高中数学 2.4函数的奇偶性与周期性配套课件 理 新人教A版.ppt

第四节函数的奇偶性与周期性 三年6考高考指数 1 了解函数的奇偶性的概念 2 掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法 3 了解周期函数的意义 并能运用函数的周期性解决一些问题 1 函数的奇偶性 周期性的应用 2 与函数的单调性相结合 考查函数的有关性质 1 函数的奇偶性 偶函数 如果对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有 那么函数f x 是偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有 那么函数f x 是奇函数 关于 对称 f x f x y轴 f x f x 原点 即时应用 1 思考 奇 偶函数的定义域有何特点 提示 由于定义域中对任意一个x都有f x f x 或f x f x 说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的 x在定义域中 即说明奇 偶函数的定义域必关于原点对称 2 已知f x f a 2 则f a 解析 f x f x f x 在定义域上是奇函数 f a f a 2 答案 2 3 函数f x x 1 x a 为奇函数 则a 解析 f 0 0 f 0 1 a 0 a 0 此时f x f x 满足奇函数的定义 故a 0 答案 0 4 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 解析 依题意得解得 a b 0 答案 2 奇偶函数的性质 1 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称 2 奇函数在对称的单调区间内具有 的单调性 偶函数在对称的单调区间内具有 的单调性 原点 相同 相反 即时应用 1 定义在r上的奇函数f x 的部分图象如图所示 则在 4 0 上 下列函数中与f x 的单调性相同的是 填上序号即可 y x2 1 y y 1 sinx 2 已知f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且f x 在 1 1 上是减函数 则不等式f 1 x f 1 x2 0的解集为 解析 1 对于 两个函数 在 4 0 上为增函数 对于 在 4 上为减函数 在 0 上为增函数 对于 在 4 0 上为减函数 又 已知f x 为奇函数 f x 在对称区间上单调性相同 由图可知 f x 在 4 0 上为减函数 从而填 2 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 由f 1 x f 1 x2 0 得f 1 x f 1 x2 f 1 x f x2 1 又 f x 在 1 1 上是减函数 解得0 x 1 原不等式的解集为 0 1 答案 1 2 0 1 3 函数的周期性 1 周期函数的定义若一个函数f x 存在常数t t 0 对于定义域中任意一个自变量x都有f x t f x 成立 则称f x 为周期函数 t称为f x 的周期 2 最小正周期若函数f x 为周期函数 且存在最小的正数t 有f x t f x 则t叫做f x 的 最小正周期 即时应用 1 已知函数f x 是定义域为r 周期为3的奇函数 则f 2 f 3 f 4 的值等于 2 已知f x 在r上是奇函数 且满足f x 4 f x 当x 0 2 时 f x 2x2 则f 2011 3 函数f x 是定义域为r的偶函数 又是以2为周期的周期函数 若f x 在 1 0 上是减函数 那么f x 在 2 3 上的单调性为 解析 1 周期为3 f 2 f 2 3 f 1 f 3 f 0 f 4 f 1 又 f x 是定义域为r的奇函数 f 0 0 f 1 f 1 f 4 f 3 f 2 f 1 f 0 f 1 0 2 f x 4 f x 函数f x 的周期t 4 f 2011 f 4 502 3 f 3 f 1 f 1 2 12 2 3 偶函数f x 在 1 0 上为减函数 则f x 在 0 1 上为增函数 且周期为2 故在 2 3 上为增函数 答案 1 0 2 2 3 增函数 函数奇偶性的判断 方法点睛 1 判断函数的奇偶性的方法 1 定义法 2 图象法f x 为偶函数 f x 的图象关于y轴对称 f x 为奇函数 f x 的图象关于原点对称 3 性质法 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 不确定 不确定 2 判断奇偶性需注意的问题 1 奇函数f x 在x 0处有意义 一定有f 0 0 2 f x 为偶函数 f x f x f x 3 奇 偶函数的定义域必关于原点对称 4 若f x 0且f x 的定义域关于原点对称 则f x 既是奇函数又是偶函数 例1 判断下列各函数的奇偶性 1 f x 2 f x 3 f x 4 解题指南 首先判断函数的定义域是否关于原点对称 若可能具有奇偶性 则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简 最后判断f x 与f x 的关系 规范解答 1 先看此函数的定义域 0 0 关于原点对称 又f x lg lg1 0 x 0 满足f x f x 又满足f x f x f x 既是奇函数又是偶函数 2 由得 1 x 1 f x 的定义域 1 1 不关于原点对称 f x 既不是奇函数 也不是偶函数 3 由 得定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 这时 f x f x f x 为偶函数 4 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x