（新课标）高考数学第一部分基础考点自主练透第1讲选择、填空题的4种特殊解法学案理新人教A版.docx

第1讲选择、填空题的4种特殊解法方法一特值(例)排除法方法诠释使用前提使用技巧常见问题特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，结合排除法，从而得到正确的答案.满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊化情况也一定成立.找到满足条件的合适的特殊化例子，或举反例排除，有时甚至需要两次或两次以上特殊化例子才可以确定结论.求范围、比较大小、含字母求值、恒成立问题、任意性问题等而对于函数图象的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题，常通过排除法解决.真题示例技法应用(2019高考全国卷)函数f(x)在，的图象大致为()取特殊值x，结合函数的奇偶性进行排除，答案选D答案：D(2019高考全国卷)若ab，则()Aln(ab)0 B3a0 D|a|b|取a1，b2，则ab，可验证A，B，D错误，只有C正确.答案：C(2018高考全国卷)函数yx4x22的图象大致为()当x0时，y2，排除A，B；当x0.5时，x2x4，所以此时y2，排除C，故选D答案：D(2018高考全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3不妨设ABC为等腰直角三角形，则易得区域，的面积相等.答案：A(2017高考全国卷)已知，tan 2，则cos_.取角终边上的特殊点(1，2)，利用定义代入计算，求sin ，cos .答案为.答案：(2017高考全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2，2 B1，1C0，4 D1，3当x4时，f(x2)f(2)b0，且ab1，则下列不等式成立的是()Aalog2(ab) Blog2(ab)aCalog2(ab) Dlog2(ab)a3，则x0的取值范围为()A(，0)(2，)B(0，2)C(，1)(3，)D(1，3)解析：选C取x01，则f(1)1a4a5 Ba1a8a4a5 Da1a8a4a5解析：选B取特殊数列，不妨设ann，则a11，a44，a55，a88，经检验，只有选项B成立3函数f(x)的图象是()解析：选C因为x1，所以排除A；因为f(0)1，所以函数f(x)的图象过点(0，1)，排除D；因为f，所以排除B，故选C4如图，点P为椭圆1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C，过点P引BC，AC的平行线交AC于点N，交BC于点M，交AB于D、E两点，记矩形PMCN的面积为S1，三角形PDE的面积为S2，则S1S2()A1 B2C D解析：选A不妨取点P，则可计算S1(54)，由题易得PD2，PE，所以S22，所以S1S21.5若函数yf(x)对定义域D中的每一个x1，都存在唯一的x2D，使f(x1)f(x2)1成立，则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：()“影子函数”f(x)的值域可以是R；“影子函数”f(x)可以是奇函数；若yf(x)，yg(x)都是“影子函数”，且定义域相同，则yf(x)g(x)是“影子函数”上述命题正确的序号是()A BC D解析：选B对于：假设“影子函数”的值域为R，则存在x1，使得f(x1)0，此时不存在x2，使得f(x1)f(x2)1，所以错；对于：函数f(x)x(x0)，对任意的x1(，0)(0，)，取x2，则f(x1)f(x2)1，又因为函数f(x)x(x0)为奇函数，所以“影子函数”f(x)可以是奇函数，正确；对于：函数f(x)x(x0)，g(x)(x0)都是“影子函数”，但F(x)f(x)g(x)1(x0)不是“影子函数”(因为对任意的x1(0，)，存在无数多个x2(0，)，使得F(x1)F(x2)1)，所以错综上，应选B6(一题多解)已知E为ABC的重心，AD为BC边上的中线，令a，b，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且ma，nb，则()A3 B4C5 D解析：选A由于直线PQ是过点E的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值故可利用特殊直线确定所求值法一：如图1，令PQBC，则，此时，mn，故3.故选A法二：如图2，直线BE与直线PQ重合，此时，故m1，n，所以3.故选A7如图，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1PBQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A31 B21C41 D1解析：选B将P，Q置于特殊位置：PA1，QB，此时仍满足条件A1PBQ(0)，则有VV.因此过P、Q、C三点的截面把棱柱分成体积比为21的两部分8已知AD，BE分别是ABC的中线，若|1，且与的夹角为120，则_解析：若ABC为等边三角形，则|，所以|cos 60.答案：方法二验证法方法诠释使用前提使用技巧常见问题验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中找合适的验证条件，代入各选项进行检验，从而可否定错误选项而得到正确选项的一种方法.存在唯一正确选项.