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矩阵对角化及其应用 i 摘 要 矩阵的理论与方法贯穿于行列式 线性方程组 线性空间 线性变换 二次型 等各个方面 高等代数的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理 可对角化 矩阵 即能够与对角矩阵相似的矩阵 作为一类特殊的矩阵 在理论上和应用上都 有着十分重要的意义 本论文首先介绍了矩阵及其运算的基本概念和结论以及矩阵的特征值与特征 向量的概念 然后对可对角化矩阵的条件 包括充分条件和充要条件 及方法进行 了归纳总结 并给出具体例题以详细说明每一种方法的步骤 论文的另一部分内容 是总结可对角化矩阵的应用 包括在矩阵计算中的应用 求方阵的高次幂和开方以 及矩阵函数等 利用特征值求行列式的值 在微分方程 向量空间 线性变换等 方面的应用 通过本文总结的方法能使读者更加深刻的理解可对角化矩阵的本质及 不同对角化方法的区别和联系 进一步培养学生的发散思维 加强学生的计算能力 关键词关键词 矩阵 矩阵的对角化 充要条件 应用 矩阵对角化及其应用 ii abstract theories and solutions about matrix could be applied throughout any aspects of the determinant linear equations linear space linear transformation and quadratic forms etc solutions for many of the questions of advanced algebra can be converted into the method of corresponding matrix to figure out the diagonalizable matrix that is similar to diagonal matrix as a special sort of matrix is significant in both theories and applications this paper introduces basic concepts and conclusions of matrices as well as the concepts of eigenvalues and eigenvectors concrete examples are given in details in order to justify the procedures and purposes of each kind of solution the other part of this paper is to summarize the applications of the diagonalizable matrix such as the high power special matrix using eigenvalues to figure out determinant using eigenvalues and eigenvectors to figure out the matrix in reverse identifying the similarity between matrices and applications for many other aspects like vector space linear transformation and so on this paper can help readers understand the essence of the diagonalizable matrix distinction and links to different solutions in depth it therefore further cultivates the students divergent thinking and enhances their abilities of numeration as well key words matrix diagonalizable matrix sufficient and