x2 x f x 综上所述 对任意的x 0 0 都有f x f x f x 为奇函数 互动探究 若将本例 2 添加条件x 1 1 奇偶性如何 解析 x 1 1 f x 定义域关于原点对称 又 f x f x 是偶函数 反思 感悟 1 正确理解奇函数和偶函数的定义 必须把握好两个问题 1 定义域关于原点对称是函数f x 为奇函数或偶函数的必要而不充分条件 2 f x f x 或f x f x 是定义域上的恒等式 2 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据 为了便于判断函数的奇偶性 有时需要先将函数进行化简 或应用定义的等价形式 f x f x f x f x 0 1 f x 0 3 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 反之也成立 利用这一性质可简化一些函数图象的画法 也可以利用它去判断函数的奇偶性 4 分段函数奇偶性判定时 要以整体的观点进行判断 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性 变式备选 给出下列函数 f x x3 2x f x 2x4 3x2 f x f x x2 x 1 x 1 4 f x x a f x 其中是奇函数的是 只填序号 解析 两个奇函数的和为奇函数 两个偶函数的和为偶函数 函数f x 的定义域为x 0 不关于原点对称 故f x 为非奇非偶函数 由于f x x2 x 1 x 1 4 的定义域不关于原点对称 因此 f x 是非奇非偶函数 当a 0时 f a 0 f a 2 a f a f a 且f a f a 此时f x 为非奇非偶函数 当a 0时 f x x 则f x f x 此时f x 为偶函数 由 1 x 1 定义域关于原点对称 又f x f x 故原函数是奇函数 答案 函数周期性的判断 方法点睛 具有周期性的抽象函数的相关结论 1 函数f x 对于定义域中的任意x 都有f x f x t t为常数且t 0 则f x 是以t为周期的周期函数 2 函数f x 对于定义域中的任意x 都有f x t f x t为常数且t 0 则f x 是以2t为周期的周期函数 3 函数f x 对于定义域中的任意x 都有f x t t为常数且t 0 则f x 是以2t为周期的周期函数 4 函数f x 对于定义域中的任意x 都有f x t f x t t为常数且t 0 则f x 是以2t为周期的周期函数 判断函数的周期性只需证明f x t f x t 0 便可证明函数是周期函数 且周期为t 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 是高考考查的重点问题 例2 已知函数f x 是定义域为r的奇函数 且它的图象关于直线x 1对称 1 求f 0 的值 2 证明函数f x 是周期函数 解题指南 证明函数是周期函数 只需满足定义f t x f x t 0 解决本题注意到两个条件 一是函数为奇函数 则f x f x 二是函数关于x 1对称 则f 1 x f 1 x 结合这两个条件进行证明 规范解答 1 函数f x 是奇函数 f x f x 令x 0 得f 0 f 0 2f 0 0 f 0 0 2 函数f x 是奇函数 f x f x 又f x 关于直线x 1对称 f 1 x f 1 x f x f x f 1 x 1 f 1 x 1 f x 2 f x 2 f 1 x 3 f 1 x 3 f x 4 f x 是以4为周期的周期函数 反思 感悟 讨论函数的周期性常常要用到以下两个结论 1 若t是函数f x 的一个周期 则kt k z k 0 也是函数f x 的周期 2 若t是函数f x 的最小正周期 则是函数f ax b a b r a 0 的最小正周期 变式训练 已知函数f x 的定义域为r 且满足f x 2 f x 1 求证 f x 是周期函数 2 若f x 为奇函数 且当x 0 1 时 f x x 求使f x 时方程的解 解析 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x f x 是以4为周期的周期函数 2 当x 0 1 时 f x x 设 1 x 0 则0 x 1 f x x x 即 f x x f x x 故f x x 1 x 1 又设1 x 3 则 1 x 2 1 f x 2 x 2 又知f x 2 f 2 x f 2 x f x f x f x x 2 1 x 3 f x 由上式知在 1 3 上 仅有f 1 由f x 是周期函数 得f x 的解为x 4n 1 n z 单调性 奇偶性 周期性的综合应用 方法点睛 解决抽象函数综合问题的方法一般将问题特殊化 也就是赋值法 这是解决有关抽象函数问题的常用解答策略 这种模式化的思考问题的方式 会给我们的解题带来极大的方便 提醒 如果能找到适合题目中条件的具体函数 有利于问题的解决 例3 1 2012 青岛模拟 定义在r上的奇函数f x 满足对任意的x都有f x 1 f 4 x 且f x x x 0 则f 2012 f 2010 等于 a 1 b 0 c 1 d 2 2 2012 桂林模拟 已知函数f x 的定义域为r 对一切实数x y都有f x y f x f y 1且f 0 当x 时 f x 0 讨论f x 的奇偶性 证明函数f x 为增函数 解题指南 1 先由已知得到函数的周期 再用周期性求值 2 涉及到抽象函数的奇偶性和单调性的问题 问题 采用赋值法进行判断 问题 可根据函数单调性的定义进行证明 规范解答 1 选c 由f x 1 f 4 x 得f x f 3 x 函数图象关于x 对称 f x 是奇函数 f x f x f 3 x f 6 x 函数是以6为周期的周期函数 且f 0 0 f 2012 f 