高中数学 13.2数列的极限配套课件 理 新人教A版.ppt

第二节数列的极限 三年6考高考指数 1 了解数列极限的概念 2 掌握极限的四则运算法则 会求某些数列的极限 1 常见数列极限的求法 极限的四则运算法则的应用是高考命题的重点 2 多以选择题 填空题的形式进行考查 主要解决数列极限的四则运算问题 1 数列极限的定义如果当项数n无限增大时 无穷数列 an 的项an无限地趋近于 即 an a 无限地接近于0 那么就说数列 an 以 为极限 或者说 是数列 an 的极限 记作 某个常数a a a 即时应用 1 思考 已知数列那么 an 的极限存在吗 提示 存在 因为极限是否存在并不决定于数列中的有限项 而是决定于当n无限增大时an是否趋近于一个常数 2 判断下面说法是否正确 请在括号内打 或 数列的极限是0 随着项数n的无限增大 项an从0的右边无限趋近于0 数列的极限是0 随着项数n的无限增大 项an从0的左边无限趋近于0 数列的极限是0 随着项数n的无限增大 项an从0的两边无限趋近于0 解析 由数列极限的定义可知 都正确 答案 2 数列极限的四则运算法则 4 特别地 如果c是常数 那么 a b a b ca 即时应用 1 思考 若存在 是否也存在 提示 不一定 如两者的极限均不存在 但存在 2 求下列极限 解析 答案 3 数列极限的三个基本极限 1 若c为常数 则 2 若c为常数 则 3 若 a 1 则 c 0 0 即时应用 1 1 2 3 2 3 4 解析 答案 1 6 2 0 3 0 4 2 数列极限的运算 方法点睛 1 求数列极限的常见题型及方法 1 分式型 分子 分母同除以n的最高次幂后利用k为正实数 求极限 当分子 分母次数相同时 极限为最高次的系数之比 当分子次数高于分母次数时 极限不存在 当分母次数高于分子次数时 极限为0 2 指数型 分子 分母同除以底的绝对值大的项 利用求极限 3 无理型 分子 分母 有理化 4 求和 积 型 先求和 积 再求极限 2 无穷递缩等比数列的各项和公比的绝对值小于1的无穷等比数列 前n项和在n无限增大时的极限 叫做这个无穷数列各项的和 若 an 为无穷等比数列 且0 q 1时 有各项和 提醒 1 求数列的极限时一定要注意极限运算法则的适用范围 切不可将适用于有限个数列的加 减 乘 除的数列的极限运算法则照搬到无限个数列中去 超出法则的适用范围 导致出错 2 利用无穷递缩等比数列的各项和公式求a1的范围时 切莫忽视q 0这个条件 例1 求下列极限 解题指南 将所求极限的式子变形 然后再根据极限的运算法则求极限 对于 1 2 比较常规 3 含有根式形式 采用分子有理化 4 求解时应先求和 5 符合无穷递缩等比数列的形式 利用公式 规范解答 互动探究 若将本例 2 改为如何求解 若将本例 2 改为 a b为互不相等的正数 又如何求解 解析 a b为互不相等的正数 反思 感悟 求数列的极限要充分利用转化的数学思想 准确使用运算法则 注意法则成立的条件 避免出现如下错误 对于对于对于求无穷数列各项和的极限 需先求和再求极限 变式备选 求下列极限 解析 2 当时 原式 由极限求参数值 范围 方法点睛 由极限求参数值 范围 的方法 1 已知含参数的数列的极限 求数列中的参变量的取值范围或值是难度较大的逆向思维问题 其解法通常可按照求数列的极限的方法求出数列的极限 即用参变量表示数列的极限 2 利用条件建立不等式 组 或方程 组 是求此类问题的关键 3 解决此类问题要熟练掌握数列极限的求法 同时对于待定的系数要根据实际情况分析它们之间的关系 例2 1 若求a和b的值 2 若求a的取值范围 3 若求a和b的值 解题指南 1 将通分变形为 2 分子分母同时除以3n 3 采用分子有理化 变形后利用极限的求法 列出相应的方程组求解 规范解答 由已知得 解得a 1 b 1 反思 感悟 求极限式中的参数值 一般运用方程思想求解 