（应用数学专业论文）green关系的推广及其应用.pdf

，_ t 、 摘要 摘要 半群是对群的一种弱化，只要求二元运算满足结合律二十世纪六十年代开始兴起 对半群的研究，在某些方面半群理论类似于群论和环论最初期的重要成果主要归功于 r e e s ，c l i f f o r d 及d u b r e i l 的工作到七十年代半群理论迅速发展并丰富起来，比如c l i f f o r d ， p e t r i c hm ，h o w i ejb 等研究了许多深刻的理论，内容涉及同余，结构，蔟等方面起初 主要借助于g r e e n 关系研究一些特殊的半群如c l i f o r d 半群，逆半群，纯正半群，正则半 群，完全正则半群等 自1 9 7 9 年f o u n t a i nj 推广g r e e n 关系为宰一g r e e n 关系引入富足半群以来，对富 足半群的研究越来越细化和系统，如超富足半群，半超富足半群， 日拳一富足半群等的研 究，已成为半群代数理论研究领域的一个较为活跃的课题 本文主要研究正规半超富足半群的结构和拟强半格的应用，全文共分三章 第一章介绍了半群的些基本知识介绍了半群的相关背景及其发展，特别是富足半 群的发展；给出了半群的一些相关概念和预备知识，引入了半群理论中极为重要常见的两 种关系，即等价关系和同余关系，给出了强半格的两种推广，并做了简单介绍 第二章研究了正规半超富足半群的结构引入了本文的最重要的概念p - g r e e n 关系， 讨论了p - g r e e n 关系的一些基本性质，给出了半超富足半群和正规半超富足半群的结构 定理，证明了半超富足半群s 是正规半超富足半群当且仅当s 是完全7 p 一单半群的强半 格 第三章研究了正则带的结构和正规密码半超富足半群的结构问题，利用拟强半格分 解方法，获得了正则带当且仅当它为矩形带的拟强半格，推广了y a m a d a 和k i m u r a 关 于正则带是矩形带的强半格的结果；证明了半超富足半群是正规密码半超富足半群当且 仅当它是完全j p 单半群的拟强半格，推广了完全正则半群中c l i f f o r d 定理和p e t r i c h 定 理 关键词：p - g r e e n 关系；富足半群；正则带；拟强半格 a b s t r a c t t h es e m i g r o u pi sak i n do fw e a k e n i n go fg r o u p ，o n l yr e q u e s t st h ed u a lo p e r a t i o nt o s a t i s f yt h ea s s o c i a t i v el a w t h er i s eo ft h er e s e a r c h m e n to fs e m i g r o u pd a t ef r o m1 9 6 0 s ， h o w e v e r ，s e m i g r o u pt h e o r i e sa r es i m i l a rt ot h et h e o r yo fg r o u pa n dr i n gi n s o m ep a r t s t h em o s ti m p o r t a n ta c h i e v e m e n tm a i n l ya t t r i b u t e st or e e s ，c l i f f o r da n dd u b r e i la tt h e i n i t i a lp e r i o d a st ot h e7 0 s ，t h es e m i g r o u p st h e o r yd e v e l o p sa n de n r i c h e sr a p i d l y ， s u c ha sc l i f f o r d ，p e t r i c hma n dh o w i ejb ，w h o s ew o r ka r eo fp r o f o u n dt h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e ，t h ec o n t e n ti n v o l v e sw i t hc o n g r u e n c e ，s t r u c t u r e ，v a r i e t i e sa n ds o o n i nt h eb e g i n n i n g ，i t sd e p e n do ng r e e nr e l a t i o n st os u t d ys o m es p e c i a ls e m i g r o u p s ，j u s t l i k ec l i f o r ds e m i g r o u p s ，i n v e r s es e m i g r o u p s ，o x t h o d o xs e m i g r