高中数学 （主干知识+典例精析）7.5空间中的垂直关系课件 理 新人教B版.ppt

第五节空间中的垂直关系 三年20考高考指数 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题 1 垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中 主要考查对概念 公理 定理 性质 结论的理解及运用 往往与命题及平行关系综合在一起考查 难度较小 2 线面垂直 面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现 且常与平行关系综合命题 难度中等 3 通过线面角 二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运算能力 常以解答题的形式出现 难度中等 1 直线与直线和直线与平面垂直 1 两条直线互相垂直定义 如果两条直线相交于一点或相交于一点 并且交角为 则称这两条直线互相垂直 经过平移后 直角 2 直线与平面垂直 直线与平面垂直的定义如果一条直线 ab 和一个平面 相交于点o 并且和这个平面内过交点 o 的直线都垂直 就说这条直线和这个平面互相垂直 任何 直线与平面垂直的判定与性质 m a o o a b m m l l l l l 定义 l a a 且a是过点o的任意一条直线 l a l b a b o a b l m m l m l m l l l l m l m 即时应用 1 思考 能否将直线与平面垂直的定义中的 任意一条直线 改为 无数条直线 提示 不可以 当这无数条直线平行时 直线l有可能在平面 内 或者l与平面 相交但不垂直 2 直线a 平面 b 则a与b的位置关系是 解析 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 但a与b可能相交 也可能异面 答案 垂直 2 平面与平面垂直 1 定义如果两个相交平面的交线与第三个平面 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 就称这两个平面互相垂直 垂直 互相垂直 2 平面与平面垂直的判定与性质 l d a b c e a d b c l l cd ba cdbe cd ba be cdab ab cd ab 即时应用 1 思考 垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 不一定 两平面可能平行 也可能相交 2 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 解析 由条件知 当m 时 一定有 但反之不一定成立 故填必要不充分 答案 必要不充分 直线与平面垂直的判定和性质 方法点睛 1 证明线面垂直的常用方法 2 线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时 则直线与平面内的所有直线都垂直 体现了 线线垂直 与 线面垂直 的相互转化 提醒 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程 如用判定定理证明线面垂直时 一定要体现出 平面中的两条相交直线 这一条件 例1 1 2012 北京模拟 已知如图 六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc 则下列结论不正确的是 a cd 平面paf b df 平面paf c cf 平面pab d cf 平面pad 2 2011 鹰潭模拟 如图 三棱锥p abc中 pa 底面abc ab bc de垂直平分线段pc 且分别交ac pc于d e两点 又pb bc pa ab 求证 pc 平面bde 若点q是线段pa上任一点 判断bd dq的位置关系 并证明你的结论 若ab 2 求三棱锥b ced的体积 解题指南 1 根据线面平行 垂直的判定定理来判断 2 利用线面垂直的判定定理证明 证明bd 平面pac即可 根据vb ced vc bde 转化为求s bde及ce的长度 规范解答 1 选d 由正六边形的性质得cd af cf ab 故a c正确 因为pa 平面abc 所以pa df 又df af pa af a 故df 平面paf 即b正确 故选d 2 由等腰三角形pbc 得be pc de垂直平分pc de pc 又be de e pc 平面bde 由 得 pc bd pa 底面abc pa bd 又pc pa p bd 平面pac 当点q是线段pa上任一点时都有bd dq pa ab 2 pb bc ab bc ac pc 4 ce 2 且 cde cpa 由 知 bd de vb ced vc bde s bde ce 互动探究 本例 2 若改为 设q是线段pa上任意一点 求证 平面bdq 平面pac 则如何求解 证明 由 2 的解法可知bd 平面pac 又bd 平面bdq 平面bdq 平面pac 反思 感悟 1 在证明垂直关系时 要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化 同时要注意通过作辅助线进行这种转化 2 解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析 从中找到线线垂直往往是解题的关键 因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理 变式备选 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 1 aa1 2 e是侧棱bb1的中点 1 求证 a1e 平面ade 2 求三棱锥a1 ade的体积 解析 1 由勾股定理得 a1e ae a1a2 a1e2 ae2 aea1 90 a1e ae ad 平面aa1b1b a1e 平面aa1b1b a1e ad 又ad ae a a1e 平面ade 2 由题意得 平面与平面垂直的判定和性质 方法点睛 1 证明面面垂直的方法面面垂直的证明综合性强 可通过转化使问题得以解决 线线垂直 线面垂直 面面垂直 间的关系如图 其中线线垂直是基础 线面垂直是核心 解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直 线面垂直的条件 2 面面垂直性质的应用 1 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 它们的交线也垂直于第三个平面 例2 如图 在 bcd中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面bcd adb 60 e f分别是ac ad上的动点 且 0 1 1 判断ef与平面abc的位置关系并给予证明 2 是否存在 使得平面bef 平面acd 如果存在 求出 的值 如果不存在 说明理由 解题指南 1 结合图形猜测ef与平面abc垂直 由 知ef cd 由 bcd 90 及ab 平面bcd可证得结论成立 2 由ef cd可知问题相当于过点b作一个平面与平面acd垂直 而这样的平面一定存在 故只需计算出 即可 规范解答 