可能同时发生 而两个对立的事件则必有一个发生 但不可能同时发生 因此两个事件互斥 它们未必对立 反之 两个事件对立 它们一定互斥 从集合角度看 事件a b互斥 它们相应集合的交集是空集 事件a b对立 就是事件a包含的结果的集合是其对立事件b包含的结果的补集 如果事件a与事件b互斥 则p a b p a p b 如果事件a与事件b对立 则p a 1 p b 自测自评 1 在一对事件a b中 若事件a是必然事件 事件b是不可能事件 那么a和b a 是互斥事件 不是对立事件b 是对立事件 但不是互斥事件c 是互斥事件 也是对立事件d 既不是对立事件 也不是互斥事件 c 2 把红 黑 蓝 白4张纸牌随机地分发给甲 乙 丙 丁4个人 每人分得1件 事件 甲分得红牌 与事件 乙分得红牌 是 a 对立事件b 不可能事件c 互斥但不对立事件d 以上答案都不对 解析 互斥表示不能同时成立 但可以有第三种情况出现 对立指不能同时成立 而且两者必有一个要发生 答案 c 3 给出以下结论 互斥事件一定对立 对立事件一定互斥 互斥事件不一定对立 事件a与b的和事件的概率一定大于事件a的概率 事件a与b互斥 则有p a 1 p b 其中正确命题的个数为 a 0个b 1个c 2个d 3个 解析 错 对 对 错 可能相等如b是a的特殊情况 错 对立事件才有这个公式 答案 c 4 设a b为两个事件 且p a 0 3 则当 时 一定有p b 0 7 a a与b互斥b a与b对立c a bd a不包含b b 理解和判断互斥事件 判断下列每对事件是否为互斥事件 1 将一枚硬币抛两次 事件a 两次出现正面 事件b 只有一次出现正面 2 某人射击一次 事件a 中靶 事件b 射中9环 3 某人射击一次 事件a 射中环数大于5 事件b 射中环数小于5 解析 1 若 两次出现正面 发生 则 只有一次出现正面 不发生 反之亦然 即事件a与b不可能同时发生 则a b互斥 2 某人射击一次中靶不一定击中9环 但击中九环一定中靶 即b发生则a一定发生 则a b不互斥 3 a b互斥 跟踪训练 1 某县城有甲 乙两种报纸供居民订阅 记事件a为 只订甲报 事件b为 至少订一种报纸 事件c为 至多订一种报纸 事件d为 不订甲报 事件e为 一种报纸也不订 判断下列事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 a与c 2 b与e 3 b与d 4 b与c 5 c与e 分析 利用互斥事件和对立事件的定义判断 解析 1 由于事件c 至多订一种报纸 中包括 只订甲报 即事件a与事件c有可能同时发生 故a与c不是互斥事件 2 事件b 至少订一种报纸 与事件e 一种报纸也不订 是不可能同时发生的 故事件b与e是互斥事件 由于事件b发生会导致事件e一定不发生 且事件e发生会导致事件b一定不发生 故b与e还是对立事件 3 事件b 至少订一种报纸 中包括 只订乙报 即有可能 不订甲报 也就是说事件b和事件d有可能同时发生 故b与d不是互斥事件 4 事件b 至少订一种报纸 中包括 只订甲报 只订乙报 订甲 乙两种报 事件c 至多订一种报纸 中包括 一种报纸也不订 只订甲报 只订乙报 由于这两个事件可能同时发生 故b与c不是互斥事件 5 由 4 的分析 事件e 一种报纸也不订 仅仅是事件c中的一种可能情况 事件c与事件e可能同时发生 故c与e不是互斥事件 点评 要判断两个事件是不是互斥事件 只需要找出各个事件包含的所有结果 看它们之间能不能同时发生 在互斥的前提下 看两个事件中是否必有一个发生 可判断是否为对立事件 理解和判断对立事件 抛掷一个骰子 用图形画出下列每对事件所含结果所形成的集合之间的关系 并说明二者之间是否构成对立事件 1 朝上的一面出现奇数 与 朝上的一面出现偶数 2 朝上的一面数字不大于4 与 朝上的一面的数字大于4 解析 对立事件的含义是 两个事件在一次试验中有且仅有一个发生 类比集合 可用文氏图揭示事件之间的关系 根据题意作出文氏图 1 从图 1 中可以看到 朝上的一面出现奇数 与 朝上的一面出现偶数 各自所含结果所组成的集合互为补集 因此它们构成对立事件 2 从文氏图 2 中可以看到 朝上的一面的数字不大于4 与 朝上的一面的数字大于4 各自所含结果组成的集合互为补集 它们构成对立事件 跟踪训练 2 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学参加演讲比赛 判断下列每对事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 恰有1名男生与恰有2名男生 2 至少1名男生与全是男生 3 至少1名男生与全是女生 4 至少1名男生与至少1名女生 分析 根据互斥事件和对立事件的定义来判断 解析 