necessary condition application 矩阵对角化及其应用 目 录 第一章 前言 1 1 1 矩阵对角化及其应用的背景和意义 1 1 2 矩阵对角化及其应用的研究现状 1 1 3 论文的结构安排 2 第二章 矩阵的相关概念及定理 3 2 1 矩阵的相关概念 性质 3 2 2 矩阵的相关定理 4 2 3 矩阵的特征值与特征向量 5 2 4 矩阵的相关概念 6 第三章 矩阵对角化的条件及方法 7 3 1 特征值特征向量与矩阵对角化 7 3 2 相似变换与矩阵对角化 8 3 3 矩阵与对角化 11 第四章 矩阵对角化的应用 12 4 1 矩阵对角化在矩阵计算中的应用 12 4 1 1 矩阵对角化在方幂中的应用 12 4 1 2 矩阵对角化在开方中的应用 15 4 1 3 矩阵对角化在矩阵函数中的应用 16 4 2 利用特征值求行列式的值 17 4 3 矩阵对角化在解常微分方程中的应用 17 4 4 矩阵对角化在向量空间的应用 18 4 5 矩阵对角化在线性变换的应用 19 第五章 结论 20 参考文献 21 致 谢 22 声 明 23 矩阵对角化及其应用 1 第一章 前 言 1 1 矩阵对角化及其应用的背景和意义 线性代数以及高等代数是本科教学中很重要的一门课程 在高等代数中 矩 阵的理论与方法贯穿于行列式 线性方程组 线性空间 线性变换 二次型等各 个方面 高等代数的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理 同时 矩阵 也是许多其他数学分支和学科中研究问题的重要工具 因此归纳 总结 研究和 处理矩阵问题的各种方法 对解决多种线性代数问题有很大的意义 可对角化矩阵 即能够与对角矩阵相似的矩阵 作为一类特殊的矩阵 在理 论上和应用上都有着十分重要的意义 例如求方阵的高次幂 利用特征值求行列 式的值 由特征值和特征向量反求矩阵 判断矩阵是否相似 在向量空间 线性 变换等方面都有应用 同时也是实际工程中应用最为广泛的工具 在一般的线性代数和高等代数的教材中 对矩阵对角化都进行了较为详细的 介绍 但矩阵对角化的方法及其应用 在线形代数和高等代数教材中 解释的都 比较零散 因此对矩阵对角化方法及对角化矩阵的应用进行归纳和总结具有一定 的意义 对矩阵对角化的方法及其应用进行讨论 归纳 比较和总结是一件非常有意 义的事情 研究矩阵的对角化的方法 对具有不同性质的矩阵采取不同的方法 以便简 化对角化矩阵的过程 然后把矩阵对角化应用到解决矩阵的计算问题中去 简化 计算过程 降低计算难度 通过对矩阵对角化的方法及其应用进行总结和归纳 不仅可以加深对矩阵的 理解和认识 还能简便运算 在实际应用上得以利用 1 2 矩阵对角化及其应用的研究现状 在代数学的发展史上 矩阵一直都是人们所关注的重要内容 研究矩阵对角 化及其应用的论文比比皆是 其中不乏有很多对矩阵对角化及其应用有独到见解 和深度的论文 例如 从矩阵可对角化的充要条件上看 文献 1 把判断矩阵是否对角化的 问题与求它的特征向量的问题联系了起来 在矩阵的不同特征根较少时 这个方 法比较方便 文献 2 给出了数域 f 上 n 阶矩阵可对角化的一个充分必要条件 而文献 3 则是利用高等代数和近世代数的有关理论给出了矩阵可对角化的一个 矩阵对角化及其应用 2 充分必要条件 在矩阵可以对角化时 对矩阵对角化的方法也有很多种 文献 4 中 使用 一种区别于传统方法的矩阵对角化技巧 是利用矩阵的初等变换在求得特征根的 同时 求得各特征根所属的全部线性无关的特征向量 包括 1 有 n 个特征单 根的 n 阶可对角化矩阵的对角方法 2 有特征重根的可对角化矩阵的对角化方 法 文献 5 则是从线行变换的角度上 即线性变换的矩阵与线性变换所在空间的 基严格对应 然后转化为寻找合适的基 这个过程就是线性变换的相似对角化 在应用方面 文献 6 利用矩阵的对角化给出了两类数列的通项公式 文献 7 则对可对角化矩阵做出了较为全面的概括和分析 1 3 论文的结构安排 本论文是一篇综述型的论文 主要总结归纳了矩阵对角化的基本概念 性质 一些充要条件的判断及其应用等方面的知识 具体结构如下 在本文的第一章里 首先对涉及本论题的相关概念及背景知识做概括性的介 绍 并概述此问题的研究现状 第二章介绍的内容主要是矩阵的一些基础知识 是为后面的内容作一个铺垫 第三章和第四章是本篇论文的核心 第三章在矩阵 