1 ef 平面abc 证明 ab 平面bcd ab cd 在 bcd中 bcd 90 bc cd 又ab bc b cd 平面abc 在 acd中 0 1 ef cd ef 平面abc 2 cd 平面abc be 平面abc be cd 故要使平面bef 平面acd 只需证be ac 在rt abd中 adb 60 ab bdtan60 则ac 当be ac时 be 则 即 时 be ac 又be cd ac cd c be 平面acd be 平面bef 平面bef 平面acd 所以存在 时 平面bef 平面acd 反思 感悟 证明面面垂直时一般先证线面垂直 确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找 若图中不存在这样的直线 则应通过添加辅助线来构造 变式训练 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解析 1 如图 取ad的中点g 连接pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad 且bg pg g ad 平面pbg ad pb 2 连接cg de 且cg与de相交于h点 在 pgc中作hf pg 交pc于f点 连接df fh 平面abcd 平面def 平面abcd 菱形abcd中 g e分别为ad bc的中点 即得知h是cg的中点 f是pc的中点 在pc上存在一点f 即为pc的中点 使得平面def 平面abcd 垂直关系的综合问题 方法点睛 垂直关系综合题的解题思路 1 对于三种垂直的综合问题 要注意通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 对于垂直与平行结合的问题 应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 3 对于垂直与体积结合的问题 在求棱锥的体积时 可根据线面垂直得到表示棱锥高的线段 进而求得体积 例3 2012 唐山模拟 如图 已知三棱锥a bpc中 ap pc ac bc m为ab的中点 d为pb的中点 且 pmb为正三角形 1 求证 dm 平面apc 2 求证 平面abc 平面apc 3 若bc 4 ab 20 求三棱锥d bcm的体积 解题指南 1 要证dm 平面apc 只需证明dm ap 2 证bc 平面apc 3 通过vd bcm vm bcd求体积 规范解答 1 m为ab中点 d为pb中点 dm ap 又dm平面apc ap 平面apc dm 平面apc 2 pmb为正三角形 且d为pb中点 md pb 又由 1 知md ap ap pb又ap pc pb pc p ap 平面pbc ap bc 又 ac bc ap ac a bc 平面apc 又bc 平面abc 平面abc 平面apc s bdc s pbc pc bc 4 又md ap vd bcm vm bcd s bdc dm 3 ab 20 mp 10 pb 10 又bc 4 pc 反思 感悟 1 本题体现了 转化 思想在立体几何中的应用 解题中要注意利用 平行 垂直 间的转化 2 解答题中要注重关键步骤的叙述与体现 以做到规范解题 变式训练 1 已知直线l 平面 直线m 平面 给出下列命题 l m l m l m l m 其中所有正确的序号是 解析 中 由 l 得l 可得l m 故正确 中 由 l 得l在平面 内或与 平行 不一定有l m 故不正确 中 由l m l 可得m 又m 故 正确 中 由l m不能得到 综上 正确 答案 2 2012 济南模拟 如图 已知矩形abcd中 ab 10 bc 6 沿矩形的对角线bd把 abd折起 使a移到a1点 且a1在平面bcd上的射影o恰好在cd上 求证 1 bc a1d 2 平面a1bc 平面a1bd 证明 1 由于a1在平面bcd上的射影o在cd上 则a1o 平面bcd 又bc 平面bcd 则bc a1o 又bc co a1o co o 则bc 平面a1cd 又a1d 平面a1cd 故bc a1d 2 因为abcd为矩形 所以a1b a1d 由 1 知bc a1d a1b bc b 则a1d 平面a1bc 又a1d 平面a1bd 从而有平面a1bc 平面a1bd 变式备选 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n p分别为所在边的中点 o为面对角线a1c1的中点 1 求证 平面mnp 平面a1c1b 2 求证 mo 平面a1bc1 证明 1 连接d1c mn为 dd1c的中位线 mn d1c 又 d1c a1b mn a1b 同理mp c1b 而mn与mp相交 mn mp 平面mnp bc1 a1b 平面a1c1b 平面mnp 平面a1c1b 2 方法一 连接c1m和a1m 设正方体的棱长为a 正方体abcd a1b1c1d1 c1m a1m 又 o为a1c1的中点 a1c1 mo 连接bo和bm 在三角形bmo中 经计算知 ob a mo a bm a ob2 mo2 mb2 bo mo 而a1c1 bo 平面a1c1b a1c1 bo o mo 平面a1c1b 方法二 连接ab1 b1d b1d1 则o是b1d1的中点 ad 平面abb1a1 a1b 平面abb1a1 ad a1b 又a1b ab1 ad和ab1是平面ab1d内两条相交直线 a1b 平面ab1d 又b1d 平面ab1d a1b b1d 同理 bc1 b1d 又a1b和bc1是平面a1bc1内两条相交直线 b1d 平面a1bc1 om是 d1b1d的中位线 om b1d om 平面a1bc1 满分指导 垂直关系综合问题的规范解答 典例 12分 2011 辽宁高考 如图 四边形abcd为正方形 qa 平面abcd pd qa qa ab pd 1 证明 pq 平面dcq 2 求棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值 解题指南 1 证明pq dc pq qd 进而可得pq 平面dcq 2 设出正方形的边长为a 分别计算两个棱锥的体积 再求体积的比值 规范解答 1 由条件知pdaq为直角梯形 因为qa 平面abcd qa 平面pdaq 所以平面pdaq 平面abcd 交线为ad 又四边形abcd为正方形 dc ad 所以dc 平面pdaq 2分 又pq 平面pdaq 所以pq dc 在直角梯形pdaq中可得dq pq pd 则pq qd 5分又dc qd d 所以pq 平面dcq 6分 2 设ab a 由题设知aq为棱锥q abcd的高 所以棱锥q abcd的体积v1 a3 8分由 1 知pq为棱锥p dcq的高 而pq a dcq的面积为a2 所以棱锥p dcq的体积v2 a3 11分故棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值为1 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 辽宁高考 如图 四棱锥s abcd的底面为正方形 sd 底面abcd 则下列结论中不正确的是 a ac sb b ab 平面scd c sa与平面sbd所成的角等于s