o u p s ，r e g u l a rs e m i g r o u p s ， c o m p l e t er e g u l a rs e m i g r o u p sa n ds oo n t h en s u r a lg r e e nr e l a t i o n sa r eg e n e r a l i z e dt o 木一g r e e nr e l a t i o n sa n dt h ed e f i n i t i o n o fa b u n d a n ts e m i g r o u p sa r eg i v e nb yf o u n t a i nji n1 9 7 9 a n dt h e n ，t h er e s e a r c h m e n t o fa b u n d a n ts e m i g r o u p si sb e c o m em o r ea n dm o r er e f i n e m e n ta n ds y s t e m a t i c ，a n di t b e c o m e sav e r yp o p u l a rf i e l do ft h ea l g e b r a i ct h e o r e yo fs e m i g r o u p s ，s u c ha ss u p e r a b u n d a n t s e m i g r o u p s s e m i s u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p sa n d 日襻一a b u n d a n ts e m i g r o u p sa n ds oo n i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yr e g u l a rs e m i s u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p sa n dt h ea l - p l i c a t i o no ft h ed e c o m p o s i t i o no fq u a s is t r o n gs e m i l a t t i c e ，w h i c hc a l lb e d i v i d e di n t ot h r e e c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g eo fs e m i g r o u p s ，t h eb a c k g r o u n da n d d e v e l o p m e n to fs e m i g r o u p ，e s p e c i a l l yo fa b u n d a n ts e m i g r o u p ，a n dg i v e ss o m eb a s i cc o n - c e p t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e st h e o r y w h a t sm o r es h o u l db em e n t i o n e di st h a tw ei n t r o d u c e t w oo ft h em o s ti m p o r t a n tr e l a t i o n s ，t h a ti se q u i v a l e n c ea n dc o n g r u e n c e a tl a s t ，w eg i v e t w og e n e r a l i z a t i o n so fs t r o n gs e m i l a t t i c ea n dab r i e fi n t r o d u c t i o n i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h es t r u c t u r eo fn o r m a ls e m i s u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p i nt h e b e g i n n i n g ，w ei n t r o d u c et h em o s ti m p o r t a n tc o n c e p t i o n ，p - g r e e nr e l a t i o n s ，a n dt a l ko v e r s o m ep r o p e r t i e so fi t a n dt h e n ，t h es t r u c t u r et h e o r mo fs e m i s u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p