对角化的概念及条件上做了详细的讲解 其中包括很多种矩阵对角化的充要条件 比如利用矩阵几何重数与代数重数相等 矩阵的 n 个线性无关的特征向量等 第 四章是介绍矩阵对角化的应用 包括在线性代数 矩阵函数 微分方程等方面的应 用 矩阵对角化及其应用 3 第二章 矩阵的相关概念及定理 2 1 矩阵的相关概念 性质 8 定义定义 2 1 2 1 1 1 nm 个数 2 1 2 1 njmiaij 排成 m 行 n 列的数表 mnmm n n aaa aaa aaa a 21 22221 11211 称为nm 型的矩阵 记作 ij aa 或记作 nm a nmij a 数 ij a为矩阵 a 的第 i 行第 j 列的元素 其中 i 称为行标 j 称为列标 若 a 与 b 都是nm 型矩阵 则 称 a 与 b 是同型矩阵 定义定义 2 1 22 1 2 设矩阵 ij aa ij bb 都是nm 型的矩阵 a 与 b 的和记 作 a b 规定为 mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa ba 2211 2222222121 1112121111 定义定义 2 1 3 2 1 3 数 与矩阵 nmij aa 的乘积 记作a 或 a 规定为 nmij mnmm n n a aaa aaa aaa aa 21 22221 11211 定义定义 2 1 4 2 1 4 设矩阵 ij aa 是一个sm 型的矩阵 矩阵 ij bb 是一个 ns 型的矩阵 规定矩阵 a 与 b 的乘积是一个nm 型的矩阵 ij cc 其中 s k kjiksjisjijiij babababac 1 2211 i 1 2 m j 1 2 n 称矩阵 c 为矩阵 a 与 b 的乘积矩阵 记作 c a b 定义定义 2 1 5 2 1 5 设nm 型的矩阵 矩阵对角化及其应用 4 nm mnmm n n aaa aaa aaa a 21 22221 11211 把矩阵 a 的行换成同序号的列 得到一个mn 型的矩阵 mn nmnn m m aaa aaa aaa 21 22212 12111 称为 a 的转置矩阵 记作 t a 定义定义 2 1 6 2 1 6 设 a 是 n 阶方阵 由方阵 a 的元素按原来位置构成的行列式 nnnn n n aaa aaa aaa a 21 22221 11211 称为方阵 a 的行列式 记作a或 deta 定义定义 2 1 72 1 7 设 a 是 n 阶方阵 如果存在 n 阶方阵 b 使 ab ba e 则方 阵 a 是可逆阵 或称 a 可逆 称方阵 b 是 a 的逆阵 定义定义 2 1 82 1 8 如果线性空间中有 n 个线性无关的向量 而没有更多的线性无 关的向量 就称其是 n 维的 2 2 矩阵的相关定理 9 14 定理定理 2 2 2 2 1 设 a b c 是同型的矩阵 r 与 s 为数 则有 a a b b a b a b c a b c c a 0 a d r a b ra rb e r s a ra sa f r sa rs a 定理定理 2 2 22 2 2 设 a 为nm 矩阵 b c 的行数和列数使下列各式的乘积有定 义 a a bc ab c 乘法结合律 b a b c ab ac 乘法左分配律 矩阵对角化及其应用 5 c b c a ba ca 乘法右分配律 d v ab ra b a rb r 为任意数 e nm aiaai 矩阵乘法的恒等式 定理定理 2 2 2 3 2 3 设 a 与 b 表示矩阵 其行数和列数使下列和与积有定义 则 a aa tt b ttt baba c 对任意实数 r tt rara d ttt abab 定理定理 2 2 2 4 2 4 设 dc ba a 若0 bcad 则 a 可逆且 ac bd bcad a 1 1 若 ad bc 0 则 a 不可逆 定理定理 2 22 2 5 5 若 a 是可逆nn 矩阵 则对每一个 n r中的 b 方程 ax b 有唯 一解bax 1 定理定理 2 22 2 6 6 a 若 a 是可逆矩阵 则 1 a也可逆而且aa 11 b 若 a 和 b 都是nn 可逆矩阵 ab 也可逆 且其逆是 a 和 b 的逆矩 阵按相反顺序的乘积 即 111 abab c 若 a 可逆 则 t a也可逆 且其逆是 1 a的转置 即 tt