高中数学 （主干知识+典例精析）7.3平面的基本性质及两直线位置关系课件 理 新人教B版.ppt

第三节平面的基本性质及两直线位置关系 三年9考高考指数 1 理解空间直线位置关系的定义 2 了解可以作为推理依据的公理和定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 1 本部分重点考查点 线的位置关系 同时考查逻辑推理能力与空间想象能力 有时考查应用公理 定理证明点共线 线共点 线共面的问题 2 本部分内容多以填空题的形式考查 有时也出现在解答题中 属低中档题 1 平面的基本性质及推论 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线上的所有点都在这个平面内 经过 的三点 有且只有一个平面 a b c三点不共线 有且只有一个平面 使a b c a b l 两点 c b a 不在同一条直 线上 如果不重合的两个平面有一个公共点 那么它们 过这个点的公共直线 p 且p 有且只有一条直线a使 a 且p a 经过一条直线和 的一点 有且只有一个平面 直线bc abc 有且只有一个平面 使bc a p a 有且只有一条 直 线外 a b c 经过两条 有且只有一个平面 直线ab ac 有且只有一个平面 且ab ac 经过两条 有且只有一个平面 l1 l2 有且只有一个平面 且l1 l2 平行直线 相交直线 c b a l1 l2 即时应用 1 判断下列说法的正误 请在括号中填写 或 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 并记作 a 两个平面abc与dbc相交于线段bc 2 判断下列命题是否正确 请在括号内填写 或 经过三点确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 解析 1 根据平面的性质3可知 对 对于 其错误在于 任意 二字上 对于 错误在于 a上 对于 应为平面abc和平面dbc相交于直线bc 2 经过不共线的三点可以确定一个平面 不正确 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面 正确 命题 中没有说清三个点是否共线 不正确 答案 1 2 2 直线与直线的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 平行直线 a b 个 0 a b 共面直线 相交直线 a b a 个 1 a a b 异面直线 a b是异面直线 个 0 b a 图形语言 符号语言 公共点 即时应用 1 若a与b是异面直线 b与c是异面直线 则a与c的位置关系是 2 两个不重合的平面可以把空间分成 部分 3 已知空间四边形abcd中 m n分别为ab cd的中点 则下列判断 mn ac bd mn ac bd mn ac bd mn ac bd 其中正确的是 解析 1 把直线放在正方体内可知a与c可以异面 平行或相交 2 当两个平面平行时 把空间分成三部分 当两个平面相交时 把空间分成四部分 3 如图 取bc的中点o 连接mo no 则在 mon中 mn om on ac bd 正确 答案 1 异面 平行或相交 2 3或4 3 平面的基本性质及其应用 方法点睛 考查平面基本性质的常见题型及解法 1 判断所给元素 点或直线 是否能确定唯一平面问题 关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件 2 证明点或线共面问题 一般有两种途径 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 3 证明点共线问题 一般有两种途径 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 4 证明线共点问题 常用的方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 例1 1 给出以下四个命题 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则点a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 2 如图 平面abef 平面abcd 四边形abef与abcd都是直角梯形 bad fab 90 bc ad且be af且g h分别为fa fd的中点 证明 四边形bchg是平行四边形 c d f e四点是否共面 为什么 解题指南 1 根据平面的基本性质及推论进行判断 2 证明bc gh平行且相等即可 证明ef ch 由此构成平面 再证点d在该平面上 规范解答 1 选b 假设其中有三点共线 则该直线和直线外的另一点确定一个平面 这与四点不共面矛盾 故其中任意三点不共线 所以 正确 从条件看出两平面有三个公共点a b c 但是若a b c共线 则结论不正确 不正确 不正确 因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上 如空间四边形 2 由题设知 fg ga fh hd 所以gh ad且gh ad 又bc ad且bc ad 故gh bc且gh bc 所以四边形bchg是平行四边形 c d f e四点共面 理由如下 由be af且be af g是fa的中点知 be gf且be gf 所以四边形efgb是平行四边形 所以ef bg 由 知bg ch 所以ef ch 故ec fh共面 又点d在直线fh上 所以c d f e四点共面 互动探究 本例第 2 题的条件不变 如何证明 fe ab dc交于一点 证明 由例题可知 四边形ebgf和四边形bchg都是平行四边形 故可得四边形echf为平行四边形 