即利用极限存在的条件和极限值 建立关于参数的方程 组 然后解之即可 变式训练 1 已知则a b 解析 答案 42 2 若等比数列 an 的公比则a1的值为 解析 由题意 答案 2 变式备选 已知等比数列 an 的首项为a1 公比为q 且有求首项a1的取值范围 解析 由的极限存在 得0 q 1或q 1 当0 q 1时 有即0 2a1 1 1 解得0 a1 1且 当q 1时 则有综上可知 首项a1的取值范围为 极限在几何中的综合应用 方法点睛 与极限有关的应用题的解法 1 解与极限有关的应用题时 要根据题目中给出的条件求出一些特殊项 从而发现规律 2 解决与几何图形有关的应用问题 要结合图形 观察分析各图形的量是否构成一个数列 等比或其他 便于求前n项和 利用求极限的方法求所有项的和 3 若是无穷等比数列 且0 q 1 可直接利用公式求和 只需求出首项和公比即可 例3 函数f x 定义在 0 1 上 满足且f 1 1 在每个区间 i 1 2 上 y f x 的图象都是平行于x轴的直线的一部分 1 求并归纳出 i 1 2 的表达式 2 设直线x轴及y f x 的图象围成的矩形的面积为ai i 1 2 求a1 a2的值 求的值 解题指南 1 通过赋值首先求出f 0 0 然后依次求出猜想出的表达式 2 结合图象得出ai的表达式 利用无穷等比数列各项和求极限 规范解答 1 由f 0 2f 0 得f 0 0 由及f 1 1得 同理归纳得 所以 an 是首项为 公比为的等比数列 所以 反思 感悟 解这类问题要认真理解题意 通过题目中给出的条件求出相应的数值 并列出等式 一般情况下都是涉及到数列的求和问题 对于常规形式的数列问题 可直接采用求极限的方法求极限 大多问题都是与等比数列有关 解这类极限应用题的关键是把它转化为绝对值小于1的无穷等比数列的求和问题 变式训练 如图为函数f x x2在 0 1 上的图象 将 0 1 n等分 分别以为宽 为长作矩形 1 求上述n 1个矩形面积的和s n 2 求 解析 变式备选 如图 在rt abc中 有一系列正方形 面积分别是s1 s2 sn 已知tana 求所有这些正方形的面积的和与 abc面积的比 解析 设bc a 由tana 知ac 2a s abc a2 第一个正方形边长为面积 设第n个正方形边长为an 第n 1个正方形边长为an 1 则由三角形相似可得 由此可知 这一系列正方形的边长组成一个以q 为公比的等比数列 面积组成一个以为公比 首项为的等比数列 所以所有正方形的面积即所有这些正方形面积的和与 abc面积之比为4 5 创新探究 函数 数列 极限的巧妙交汇 典例 2011 四川高考 定义在 0 上的函数f x 满足f x 3f x 2 当x 0 2 时 f x x2 2x 设f x 在 2n 2 2n 上的最大值为an n n 且 an 的前n项和为sn 则 解题指南 首先将函数f x 3f x 2 变形为进行区间的转化 当x 2n 2 2n 时 x 2n 2 0 2 然后采用迭代法求f x 通过配方求出最大值an n n 再用无穷等比数列极限的求法求出 an 的前n项和sn的极限 规范解答 选d 由f x 3f x 2 得f x 2 3f x 即当时 其最大值为易知数列 an 是首项为1 公比为的无穷递缩等比数列 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2012 柳州模拟 若则实数a b为 a 2 b 2 c 4 d 4 解析 选c 极限值为分母是n的一次式 分子是n的二次式 得b 4 a 8 a b 4 2 2012 南宁模拟 已知数列 log2 an 1 n n 为等差数列 且a1 3 a2 5 则等于 a 2 b c 1 d 解析 选c 令bn log2 an 1 则 bn 成等差数列 b1 log22 1 b2 log24 2 可知数列bn