aa 11 定理定理 2 2 72 2 7 nn 矩阵 a 是可逆的 当且仅当 a 行等价于 n i 这时把 a 变 为 n i的一系列初等行变换同时把 n i变成 1 a 2 3 矩阵的特征值与特征向量 8 定定义义 2 3 12 3 1 设 a 是数域 p 上一 n 级矩阵 如果对于数域 p 中一数 0 存 在一个非零 n 维向量 使得 0 a 那么 0 称为 a 的一个特征值 而 称为 a 的属于特征值 0 的一个特征向量 定定义义 2 3 22 3 2 设 a 是数域 p 上一 n 级矩阵 是一个数字矩阵ae 的行列 式 矩阵对角化及其应用 6 nnnn n n aaa aaa aaa ae 21 22221 11211 称为 a 的特征多项式 这是数域 p 上的一个 n 次多项式 定定义义 2 3 32 3 3 对于数域 p 上一 n 级矩阵 a 的任一特征值 0 全部适合条件 0 a 的向量 所成的集合 也就是 a 的属于 0 的全部特征向量再添上零向量所成的 集合 是 v 的一个子空间 称为 a 的一个特征子空间 记做 0 v 2 4 矩阵的相关概念 8 定义定义 3 3 13 3 1 一个矩阵 如果它的元素是 的多项式 即 p的元素 就称 为 矩阵 定义定义 3 3 2 3 3 2 下面的三种变换叫做 矩阵的初等变换 1 矩阵的两行 列 互换位置 2 矩阵的某一行 列 乘以非零的常数 c 3 矩阵的某一行 列 加另一行 列 的 倍 是一个多项式 定义定义 3 3 33 3 3 设 矩阵 a的秩为 r 对于正整数rkk 1 a中必有 非零的 k 级子式 a中全部 k 级子式的首选项系数为 1 的最大公因式 k d称 为 a的 k 级行列式因子 定义定义 3 3 43 3 4 标准形的主对角线上非零元素 21 r ddd 称为 矩 阵 a的不变因子 定义定义3 3 53 3 5 把矩阵a的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次 因式方幂的乘积 所有这些一次因式方幂 相同的必须按出现的次数计算 称为 矩阵 a 的初等因子 矩阵对角化及其应用 7 第三章 矩阵对角化的条件及方法 定义定义 3 3 1 1 1 1 10 设矩阵 n n a bf 若存在n阶可逆矩阵p 使 1 p apb 则称a相似b 若b为对角阵 即 1 2 n b 则称a可对角化 3 1 特征值和特征向量与矩阵对角化 8 15 定理定理 3 3 1 11 1 n阶矩阵a可对角化的充要条件是a有n个线性无关的特征向 量 但是判断特征向量的线性无关性计算量太大 又因为特征值与特征向量之间 的对应关系 所以可以将对特征向量的判断转换为特征值的判断 因此引出以下 两个定理 定理定理 3 1 23 1 2 若 n 阶矩阵 a 有 n 个不同的特征值 则 a 一定可以对角化 例 3 1 已知矩阵 25 43 a 试判定 a 是否可对角化 若可以对角化 求 可逆矩阵 t 使att 1 为对角阵 解 2 7 0 ae2 7 21 所以 a 可对角化 当 1 7 时 0 1 ae 基础解系 1 1 当 2 2 时 0 2 ae 基础解系 5 4 从而令 14 15 t 则att 1 为对角阵 即 20 07 51 41 51 41 1 a 定理定理 3 1 33 1 3 n 阶矩阵 a 可对角化的充要条件是 a 当且仅当特征子空间维数 之和为 n 矩阵对角化及其应用 8 例 3 2 已知矩阵 001 010 100 a 试判定 a 是否可对角化 若可以对角化 求可逆矩阵 t 使att 1 为对角阵 解 1 1110 321 2 ae 当1 时 0 xae 基础解系 0 1 0 1 0 1 21 1 dim2v 当1 时 0 xae 基础解系 1 0 1 3 2 dim1v 因为3dimdim 21 vv 即矩阵 a 的特征子空间维数之和等于其阶数 所以 a 可对角化 令 101 010 101 t 则att 1 为对角阵 100 010 001 3 2 相似变换与矩阵的对角化 11 12 对于一个n阶矩阵a 是否可以对角化 怎样获得相似矩阵p 在一般的教 材上都采用相当繁琐的解方程的方法来解决 其实仅需矩阵的乘法运算就可以判 定矩阵是否相似于对角阵 并在矩阵对角化的同时 简洁地构造出相似变换矩阵 p 完全无须解线性方程组 定理定理 3 3 2 2 1 