n o r m a ls e m i s u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u pa r eg i v e n l a s tb u tn o tt h el e a s t ，w ep r o v et h a ta i i a b s t r a c t s e m i s u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u pi san o r m a ls e m i s u p e r a b u n d a n ts c m i g r o u pi fa n do n l yi fi t i sas t r o n gs c m i l a t t i c eo fc o m p l e t e l yj 虬s i m p l es e m i g r o u p s i nt h el a s tc h a p t e r ，t h ep r o b l e mo fs t r u c t u r eo fr e g u l a rb a n d sa n dt h es t r u c t u r eo f n o r m a lc r p t o s c m i s u p e r a b u n d a n ts c m i g r o u pa r es t u d y e d b yt h em e t h o do f q u a s is t r o n g s e m i l a t t i c eo fs e m i g r o u p s ，w ep r o v et h a tab a n di sar e g u l a rb a n di fa n do n l yi fi t i sa q u a s is t r o n gs e m i l a t t i c eo fr e c t a n g u l a rb a n d s ，i tg e n e r a l i z e st h er e s u l to fy a m a d d aa n d k i m u r ao nn o r m a lb a n d s ，t h a ti s ab a n di san o r m a lb a n di fa n do n l yi f i t i sas t r o n g s e m i l a t t i c eo fr e c t a n g u l a rb a n d s a tl a s t ，t h et h c o r mo fas c m i s u p e r a b u n d a n ts c m i g r o u p i san o r m a lc r p t o s e m i s u p c r a b u n d a n ts e m i g r o u pi fa n do n l yi fi t i s aq u a s is t r o n gs e m i l a t r i c eo fc o m p l e t e l y3 虬s i m p l es e m i g r o u pi sp r o v e d w h i c hg e n e r a l i z e st h er e s u l to fc l i i f f o t d a n dp e t r i c ho nc o m p l e t e l yr e g u l a rs c m i g r o u p s k e y w o r d s ：p - g r e e nr e l a t i o n s ；a b u n d a n ts e m i g r o u p s ；r e g u l a rb a n d s ；q u a s is t r o n g s e m i l a t t i c e i i i 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 引言1 1 2预备知识3 1 3等价关系与同余关系4 1 4强半格的定义与推广7 第二章正规半超富足半群的结构1 1 2 1 g r e e n 关系及其推广1 1 2 2 p - g r e e n 关系的基本性质1 4 2 3 半超富足半群的结构j 1 6 2 4 正规半超富足半群的结构2 0 第三章拟强半格的应用2 3 3 1 预备知识2 3 3 2相关引理3 0 3 3 正则带的拟强半格分解3 2 3 4 正规半超富足半群的拟强半格分解3 4 3 5正则少密码群的拟强半格分解3 7 致谢4 1 参考文献4 2 附录：在校期间的研究成果及发表的学术论文4 5 第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 半群的代数理论，从它的基本对象、核心概念、主要课题的提出到它的行之有效的方 