ec hf 且ec df 四边形ecdf为梯形 fe dc交于一点 设fe dc m m fe fe 平面bafe m 平面bafe 同理m 平面badc 又平面bafe 平面badc ba m ba fe ab dc交于一点 反思 感悟 点共线和线共点问题 都可转化为点在直线上的问题来处理 实质上是利用基本性质3 证明点在两平面的交线上 解题时要注意这种转化思想的运用 变式备选 如图 空间四边形abcd中 e f g h分别是ab ad bc cd上的点 设eg与fh交于点p 求证 p a c三点共线 证明 eg fh p p eg eg 平面abc p 平面abc 同理p 平面adc p为平面abc与平面adc的公共点 又平面abc 平面adc ac p ac p a c三点共线 空间中两直线的位置关系 方法点睛 判定直线位置关系的方法空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质及线面平行的性质 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 提醒 在空间中两直线的三种位置关系中 验证异面直线及其所成角是考查的热点 例2 如图 在四面体abcd中 截面pqmn是正方形 则在下列命题中 错误的为 a ac bd b ac 截面pqmn c ac bd d pn 面bdc 解题指南 结合图形 根据有关的知识逐一进行判断 注意本题选择的是错误选项 规范解答 选c 因为四边形pqmn为正方形 所以pq mn 又pq平面adc mn 平面adc 所以pq 平面adc 又平面bac 平面dac ac 所以pq ac 同理可证qm bd 由pq ac qm bd pq qm可得ac bd 故a正确 同理可知d正确 由pq ac可得ac 截面pqmn 故b正确 综上知c错误 反思 感悟 解决此类问题常出现的错误是不善于挖掘题中的条件 不能将问题适当转化 另外 图形复杂 空间想象力不够 分析问题不到位等 也是常出现错误的原因 变式训练 2012 济南模拟 已知a b为不垂直的异面直线 是一个平面 则a b在 上的射影可能是 两条平行直线 两条互相垂直的直线 同一条直线 一条直线及其外一点则在上面的结论中 正确结论的编号是 写出所有正确结论的编号 解析 用反证法证明 不可能 答案 易错误区 平面基本性质和两直线位置关系的易错点 典例 2012 长春模拟 对于四面体abcd 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 相对棱ab与cd所在的直线异面 由顶点a作四面体的高 其垂足是 bcd的三条高线的交点 若分别作 abc和 abd的边ab上的高 则这两条高所在直线异面 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 最长棱必有某个端点 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 解题指南 要注意利用概念 特例进行判断 同时结合图形来判断 规范解答 对于 显然是正确的 根据异面直线的定义可知 是错误的 构造特例 令ad为四面体的高 而对底面bcd没有要求 那么d不一定是三条高线的交点 是错误的 若ab ac 且ab ad 则ac ad这两条线交于a点 是正确的 不妨设ab bc cd da的中点分别为e f g h 则efgh是平行四边形 对角线eg fh相交于一点且被该点平分 同理 ac bd的中点连线也必过该点且被该点平分 是正确的 证明如下 设四面体中 ab是最长的棱 假设ac ad ab bc bd ab 两式相加得 ac bc ad bd 2ab 而在 abc中 ac bc ab 在 abd中 ad bd ab 两式相加得 ac bc ad bd 2ab 这与 式矛盾 所以 原命题是正确的 因此 选择 答案 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 浙江高考 若直线l不平行于平面 且l 则 a 内的所有直线与l异面 b 内不存在与l平行的直线 c 内存在唯一的直线与l平行 d 内的直线与l都相交 解析 选b 由题意可得直线l与平面 相交 如图 对a 由于 内所有不过交点的直线与l异面 故a错误 对b 如果 内存在与l平行的直线 则直线l与 平行 直线不存在 故b正确 对c 可得直线l与 平行 与题设不符 故c错误 对d 内所有不过交点的直线与l异面 故d错误 2 2011 四川高考 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 a l1 l2 l2 l3 l1 l3 b l1 l2 l2 l3 l1 l3 c l1 l2 l2 l3 l1 l2 l3共面 d l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 解析 选b 对于a 空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行 如图l1 l3可以相交或异面 故命题错误 对于b 由异面直线所成的角可知 l2 l3 则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等 故l1 l3 故命题正确 对于c 空间中三条互相平行的直线不一定共面 如三棱柱的三条侧棱不共面 故命题错误 对于d 空间中共点的三条直线不一定共面 如三棱锥中共顶点的三条棱不共面 3 2012 郑州模拟 已知 空间四边形abcd 如图所示 e f分别是ab ad的中点 g h分别是bc cd上的点 且cg bc ch dc 求证 1 e f g h四点共面 2 三直线f