1 设 12 s 为n阶矩阵a的全部相异特征根 其重数分别为 12 s n nn 1 s i i nn 则a相似于对角阵的充要条件是 1 0 s i i ea 定理定理 3 2 23 2 2 设 12 s 为 n 阶矩阵 a 的全部相异特征根 其重数分别为 12 s n nn 1 s i i nn 则a相似于对角阵的充要条件是 ji ij wea 的秩为 1 2 jj r wnjs 推论推论 3 2 13 2 1 设 12 s 为n阶矩阵a的相异特征根 重数分别为 12 s n nn 则矩阵 s ji ij wea 的列向量中有对应于 j 的 j n个线性无关的 特征向量 矩阵对角化及其应用 9 从定理 3 3 1 和定理 3 3 2 可以看出 矩阵对角化的判定以及求矩阵的线性 无关的特征向量可以归结为矩阵的乘法运算 设 tt aea 具体计算过程 归结如下算法 3 1 算法 3 1 step1 对 eat 作 初 等 变 换 化 为 pd 其 中 21 n ddddiagd 则a的特征值恰是0 21 n ddd 的 根 step2 如果a的特征值全在f内 且对每个 i 有 i d 中零行数目 i 的 重数 则a可以对角化 否则 a不可以对角化 step3 对 于 每 个 i 在 i p 中 取 出 与 i d 中 零 行 对 应 的 行 向 量 t im t i t i ppp 21 得a属于 i 的线性无关的特征向量 step4若a可以对角化 作可逆矩阵 t m t s t s t m tt s ppppppt 2111211 1 则 2211 1 sse eediagatt i e为单位阵 例 3 2 判断下列矩阵可否对角化 若可以 求可逆矩阵 t 使att 1 为对 角阵 1 110 111 110 a 2 163 222 123 a 解 1 100111 11020 0110 100111 010111 00101 2 eat 11020 11110 100001 11020 11110 100111 2 2 132 1 00 111010 100001 22 矩阵对角化及其应用 10 故 a 的特征值为0 1 1 2 2 重根 因为 d 1 中的零行数为 1的重数 2 所以 a 不可以对角化 2 3012420 2104220 100121 100121 010622 001323 2 eat 321 4 2 420 210020 100001 3012420 2104220 100001 2 121 4 2 00 210020 100001 故 a 的特征值为2 1 2 重根 4 2 又 d 2 中零行数 1 2 的重数 d 4 的零行数 2 1 的重数 故 a 可以对角化 且由 321000 210000 100001 2 2 pd 可读出 t 2 1 0 t 3 2 1 是 a 属于 2 的线性无关的特征向量 由 321000 210060 100001 4 4 pd 得 t 3 2 1 是 a 属于 4 的现行无关的特征向量 令 332 221 110 t 则 4 2 2 1at t 矩阵对角化及其应用 11 3 3 矩阵与矩阵对角化 8 13 矩阵可以进行加减乘除及多项式乘以矩阵的运算 其运算法则则与数字 矩阵的相应运算法则相同 并有类似的运算性质 由 n 级单位矩阵 e 经过一次 矩阵的初等变换得到的矩阵称为初等 矩 阵 共三类 1 jip 交换 e 的 i j 两行 列 所得的初等 矩阵 2 kip 用0 k乘 e 的第 i 行 列 所得的初等 矩阵 3 jip 将 e 的第 i 行加上第 j 列的 倍 或第 j 列加上第 i 列的 倍 所得的初等 矩阵 定理 3 3 1 复数矩阵 a 与对角矩阵相似的充分必要条件是 a 的初等因子 全为一次的 定理 3 3 2 复数矩阵 a 与对角矩阵相似的充分必要条件是 a 的不变因子 都没有重根 例 3 3 1 已知矩阵 3104 252 373 a 判断矩阵是否可对角化 解 124 002 12 3 3104 252 373 2 2 1 ae 100 0 1 1 0 001 1 12 0 12 0 001 120 12 0 001 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 00 010 001 2 于是 a 的不变因子为 1 21 dd 1 1 