法的建立，都是在数学内部( 如算子理论、拓扑学、概率论等学科相互结合相互渗透) 和 外部( 特别是计算机科学) 的强烈推动下进行的，至今已展开系统研究6 0 多年，特别是 近几十年来随着新兴学科如形式语言与自动机理论、码论等交叉发展的需要，使得半群 理论的发展非常迅速正则半群一直是半群界研究的主流，而且是应用非常广泛的一类半 群专家学者们对半群的研究侧重于其结构理论，或者是从同余理论的观点出发研究半群 的性质富足半群则是二十世纪七十年代发展起来的以正则半群为真子类的广义正则半 群目前这类半群备受青睐，吸引了国内外许多专家来从事这类半群的研究并得出了一 系列重要的结果但是由于富足半群不含有正则元，因此它不具备正则元的可操作性和可 计算性，故富足半群不是正则半群在普遍意义下的推广，而是在方法上的跨越和理论上的 发展显然对这类半群的研究就不像正则半群那样容易之后，学者引入了g r e e n 关系， g r e e n 关系是研究半群的一种工具，它是由g r e e nja 在1 9 5 1 年提出来的，g r e e n 关系 在半群理论的发展中起到了非常重要的作用，利用它对0 - 单半群、完全正则半群、逆半 群等都作了深入的研究，特别是对逆半群的研究，证明了个半群是逆半群等价于该半群 的每个c 类和每个冗类只含唯一的幂等元奉一g r e e n 关系是f o u n t a i nj o h n 于1 9 7 9 年 提出的吲，利用，c g r e e n 关系，后人对富足半群、恰当半群、含恰当断面的富足半群，强 口拟富足半群，都作了深刻细致的研究，并借此建立了富足半群的概念。我们知道半群 代数理论的一个重要研究课题是研究它的结构。半群的强半格分解是半群的最好的结构 分解之一但是，只有一少部分半群具有强半格分解，如正规带，群的正规带等强半格 分解往往与正规带有某种联系y a m a d a 和k i m u r a 把正规带刻画为矩形带的强半格为 了研究具有半格分解而不具有强半格分解的半群类，云南大学的张荣华教授在假定半群 有半格分解的情况下讨论了p g 一强半格和佳半格，章亮老师给出了强半格的另一种推广 即次强半格分解并利用它研究了正则带的构造问题另外，半群的同余理论是半群代数理 论的个重要的研究方向一方面，衡量个半群类的结构刻画是否是一个好的刻画在很 大程度上取决于能否给出这类半群的同余表示；另一方面，几乎所有的半群结构定理都依 赖于这类半群上的一些重要的同余关于正则半群的同余理论国内外目前已取得了一系 】 江南大学硕士学位论文 列重要的成果通过它，人们既可以知道个半群可能有的同态象，也可以对半群的内在 结构了解更多的信息刻画半群的同余最常用的工具是所谓“核一迹同余对”，这个概念 是群中正规子群概念向半群的推广此种研究思路最早可追溯到1 9 7 4 年s c h e i b l i c h 的工 作s c h e i b l i c hhe 2 8 1 用同余对给出了逆半群上任意同余的刻画1 9 8 8 年，葡萄牙女数 学家g o m e s gms 【2 9 】用此方法刻画了任意正则半群的纯正同余；最近，朱浸华【3 1 】和高 增辉【3 2 】也用该方法分别对纯正半群上的强同余和p - 正则，p 一反演半群上的强p - 同 余进行了类似的刻画这一方法被证明是研究正则半群同余的有效方法然而，这类方法 却并不适合广义正则半群，因此需要探索新的方法去研究广义正则半群( 如富足半群) 的 同余目前这方面的工作还不够充分，如何去更好的研究它还需要以后多加留意 近些年来随着对富足半群研究的加深，有关这方面的论文也越来越多，例如；强e 拟富足半群，+ 一富足半群，内禀富足半群，u 0 - 富足半群等等本论文也是从富足半群 的定义出发，结合同余理论讨论几类日p 一富足半群的结构与性质，如半超富足半群，正规 半超富足半群，正规密码半超富足半群等近年来，半群的代数理论和不确定数学、信息 科学及人工智能的软计算领域的交叉和融合，为代数学的研究提供了新的广阔的舞台，同 时也给代数学理论提供了更深远的应用前景 众所周知，g r e e n 关系在正则半群的研究中起了非常重要的作用c l i f f o r d 证明 了一半群是群并( 即完全正则半群) 当且仅当它是完全单半群的半格且利用该半格分解， p e t r i c h 证明了完全正则半群的g r e e n 关系冗是正规带同余当且仅当它是完全单半群的 强半格f o u n t a i n 推广了c l i f f o r d 定理，证明了一富足半群是超富足半群( 即每个h 类 均含幂等元的富足半群) ，当且仅当它是完全歹一单半群的半格本论文的主要工作是在 g r e e n 关系的基础上把g r e e n 关系推广到p - g r e e n 关系并且给出了半超富足半群的半 格分解同时利用此半格分解，证明了半超富足半群为正规半超富足半群当且仅当它是完 全歹p 单半群的强半格本论文重点研究几类p 一富足半群的结构性质，以及正则半群 的结构性质和拟强半格的应用有关富足半群更多的研究，孔祥智教授和其学生也写有论 