可以结合特例法、排除法等先否定一些明显错误的选项，再选择直觉认为最有可能的选项进行验证，这样可以快速获得答案.题干信息不全、选项是数值或范围、正面求解或计算烦琐的问题等.真题示例技法应用(2019高考全国卷)右图是求的程序框图，图中空白框中应填入()AA BA2CA DA1对于选项A，A.当k1时，A，当k2时，A，故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意故选A答案：A(2018高考北京卷)设集合A(x，y)|xy1，axy4，xay2，则()A对任意实数a，(2，1)AB对任意实数a，(2，1)AC当且仅当a0时，(2，1)AD当且仅当a时，(2，1)A对a取数字验证a0时，A错；a2时，B错；a时，C错所以选D答案：D(2018高考全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为4当sin x0，cos x1时，函数值为4，所以A，C错；把x代入验证，可得f(x)f(x)，说明D错故选B答案：B(2018高考全国卷)下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x) Byln(2x)Cyln(1x) Dyln(2x)函数yln x的图象过定点(1，0)，而(1，0)关于直线x1对称的点还是(1，0)，将(1，0)代入选项验证.答案：B(2017高考全国卷)设A、B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0，19，) B(0，9，)C(0，14，) D(0，4，)选取四个选项的差异值m，m4代入验证.答案：A1下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是()Ay Bylog2xCy3x Dyx3x解析：选Dy在(0，)，(，0)上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误；ylog2x的定义域(0，)关于原点不对称，不是奇函数，故B错误；y3x不是奇函数，故C错误；令f(x)yx3x，f(x)(x)3(x)x3xf(x)，是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确，故选D2下列函数为偶函数的是()Ayx2sin x Byx2cos xCy|ln x| Dy2x解析：选B因为yx2是偶函数，ysin x是奇函数，ycos x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数yln x的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y()x，是非奇非偶函数故选B3设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为Byf(x)的图象关于直线x对称Cf的一个零点为xDf(x)在区间上单调递减解析：选Cf(x)cos的周期为Tk，所以A对；当x时，2x，cos 1，所以B对；f(x)cos(2x)，x时，2x0，cos010，所以C错；x时，2x，ycos x在上递减，所以D对故选C4已知函数f(x)为奇函数，g(x)ln x2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：选C函数f(x)为奇函数，可得a0，则g(x)ln x2f(x)ln x，显然函数g(x)为增函数，且有g(1)ln 1220，g(2)ln 210，g(4)ln 40，g(2)g(3)0)图象的一条对称轴为直线x，则的最小值为()A2 B4C10 D16解析：选B(从选项验证)若2，则当x时，f(x)sin，不符合题意；若4，则当x时，f(x)sin1，符合题意，所以的最小值为4.6已知函数f(x)x37xsin x，若f(a2)f(a2)0，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，3)C(1，2) D(2，1)解析：选D(从选项验证)若a1，则f(a2)f(a2)f(1)f(1)0，不满足f(a2)f(a2)0，所以B，C错；若a2，则f(a2)f(a2)f(4)f(4)0，也不满足f(a2)f(a2)0，所以A错故选D7设x、y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5 B3C5或3 D5或3解析：选B当a5时，作出不等式组表示的可行域，如图所示(阴影部分)由得交点A(3，2)，则目标函数zx5y过A点时取得最大值zmax35(2)7，不满足题意，排除A、C选项当a3时，作出不等式组表示的可行域，如图所示(阴影部分)由得交点B(1，2)，则目标函数zx3y过B点时取得最小值zmin1327，满足题意故选B方法三估算法方法诠释使用前提使用技巧常见问题由于选择题提供了唯一正确的答案，又不需写出过程，因此可以通过猜测、合情推理、估算获得答案，这样往往可以减少运算量估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省时间.针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的命题，常与特值法结合起来使用.对于数值计算，常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等；对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.