从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果 2男或2女或1男1女 1 因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生 所以它们是互斥事件 当恰有2名女生时 它们都没有发生 所以它们不是对立事件 2 当恰有2名男生时 至少1名男生与全是男生同时发生 所以它们不是互斥事件 3 因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生 所以它们是互斥事件 由于它们必有一个发生 所以它们是对立事件 4 当选出的是1名男生1名女生时 至少1名男生与至少1名女生同时发生 所以它们不是互斥事件 点评 判断互斥事件和对立事件时 主要用定义来判断 当两个事件不能同时发生时 这两个事件是互斥事件 当两个事件不能同时发生且必有一个发生时 这两个事件是对立事件 事件的运算 抛掷一枚骰子 下列事件 a 出现奇数点 b 出现偶数点 c 点数小于3 d 点数大于2 e 点数是3的倍数 则 1 a b b c 2 a b b c 3 记为事件h的对立事件 则 c c 跟踪训练 3 某校组织一个夏令营 在高一 1 班抽一部分学生参加 记事件a为抽到高一 1 班的运动员 事件b为抽到高一 1 班数学竞赛小组成员 事件c为抽到高一 1 班英语竞赛小组成员 说明下列式子所表示的事件 1 a b 2 a c 3 a b c 解析 1 抽到的是高一 1 班的运动员 或是数学竞赛小组成员 2 抽到的既是高一 1 班的运动员 又是英语竞赛小组的成员 3 抽到的既是高一 1 班的数学竞赛小组又是英语竞赛小组的成员 或者是高一 1 班的运动员 互斥事件的概率 某射手在一次射击训练中 射中10环 9环 8环 7环的概率分别为0 21 0 23 0 25 0 28 计算这个射手在一次射击中 1 射中10环或7环的概率 2 不够7环的概率 解析 1 设 射中10环 为事件a 射中7环 为事件b 由于在一次射击中 a与b不可能同时发生 故a与b是互斥事件 射中10环或7环 的事件为a b 则p a b p a p b 0 21 0 28 0 49 故射中10环或7环的概率为0 49 2 不够7环从正面考虑有以下几种情况 射中6环 5环 4环 3环 2环 1环 0环 但由于这些概率都未知 故不能直接求解 可考虑从反面入手 不够7环的反面大于等于7环 即7环 8环 9环 10环 由于此两事件必有一个发生 另一个不发生 故是对立事件 可用对立事件的方法处理 设 不够7环 为事件e 则事件为 射中7环或8环或9环或10环 由 1 可知 射中7环 射中8环 等是彼此互斥事件 即p 0 21 0 23 0 25 0 28 0 97 从而p e 1 p 1 0 97 0 03 故不够7环的概率为0 03 跟踪训练 4 某战士射击一次 未中靶概率为0 05 中靶环数大于6的概率为0 7 求事件a 中靶环数大于0小于等于6 的概率 解析 未中靶 与 中靶环数大于6 是互斥事件 未中靶或中靶环数大于6 的对立事件是 中靶环数大于0小于等于6 即a 则p a 1 0 05 0 7 0 25 准确把握和理解事件的包含与相等关系 事件的和与积 互斥事件与对立事件等概念是学好本节的前提 要记准相关公式 1 通过掷硬币出现 正面向上 或 反面向上 及掷骰子出现不同点数的试验来体会理解在同一试验中事件a与b不可能同时发生 以弄清互斥事件的概念 所有的基本事件都是互斥事件 互斥事件要求两个事件不能同时发生 但并不要求同时不发生 若要求这两个事件不能同时不发生 即一个事件发生则另一个事件必然不发生且一个事件不发生则另一个事件必然发生 则此时两个事件就是对立事件 由此体会掌握对立事件定义及概率公式 两个事件互斥是它们对立的必要非充分条件 2 1 互斥事件概率的加法公式 对立事件概率公式 都必须在各个事件彼此互斥的前提条件下使用 当我们直接求p a 有困难时 常转化为求p 2 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系 互斥事件是不可能同时发生的两个事件 而对立事件除要求这两个事件不同时发生外 还要求二者之中必须有一个发生 因此 对立事件是互斥事件 是互斥中的特殊情况 但互斥事件不一定是对立事件 3 从集合的角度来理解随机事件 互斥事件 对立事件 可以把随机事件理解为基本事件空间 的子集 设事件a与b所含的结果组成的集合分别是a b 若a与b互斥 即集合a b 若a与b对立 即集合a b 且a b u 亦即 a 或b 4 对任意事件a与b c a b为事件a与b的并 和 表示事件a与b至少一个发生 则a a b b a b 且p a p a b p b p a b p a b p a p b 特别当a b互斥时 才有p a b p a p b 当a