文日群一富足半群f 3 7 3 剐、半超富足半群 3 9 一删、正规，c 一密码超富足半群等【1 7 1 另 外中国科技大学的宋光天教授给出了纯正群的构造并研究了完全正则半群上的一些偏序 关系，并利用这些偏序关系刻画了密码群和正规密码群，证明了完全正则半群s 是密码 群当且仅当s = ，而s 是正规密码群当且仅当c = s 半群的另外个具有基础重要意 义的课题就是半群上同余及其格的刻画，在半群的同余及其格的刻画上四川师范大学的 2 第一章绪论 喻秉钧教授给出了相应的研究，他证明了正则半群上的所有强同余构成该半群同余格的 完备子格，刻画了与强同余对应的核一迹同余对强同余对及其相互关系，由此给出正则 半群上任一强同余的结构，证明了强同余格和强同余对的集合之间一一对应 进入9 0 年代后，半群理论专家经过一系列的钻研，又得到了很多有用的结论如 f o u n t a i nj o h n 和v i c t o r i ag o u l d 就重点研究了有界幂等d 半群，在含有零元的半群中 做考察2 0 0 7 年，m a r kk a m b i t e s 在此基础上研究了多种类型的r e e s 矩阵半群2 0 0 7 年，半群代数中的半格研究有了显著的发展k a m i l l ak a t a i - u r b a n 和a r p a dt r i t z 讨论 了半群中半格的分解问题y e m o nc h o i 做了与半格代数相关的论文另外，还有多位半 群专家如：r o b i nh i r s c h ，s z a b o l c sm i k u l a s ，m a u r i c ep o u z e t 等在研究半群代数及其半格 分解、正规带等方面都做了较好的研究给我们的学习与借鉴提供了基础 富足半群的半格分解，强半格分解，左右同余，态射，自然序，以及g r e e n 关系中 的四种关系，还包括左右理想等是学习和研究半群不可或缺的知识，前面我们已经介绍过 半群中的半格分解是一个很重要的论题，而且很多半群只有半格分解而不具有强半格分 解，对于强半格分解需要满足的条件，目前还没有彻底的研究和结论，需待以后在这方面 继续努力钻研 1 2 预备知识 为了更好地研究半超富足半群，我们首先对半群的定义及一些相关的概念做一个回 顾： 定义1 2 1 【1 l ：对于( s ，p ) ，设s 为一个非空数集，在它上面定义了二元运算p ，即p 为个映射4 ：s s s 我们称( s ，j l t ) 是个半群，若p 满足结合律，即v ( z ，y ，z s ) 有( x y ) z = z ( z ) 定义1 2 2 【1 】：若s 为一个半群，v x ，y s ，有x y = y x 则称s 为交换半群 定义1 2 3 【1 】：若s 为一个半群，忱s ，3 1 s ，使得x l = i x = o ，称1 为s 中的 单位元，若e s 当且仅当e e = e ，称e 为s 中的幂等元 当然，单位元一定为幂等元，反之则不成立 定义1 2 4 【1 】：令，为半群s 上的一个非空的子集，若s j r ，则称，为s 的左理 想，同理，若i s ，则称j r 为s 上的个右理想 定义1 2 5 ：半群s 中的个元素a 称为正则元，若存在z s ，使得a x a = a 半群 3 江南大学硕士学位论文 s 叫做正则半群，若半群s 中所有的元素都是正则元 显然，群一定是正则半群事实上，若v a s 孔s ，使得a x = t , a ，则称s 为完全 正则半群 定义1 2 6 ：令s 为个非空的集合，按照下面的规则定义s 上的乘法：x y = x ，( x ，y s ) ，称s 为左零半群，同理若y x = z ，( x ，y s ) ，则称s 为右零半群 定义1 2 7 ：若，和a 是任意的非空集合，定义的乘法满足结合律，i 人由下面的 规则来定义：( i ，入) ( 歹，肛) = ( 1 ，) ，( ，歹i ，入，p a ) ，我们称( i a ，) 为矩阵带 定义1 2 8 ：令为半群s 到半群t 的映射，若( v x ，y s ) ，( z y ) = ( z ) ( y ) ，则矽 为同态映射，若为对一的，称之为单同态，若为对一的和映上的，称之为同构， 若为s 到s 上的同态称之为s 上的自同态，同理，若为s 到s 上的同构称之为自 同构 定义1 2 9 ：集合x 上的二元关系u 叫做偏序若它满足以下三条： ( 1 ) 对所有的z x 有( x ，z ) u 即u 是自反的； ( 2 ) ( 妇，y x ) ( z ，y ) u ，( y ，x ) u 令x = y 即u 是反对称的； ( 3 ) ( 比，y ，z x ) ( z ，y ) u ，( y ，z ) u 号( x ，z ) u 即u 是传递的 一般我们写成x y 而不是( x ，y ) u ，为了简便，我们分别用z y ，x - ky ，z 卜y 来表示( y ，z ) u ，( x ，y ) u 且x y ，( y ，z ) u 且z y 若一个偏序满足性质。 ( 4 ) ( 比，y x ) z y 或y x 则称之为全序 1 3 等价关系与同余关系 数学中的关系也是源于日常生活中关系这一概念，如朋友关系、亲人关系、位置关系 等数学中的关系是用来表示集合中元素之间的关系本论文中所涉及到的关系一词均指 二元关系本节重点讨论两类重要的关系：等价关系和同余关系 设r 是非空集合a 上的关系如果冗是自反的、对称的和传递的则称r 是4 上 的等价关系 设r 是非空集合a 上的等价关系，对任意的z a ，令h r = u l y a ax r y ，则 称【= j r 为z 关于r 的等价类，简称x 的等价类，并记为 关于等价类有下述性质 定理1 3 1 ：设兄是非空集合a 上的等价关系，z ，y a ，下面的结论成立： 4 第一章绪论 ( 1 ) x 】0 且【x 】a ； ( 2 ) 若x r y ，则m = y 】； ( 3 ) 若x r y ，则 x 】n y 】_ 0 ； ( 4 ) u z a m = a 这一定理表明集合上的个等价关系就决定集合的一个划分反之，集合上的每一个 划分都会确定出一个等价关系即集合上的等价关系与集合a 的划分是一一对应的等 价关系的这性质就是广大学者研究诸多代数系统结构问题的主要依据 在等价类的基础上可以给出商集的定义 定义1 3 2 ：设r 是非空集合a 上的等价关系，以r 所决定的等价类为元素所构成 的集合称为a 关于冗的商集，记为a i r ，即a i r = “z 】r l z a ) 接下来在介绍同余关系之前先给出左( 右) 相容关系的概念令s 为一个半群，集合 s 上的关系r 叫做左相容，若： ( v s ，t ，a s ) ，( 8 ，t ) r 兮( a s ，a t ) r ； 集合s 上的关系r 叫做右相容，若； ( v s ，t ，a s ) ，( s ，t ) r 令( 8 a ，t a ) 兄； 集合s 上的关系r 叫做相容，若 ( v s ，亡，s 7 ，s ) ，( s ，s 7 ) r ，( t ，) r 号( s t ，s f ) r 定义1 3 3 ：个( 左右) 相容的等价关系称为左( 右) 同余，相容的等价关系称为同余 关系 命题1 3 4 ：半群s 上的关系p 为同余当且仅当它既是左同余又是右同余 证明t ( 必要性) 首先假设p 是同余的，若( s ，t ) p 且a s 则由自反性( a ，a ) p 所以，由相容性知，( a s ，a t ) p ，( s 口，t a ) p ，因此p 既是左同余又是右同余 ( 充分性) 设p 既是左同余又是右同余，若( s ，s ，) ( t ，) p ，由右相容可知( s t ，s 7 亡) p ， 再由左相容可知( s t ，s t t 7 ) p 因此由传递性得到( s t ，s 7 ) p ，所以p 为同余 定义1 3 5 ：对于半群s 上的任意关系兄我们作如下的定义： 冗c = ( z o 可，z b y ) ：o ，y s 1 ，( a ，b ) r 引理1 3 6 f l 】= 令r ，s b ( s ) ，这里s 为个半群，则 ( 1 ) 兄r 。； ( 2 ) ( 兄。) _ 1 = ( r _ 1 ) 。； 5 江南大学硕士学位论文 ( 3 ) r s r 。s c ； ( 4 ) ( 辟) c = 砰； ( 5 ) ( 兄us ) c = r 。us o ； ( 6 ) r = r c 当且仅当r 是左右相容 证明：为了证明( 4 ) ，从( 1 ) ( 3 ) 得知r 。( r 。) c ，下证反包含，假设( c ，d ) ( r 。) 。则对 于某些z ，y s 1 和( a ，b ) r 。有c = x a y ，d = z b y 对于某些z ，t s 1 和某些p ，口r ， 有a = z p t ，b = z q t ，因此 c = ( z z ) p ( t ) ，d = ( z z ) 口( ! ) ， 这里x z ，t y s 1 且( p ，q ) r 即( c ，d ) r 6 为证明( 5 ) ，由( 3 ) r c ( r u s ) c ，s 。互( r u s ) 。； 因此砰us 。( 冗us ) 。相反，如果有( c ，d ) ( rus ) c ；则对某些z ，y s 1 我们有 c = x a y ，d = z b y ，这里( a ，b ) r us 所以( a ，b ) s 或( a ，b ) r ，且( c ，d ) r 。或者 ( c ，d ) s c 得证 为证明( 6 ) ，首先假设r = r c 则对所有s ，t ，a s ( s ，t ) r 号( a s ，a t ) r 。= r 和 ( s ，t ) r 冷( s a ，t a ) r 。= r 所以r 是左右相容反过来，若r 是左右相容且( c ，d ) r 。