1 232 3 d 而 a 的初等因子为 ii 1 所以 a 可对角化 矩阵对角化及其应用 12 第四章 矩阵对角化的应用 4 1 矩阵对角化在矩阵计算中的应用 7 12 14 4 1 1 矩阵对角化在方幂中的应用 一般说 求矩阵的高次幂比较困难 但若矩阵 a 能相似与对角矩阵 a 可对 角化 即若存在可逆矩阵 p 使得bapp 1 其中 b 是对角阵则 1 pbpa 11111 ppbpbppbppbppbpa nnn 而对角阵 b 的 n 次幂是由各对 角元素的 n 次幂组成 所以可通过 a 的相似对角阵来求 n a 例 4 1 设某城市共有 30 万人从事农 工 商工作 假定这个总人数若干 年内保持不变 而社会调查表明 1 在这 30 万就业人员中 目前约有 15 万人从事农业 9 万人从事工业 6 万人从事商业 2 在从农人员中 每年约有 20 改为从工 10 改为经商 3 在从工人员中 每年约有 20 改为从农 10 改为经商 4 在从商人员中 每年约有 10 改为从农 10 改为从工 现欲预测一 二年后从事各业人员的人数 以及经过多年之后 从事各业人员总 数之发展趋势 解 若用 3 维向量 i x表示第 i 年后从事这三种职业的人员总数 则已知 6 9 15 0 x而欲求 1 x 2 x并考察在 n时 n x的发展趋势 引进 3 阶矩阵 ij aa 用以刻画从事这三种职业人员间的转移 例如 1 0 23 a表明每年有 10 的从工人员该去经商 于是有 8 01 01 0 1 07 02 0 1 02 07 0 a 由矩阵乘法得 2 7 9 9 9 12 001 axxax t 04 8 23 10 73 11 0212 xaaxx 所以 01 xaaxx nnn 要分析 n x就要计算 a 的 n 次幂 n a 可先将 a 对角化 矩阵对角化及其应用 13 5 0 7 0 1 8 01 01 0 1 07 02 0 1 02 07 0 ea 故由5 0 7 0 1 321 分别求出对应的特征向量 321 qqq 令 321 qqqq 则有 1 qbq 从而有 1 qqba nn 再由 0 xax nn 5 000 07 00 001 b n nn b 5 000 07 00 001 可知 n时 n b将趋于 000 000 001 故知 n a将趋于 1 000 000 001 qq 因而 n x将趋于一确定常量 x 因而 1 n x亦必 趋于 x 由 1 nn axx知 x必满足 axx 故 x是矩阵 a 属于特征值 1 1 的特征向量 t t t tx 1 1 1 t t t 3t 30 t 10 照此规律转移 多年之 后 从事这三种职业的人数将趋于相等 均为 10 万人 例 4 2 设矩阵 111 242 335 a 求 n a 解 本题中的矩阵是一个可对角化矩阵 因此可以使用下列方法 求出可逆矩 阵p 使 1 p apb 是对角矩阵 因为对角矩阵的幂很容易求出 而 1nn bp a p 故 1nn apb p 由此可得到结果 先求出a的特征值 2 2 6 ea 因此 a 的特征值为 2 2 6 对特 征 值2 解 线 性 方 程 组 2 0ea x 得 到 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 1 10 101 tt 同理对特征值6 求得特征向量 123 t 因此a 有完全的特征向量系 必可对角化 且 111 102 013 p 1 2 2 6 bp ap 故 矩阵对角化及其应用 14 nnnnnn nnnnnn nnnnnn nn ppba 6263236323 622262262 2662625 4 1 1111 例 4 3 下列级数称为 fibonacci 级数 0123456 0 1 1 2 3 5 8 aaaaaaa 通项用递推式表示为 21nnn aaa 现要求 fibonacci 级数通项的显式表达 式 这是初等数学中的一个著名问题 用初等方法来求通项表达式不是一件容易 的事 现在我们用矩阵对角化方法可以很轻松地求得答案 解 首先我们用矩阵来表示递推式 1 1 11 10 nn nn aa aa 令 11 10 a 则 1112 120 1 0 nnnnn nnn aaaa aaaa aaaa 只要求出 n a就可以算出 n a来 a的特征多项式为 2 1ea 解得 12 