2010 f 2 f 0 f 1 f 0 1 0 1 2 令x y 0 则有f 0 0 f 0 f 0 1 解得f 0 1 函数f x 不是奇函数 又令x y 则有f 0 f f 1 f 2 f 函数f x 不是偶函数 综上知函数f x 既不是奇函数也不是偶函数 取任意的x1 x2 r 且x1 x2 则f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 f x2 x1 f 1 f x2 x1 x1 x2 x2 x1 f x2 x1 0 f x2 f x1 函数f x 是增函数 反思 感悟 1 根据函数的单调性的定义 证明 判定 函数f x 在其区间上的单调性 其步骤是 1 设x1 x2是该区间上的任意两个值 且x1 x2 或x1 x2 2 作差f x1 f x2 然后变形 3 判定f x1 f x2 的符号 4 根据定义得出结论 2 求函数的单调区间首先应注意函数的定义域 函数的单调区间都是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等基本初等函数的单调区间 常用方法有 根据定义 利用图象和单调函数的性质 还可以利用导数的性质 3 奇函数与偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 2 f 0 0是f x 为奇函数的既不充分也不必要条件 3 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶 内奇同外 4 既奇又偶的函数有无穷多个 如f x 0 定义域是关于原点对称的任意一个数集 4 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质 对函数周期性的考查 主要涉及函数周期性的判断 利用函数周期性求值 以及解决与周期有关的函数综合问题 解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息 找到函数的周期 利用周期在有定义的范围上进行求解 变式训练 2012 南京模拟 已知函数f x 是偶函数 a为实常数 1 求b的值 2 当a 1时 是否存在n m 0 使得函数y f x 在区间 m n 上的函数值组成的集合也是 m n 若存在 求出m n的值 否则 说明理由 解析 1 由已知可得 f x 且函数的定义域为d 又y f x 是偶函数 故定义域d关于原点对称 于是 b 0 否则 当b 0时 有 d且 d 即d必不关于原点对称 又对任意x d 有f x f x 可得b 0 因此所求实数b 0 2 由 1 可知 f x 定义域d 0 0 观察函数f x a 的图象 可知 f x 在区间 0 上是增函数 f x 在区间 0 上是减函数 又n m 0 y f x 在区间 m n 上是增函数 因y f x 在区间 m n 上的函数值组成的集合也是 m n 有 即方程1 x 也就是2x2 2x 1 0有两个不相等的正根 4 8 0 此方程无解 故不存在正实数m n满足题意 变式备选 2012 北京模拟 若函数f x 对任意的x r 均有f x 1 f x 1 2f x 则称函数f x 具有性质p 1 判断下面两个函数是否具有性质p 并说明理由 y ax a 1 y x3 2 若函数f x 具有性质p 且f 0 f n 0 n 2 n n 求证 对任意i 1 2 3 n 1 有f i 0 解析 1 函数f x ax a 1 具有性质p f x 1 f x 1 2f x ax 1 ax 1 2ax ax a 2 因为a 1 ax a 2 0 即f x 1 f x 1 2f x 此函数具有性质p 函数f x x3不具有性质p 例如 当x 1时 f x 1 f x 1 f 2 f 0 8 2f 1 2 所以 f 2 f 0 2f 1 此函数不具有性质p 2 假设f i 为f 1 f 2 f n 1 中第一个大于0的值 则f i f i 1 0 因为函数f x 具有性质p 所以 对于任意n n 均有f n 1 f n f n f n 1 所以f n f n 1 f n 1 f n 2 f i f i 1 0 所以f n f n f n 1 f i 1 f i f i 0 与f n 0矛盾 所以 对任意的i 1 2 3 n 1 有f i 0 易错误区 函数性质综合应用的解答误区 典例 2011 山东高考 已知f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点个数为 a 6 b 7 c 8 d 9 解题指南 本题可以先求函数当0 x 2时f x 0的根 即函数与x轴交点的个数 然后根据周期性确定根的个数 规范解答 选b 令f x x3 x 0 即x x 1 x 1 0 所以x 0 1 1 因为0 x 2 所以此时f x 0的根有两个 即与x轴的交点个数为2 因为f x 是r上最小正周期为2的周期函数 所以2 x 4 4 x 6时也分别有两个根 由f 6 f 4 f 2 f 0 所以f 6 也是方程f x 0的根 所以函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点个数为7个 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 广东高考 设函数f x 和g x 分别是r上的偶函数和奇函数 则下列结论恒成立的是 a f x g x 是偶函数 b f x g x 是奇函数 c f x g x 是偶函数 d f x g x 是奇函数 解析 选a 由题意f x f x g x g x 令f x f x g x 则f x f x g x f x g x f x f x 是偶函数 同理可判断b c d不正确 故选a 2 2012 桂林模拟 已