，若对某些z ，y s 1 和某些 ( a ，b ) r 我们有c = x a y ，d = z 的，但是由左右相容性有( x a y ，z b y ) r 则r = 殿得 证 引理1 3 7 【1 l ：令r 为半群s 中的个关系若r 为左右相容，则对任意的n n ，册 亦为左右相容 证明z 假设r 为左右相容且( s ，t ) 舻则这里存在z l ，z n 一1 s 使得 ( s ，z 1 ) ，( z l ，勿) ，( z n 一1 ，t ) r 因此，对所有的a s ， ( a s ，a z a ) ，( a z l ，口勿) ，( a z n 一1 ，a t ) r ( s a ，z a a ) ，( z l a ，勿口) ，( z n l a ，t a ) r 所以有( a s ，口t ) ，( s o ，t a ) 舻 6 第一章绪论 对于半群s 上的任意的等价关系e ，我们令 e 6 = ( 口，b ) s s ：( v x ，y s 1 ) ( 。o y ，z b y ) e 则有下面的性质： 性质1 3 8 ：若e 为半群s 上的等价关系，则砂是半群s 中e 上最大的同余 证明；首先，我们很容易看出e 是个等价关系并且若( a ，b ) e 6 且c s 对所 有的x ，y s 1 则( x c a y ，z c b y ) e ，因此( c a ，c b ) e 6 ，同理( a c ，b c ) e 6 因此驴是一个 同余，很明显驴e ，因为 ( a ，b ) e 6 兮( 1 a l ，l b l ) e 令( a ，b ) e 若叩为包含在e 中的s 上的同余，则对所有的a ，b s ， ( a ，b ) 7 7 = ( v x ，y s 1 ) ( z o 可，z b y ) 叩 令( 沌，y s 1 ) ( x a y ，z b y ) e 令( a ，b ) e 6 因此驴是半群s 中e 上最大的同余 1 4 强半格的定义与推广 将一半群通过同余分解成一些结构相对简单的子半群的并，即半群的分解在半群理 论研究中起着非常重要的作用半群的半格分解，尤其是强半格分解是研究半群的最佳分 解形式遗憾的是，具有强半格分解的半群类很少幂等半群，即带被描述为矩形带的半 格，y a m a d a 和k i m u r a 证明了带为正规带( 满足等式a x y a = a y x a 的带) 当且仅当它 为矩形带的强半格据正规带，右拟正规带( 满足等式y x a = y a x a 的带) ，正则带( 满足 等式a x y a = a x a y a 的带) 的定义看，它们之间的关系是逐级弱化的，应有正则带及右拟 正规带关于矩形带的某种半格分解形式，其强于一般的带的半格分解而弱于正规带的强 半格分解，且在这一分解中，应有因素反映右拟正规带强于正则带本文我们介绍一种介 于一般的半格分解与强半格分解之间的半格分解，我们称之为半群的拟强半格分解，并用 它来研究正则带与右拟正规带的半格分解 下面我们首先给出强半格的定义- 定义1 4 1 【1 7 l ：令s 为一半群且具有半格分解s = ( v & ) ，这里y 是个半格，每个 咒是s 的子半群若对任意o l ，p vo t p ，存在& 到昂的同态映射九，p 且满足t 7 江南大学硕士学位论文 ( 1 ) 对任意的o t y ，九。口是& 的单位映射； ( 2 ) 对任意的q ，p ，7 o t p 7 ，九，p 如，7 = 九，7 ； ( 3 ) 对任意的a & ，b 昂，a b = ( 口九，口p ) ( 6 咖，a p ) 那么我们称s 是& 的强半格，记为s = 【y ；瓯；九，d 现在我们给出强半格的一种推广； 定义1 4 2 【1 8 】：设s = ( y ；& ) 为半群s 关于子半群& ( q y ) 的半格y 分解，假设 ( c 1 ) 对q ，p y ，存在昂上的带同余p a , t 3 将昂分解为p a , o 一类& ( a ，t 3 ) 的并，其中 d ( a ，p ) d ( o l ，p ) ，d ( a ，p ) 为下标集 ( c 2 ) 当o t ，o t p ，对任意的d ( q ，p ) d ( a ，p ) ，存在同态c a ( a ，t 3 ) ：鼠一 & ( a ，t 3 ) 令吼，卢= 九( n ，p ) l d ( a ，p ) d ( a ，p ) ) 若： ( i ) ( 比y ) ，p 口，a = u & 是泛关系，等价地，d ( q ，口) 是单元集记d ( a ，q ) 为d ( q ，q ) d ( 口，a ) ：& 斗& 是单位同态 ( i i ) ( v q ，p ，一y q p 芝7 ) ，p a ，1 p t 3 ，y 且圣口，p 西p ，7 圣q ，这里 西口，p 圣p ，7 = 加( q ，卢) 咖d ( 卢，1 ) ：v d ( o t ，p ) d ( a ，p ) ，d ( 1 3 ，7 ) d ( 1 3 ，y ) ) ( i i i ) 对q ，p ，6 ，7 7 y ，a p ，6 叩及任意的d ( a ，p ) d ( q ，p ) ，d ( 6 ，7 7 ) d ( 6 ，? 