求几何体的表面积、几何体的体积、三角函数的值、离心率、参数的范围等.真题示例技法应用(2019高考全国卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是()A165 cm B175 cmC185 cm D190 cm设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得0.618，解得m169.890.由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得0.618，解得n42.071.由已知可得0.618，解得m178.218.综上，此人身高m满足169.890m178.218，所以其身高可能为175 cm.故选B答案：B(2019高考全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc BacbCcab Dbca因为alog20.21，0c0.20.3ca.故选B答案：B(2018高考全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18 C24 D54 等边三角形ABC的面积为9，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥体积最大时，三棱锥的高应在区间(4，8)内，所以94VD-ABC98，即12VD-ABC1，估算e的范围答案为C答案：C1已知alog2e，bln 2，clog，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dcab解析：选Dalog2e1，bln 2(0，1)，cloglog23log2e，据此可得cab.故选D2某班设计了一个八边形的班徽(如图所示)，它由四个腰长为1，顶角为的等腰三角形和一个正方形组成，则该八边形的面积为()A2sin 2cos 2 Bsin cos 3C3sin cos 1 D2sin cos 1解析：选A当顶角时，八边形几乎是边长为2的正方形，面积接近于4，四个选项中，只有A符合，故选A3P为双曲线1(a0，b0)右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则PF1F2的内切圆圆心的横坐标为()Aa BbC Dab解析：选A如图，点P沿双曲线向右顶点无限接近时，PF1F2的内切圆越来越小，直至“点圆”，此“点圆”应为右顶点，则内切圆圆心的横坐标为a，故选A4若0，sin cos a，sin cos b，则()Aab Cab2解析：选A若0，则sin cos a1.若，则sin cos b，从而ba，结合选项分析，应选A5.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A B5C6 D解析：选D连接BE，CE，四棱锥EABCD的体积为VE-ABCD3326，多面体ABCDEF的体积大于四棱锥EABCD的体积，即所求几何体的体积VVE-ABCD6，而四个选项里面大于6的只有，故选D方法四构造法方法诠释使用前提使用技巧常见问题构造法是一种创造性的解题方法，它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等，从而简化推理与计算过程，使较复杂的或不易求解的数学问题简单化.构造法来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从类似的问题中找到构造的灵感.所构造的函数、方程、图形等要合理，不能超出原题的限制条件.对于不等式、方程、函数问题常采用构造新函数，对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理.比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等.真题示例技法应用(2019高考全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8 B4 C2 D由CEF90，可得EC，利用余弦定理可求PAPBPCPAPBPC，利用外接球的直径是由该几何体补成的正方体的体对角线求R，可得球的体积.答案：D(2019高考天津卷)设x0，y0，x2y5，则的最小值为_.首先把待求式子的分子展开，再把已知条件代入，化简后构造使用基本不等式的条件，由基本不等式即可求解.答案：4(2018高考全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A B C D在长方体ABCDA1B1C1D1的面ABB1A1的一侧再补填一个完全一样的长方体ABC2D2A1B1B2A2，研究AB2D1即可.答案：C(2016高考全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)构造正方体，将有关棱与面看作问题中有关线与面，逐一判断.答案：(2016高考全国卷)若ab0，0c1，则()Alogaclogbc BlogcalogcbCaccb构造函数ylogcx和yxc，利用函数的单调性可解决.答案：B(2015高考全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1) B(1，0)(1，)C(，1)(1，0) D(0，1)