高中数学 3.2.1 一元二次不等式的解法同步课件 北师大版必修5.ppt

1 通过实例了解一元二次不等式的含义 重点 2 掌握一元二次不等式的解法 弄清一元二次不等式与一元二次方程 二次函数的内在联系 难点 3 能够利用分类讨论方法 求解简单的含字母的一元二次不等式 难点 易错点 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 具备哪些条件时 解集为r或 提示 当a 0 0时 解集为r 当a 0 0时 解集为 从函数的观点看一元二次不等式的解集一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集 就是二次函数y ax2 bx c a 0 在x轴上方部分的点的横坐标x的集合 ax2 bx c0 的解集 就是二次函数y ax2 bx c a 0 在x轴下方部分的点的横坐标x的集合 一元二次不等式的解法一元二次不等式经过变形 可以化为以下两种标准形式 ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c0 1 若方程ax2 bx c 0的两根为x1 x2 且x1 x2 此时不等式 的解在 两根之外 不等式 的解在 两根之间 2 若 0 则x1 x2 不等式 的解集为 x x x1 x r 不等式 的解集为 3 若 0 不等式 的解集为r 不等式 的解集为 一元二次不等式的解集要写成集合的形式 例1 求一元二次不等式的解集 1 x2 2x 30 审题指导 按照求解一元二次不等式的步骤 求根 画图 找解 三步曲进行 规范解答 1 因为 22 4 1 3 16 0 方程x2 2x 3 0的解是x1 3 x2 1 因为函数y x2 2x 3的图像开口向上 所以 不等式x2 2x 3 0的解集为 x 3 x 1 2 原不等式可化为16x2 8x 1 0 因为 8 2 4 16 1 0 函数图像与x轴有且只有一个交点且开口方向向上 所以 原不等式的解集为r 3 不等式两边都乘以 3 得3x2 6x 20 方程3x2 6x 2 0的解是x1 1 x2 1 原不等式的解集是 x 1 x 1 变式训练 解下列不等式 1 2 3x 2x2 0 2 x2 2x 3 0 3 x2 4x 4 0 解析 1 原不等式等价于2x2 3x 2 0 由2x2 3x 2 0得x1 x2 2 原不等式的解集是 x x 2或x 2 原不等式等价于 x2 2x 3 0 由 2 2 4 1 3 0 知原不等式解集为 3 4 2 4 4 0 方程x2 4x 4 0有等根x1 x2 2 原不等式的解集为 x x r且x 2 误区警示 对于 1 2 解题时要注意把二次项的系数变为正数 不等号的方向要改变 含参数的一元二次不等式的解法分类讨论解不等式 1 含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论 当能够直接求出不等式对应方程根的情况时 根的大小是分类的标准 2 当需要使用求根公式才能确定不等式对应方程根的情况时 方程的判别式是分类的标准 在进行分类讨论时首先考虑这个不等式二次项的系数是否含有参数 若含有参数 要先考虑二次项的系数大于0 等于0 小于0三种情况 例2 解关于x的不等式 ax2 2a 1 x 20 a 0 a 0的情况和方程ax2 2a 1 x 2 0两个根的大小进行分类求解 规范解答 不等式ax2 2a 1 x 20时 不等式可以化为 x x 2 2 此时不等式的解集为 x 2 则 2 此时不等式的解集为 x x 2 2 当a 0时 不等式即 x 22 3 当a0 由于2 综上所述 当a2 当a 0时 不等式的解集为 x x 2 当0时 不等式的解集为 x x 2 变式训练 解不等式 x a x 0 a 0 解析 1 当00的解集为 x x 或x0的解集为 x x a 3 当a 1时 a 不等式 x a x 0的解集为 x x a或x或x1时 解集为 x x a或x 误区警示 分类讨论时要对参数的讨论不重不漏 因此要掌握一个分类标准 在此基础上分类 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题 1 不等式ax2 bx c 0的解集是全体实数 或恒成立 的条件是 当a 0时 b 0 c 0 当a 0时 2 类似地 还有f x a恒成立 f x max a f x a恒成立 f x min a 解决这类问题通常利用根的判别式和二次项的系数 对于最值问题 要注意结合函数的单调性求解 例 m为何值时 不等式mx2 4mx 4 0对任意实数x恒成立 审题指导 对m的值分m 0和m 0两种情况进行分类讨论 规范解答 1 当m 0时 0 x2 4 0 x 4 0对任意实数x都成立 所以m 0满足条件 2 当m 0时 根据不等式mx2 4mx 4 0的解集为全体实数 所以 解得 1 m 0 综合 1 2 得 1 m 0 变式备选 m为何值时 不等式mx2 mx 2 0的解集为全体实数 解析 1 当m 0时 0 x2 0 x 2 0对任意x都成立 所以m 0 2 当m 0时 根据不等式mx2 mx 2 0的解集为全体实数 所以解得 0 m 8 综合 1 2 得 0 m 8 三个二次 关系问题 三个二次 关系 三个二次 中 二次函数是主体 讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究 而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系 通过二次函数的图像及性质来解决问题 关系如下 例3 m为何值时 关于x的方程 m 1 x2 2 2m 1 x 1 3m 0 1 有两个异号实根 2 有两个实根 且它们之和为非负数 审题指导 可利用根与系数的关系和根的判别式列不等式组求解 但解题时要注意二次项的系数不能为零 规范解答 1 若方程有两个异号实根 则此问题等价于即 m 2 方程有两个实根 且它们的和为非负数 等价于即得解得 1 m 互动探究 在本例中 若条件不变 问m为何值时 一根大于1 一根小于1 解析 此问题等价于或即或解得 2 m 1 当 2 m 1时 方程一根大于1 一根小于1 典例 12分 已知不等式mx2 2x m 1 0 是否存在实数m 使对于所有的实数x不等式恒成立 若存在 求m的取值范围 若不存在 说明理由 审题指导 首先对二次项的系数分m 0和m 0进行分类讨论 当m 0时 结合二次函数的图像列不等式组求解 规范解答 不等式mx2 2x m 1 即对所有的实数x不等式不恒成立 4分当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 8分即此时m无解 综上可知m的值不存在 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 若不等式x2 ax 1 0对一切x 0 成立 则a的最小值为 a 0 b 2 c d 3 解析 选c 由不等式x2 ax 1 0 可得a x 令g x x 要使上式在 0 上恒成立 只需a g x max 又y x 在 0 上是减函数 g x max g a 故选c 1 不等式 x 2 3 x 0的解集为 a x x 3或x2或x 3 d x 2 x 3 解析 选d 不等式等价于 x 2 x 3 0 方程 x 2 x 3 0的两根为 2和3 故不等式的解集为 x 2 x 3 2 当a 0时 不等式42x2 ax a2 0的解集为 a x x b x x c x x d 空集 解析 选a 42x2 ax a2 0 6x a 7x a 0 a 0 3 不等式 x x 0的解集为 解析 不等式 x x 0 等价于 x x 0 又 相应方程 x x 0的两根为 x1 x2 x x 0的解集为 x x