7 ) ，存在 鼠( 口，p 叩) 满足鼠( a ，p ) & ( 6 ，叶) & ( 口，p ，) ( i v ) 对y 中o t p 及d ( q ，p ) d ( q ，p ) ，a x = ( a c a ( n ，卢) ) z _ r x a = z ( 口d ( 口，p ) ) 这里a & ， z & ( 口，p ) 我们称s 为& 的拟强半格y ，表示为s = 【y ；& ，p q ，p ，瓯，“ 注：半群s 的通常的强半格分解s = y ；鼠，吒，p 】显然是拟强半格分解，只需在每 个昂上取p a ，p 为泛关系u 即可我们将在第三章看到，反之不然 为了便于研究，现在我们给出强半格的另外一种推广； 定义1 4 3 【1 7 l ：令s = ( & ) 为半群s 的半格分解，其中y 是一半格，且& 是s 的子半群若对任意q ，p y ：q p 存在一簇同态映射o a ( q ，p ) ：_ 嘞，其中 d ( q ，) d ( q ，p ) ，d ( q ，p ) 是一非空集合并假定： ( 1 ) 对任意的q vi d ( q ，q ) i = 1 并且如( 口，口) 是& 的单位映射； 8 第一章绪论 ( 2 ) 对任意的q ，p ，y vq p 7 ，若记e a ，p = 【口d ( a ，p ) ：d ( q ，p ) d ( q ，p ) ) 则有 e a ，p o p ，7g0 州，这里 e a ，p e p ，1 = 【钆( q ，p ) 以，1 ) ：d ( q ，p ) d ( a ，p ) ，d ( p ，7 ) d ( p ，7 ) ) ； ( 3 ) 对任意的o 既，b 岛存在鸹( 叩p ) e 叩p ，口她a 卢) e 卢，a 卢满足 a b = ( 口鸹( a i a 卢) ) ( 6 铝( p ，a 砂 其中口：( 郇p ) 由b 唯一确定，也就是说，铭( q i a 卢) 不依赖于口具体地说，对给定的 b 昂，则对任意的o 最，我们总有a b = ( a 0 2 、a ，a p ) ) ( 6 p 施a p ) ) ，即鳄( a ，a p ) 适合所有的 a & 与b 按( 3 ) 所作的乘积对称地，铝( 卢，a p ) ) 只依赖于a ，也就是说，铝( p ，a p ) ) 不依 赖于b 那么我们称s 是半群& 的g 一强半格，记为s = g 【y ；瓯；e 口，d 而且。设t 是g r e e n 关系c ，冗，冗，口，歹中的一种，若 ( a l ，a 2 ) t i & ，( b l ，5 2 ) t i 昂， 则存在 强叩p ) e 口，卵，咳跏p ) e 卢，卵 满足 p 反q 卸) = 咯q ，q 卢) = 咳叩即 o d t ( 。3 ，a p ) = 鳕b ，a p ) = 铭葫，a 卢) 也就是说， 口1 6 1 = ( 口铭t ( p ，a p ) ) ( 6 ) 咳p ，n 卢) ， 口2 6 2 = ( o ，p ) ) ( 6 ) p 如，a p ) ， 那么我们称s 是半群& 的t g 强半格，记为s = t g y ；& ；e d ，以 注：由g 一强半格的定义，半群的强半格一定是半群的g 一强半格，但是反之不一定 成立事实上，s = 【y ；瓯；e o ，口】是半群& 的强半格当且仅当所有的d ( q ，p ) 当o t p 时是单元素集特别地，若s 是完全正则半群( 当然包含带) 且具有半格分解s = 【y ；& ) ， 其中y 是一半格，每个& 是一完全单半群，事实上，正如我们所知，& 是一d 一类， 也就是说，& 是双单的那么由g 一强半格的定义，易知，s 是完全单半群的强半格 9 江南大学硕士学位论文 当且仅当它是完全单半群的d c - 强半格但我们将会看到，并非所有的g 一强半格都 是强半格 由上面的介绍可知，拟强半格是介于半格分解和强半格分解的一种半格分解 1 0 第二章正规半超富足半群的结构 第二章正规半超富足半群的结构 2 1 g r e e n 关系及其推广 在第一章中已初步介绍了关系、理想等概念，结合本文的出发点我们很容易理解和接 受一类特殊的等价关系- g r e e n 关系，它最早是由j a g r e e n ( 1 9 5 1 ) 提出，它在半群的发 展中起到了极其重要的作用，同时在正则半群和富足半群的研究中也起到了不可替代的作 用，c l i f f o r d 证明了一半群是群并( 即完全正则半群) 当且仅当它是完全单半群的半格， 利用该半格分解，众多作者获得了关于完全正则半群的极其丰富的结果之后，c g r e e n 关系和 - g r e e n 关系分别由jf o u n t a i n ( 1 9 7 9 ) 和e 1q a l l a l i ( 1 9 8 0 ) 提出，利用前者在富足 半群、恰当半群和含恰当断面的富足半群等方面做了系统的研究本文在借鉴多种g r e e n 关系的基础上，给出了一种新的等价关系- p - g r e e n 关系，相应的引入了(