1515 22 对应与特征值 12 的特征向量分别是 12 1515 22 11 若记 1515 22 11 p 则 1 15 0 2 15 0 2 p ap 因此 11 1515 00 22 1515 00 22 n n appapp 矩阵对角化及其应用 15 经计算得 11 11 15151515 2222 1 5 15151515 2222 nnnn n nnnn a 由此得 11 11515 225 nn n a 例 4 4 计算 n 阶行列式 2 0 4 ab cab cab bcabc cab ca 解 这个行列式的特点是主对角线上的元素全是a 上次对角线上的元素全 是b 下次对角线的元素全是c 其余元素为0 按第一行展开得 12nnn dadbcd 由上式得 1 12 10 nn nn ddabc dd 令 10 abc a 则 2 122222 1231 nnnnn nnn ddddabc aaaa dddda 因为 2 4abc 所以a可对角化 只要求出 2n a 可以了 4 1 2 矩阵对角化在开方中的应用 例 4 5 已知 532 644 445 a 求 b 使得 2 ba 解 先求a的特征根 532 644 1 2 3 445 ea 矩阵对角化及其应用 16 特征根 1 1 2 2 3 3 a可对角化 取 111 212 102 p p 的列向量是1 2 3 所对应的特征向量 则 1 221 210 111 p 则 111 11 1 222 3 33 apppppp 所以 1 122 2322313 242 22 3422 322 3 322 322 312 3 bpp 4 1 3 矩阵对角化在矩阵函数中的应用 例 4 6 已知 460 350 361 a 求 at e cosa 解 可求的 2 det 2 1 ia 即 a 的特征值为 1 2 23 1 对应 1 2 的特征向量为 1 1 1 1 tp 对应 23 1 的两个线性无关的特征向 量为 2 2 1 0 tp 3 0 0 1 tp 于是 120 110 101 p 使得 1 2 1 1 p ap 故 222 122 22 2220 20 22 ttttt atttttt tttttt eeeee epepeeee eeeeee 1 cos 2 coscos1 cos1 app 矩阵对角化及其应用 17 2cos1 cos22cos1 2cos20 cos2cos12cos2cos10 cos2cos12cos22cos1cos1 4 2 利用特征值求行列式的值 例4 7 设n阶实对称矩阵a满足aa 2 且a的秩为r 试求行列式ae 2 的值 解 设0 xxax 是对应于特征值 的特征向量 因为aa 2 则 xxaaxx 22 从而有0 2 x 因为0 x 所以0 1 即1 或 0 又因为 a 是实对称矩阵 所以 a 相似于对 角矩阵 a 的秩为 r 故存在可逆矩阵 p 使得b e app r 00 0 1 其中 r e是 r 阶单位矩阵 从而 rn rn r e e bepbpppae 2 20 0 222 11 4 3 矩阵对角化在解常微分方程中的应用 例 4 8 求解线性微分方程组 1 11 11221 2 21 12222 1 122 nn nn n nnnnn dx a xa xa x dt dx a xa xa x dt dx a xa xa x dt 4 1 解 令 1 2 n x x x x 1 n dx dt dx dt dx dt 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa a aaa 则方程 1 的矩阵形式为 dx ax dt 4 2 矩阵对角化及其应用 18 若a可对角化 即存在可逆矩阵p使得 1 12 n p apdiag 令xpy 4 3 其中 12 t n yy yy 把 3 代入 2 中得 dpy apy dt 即 dy papy dt 4 4 以 1 p 左乘 4 式两端得 1 dy p apyy dt 4 5 因此 1 11 2 22 n nn dy y dt dy y dt dy y dt 经过积分得 12 1122 nt tt nn yc eyc eyc e 代入 4 3 求得微分方程组的解 12 n x xx 4 4 矩阵对角化在向量空间的应用 例 4 9 设 v 是 n 维列向量空间 a 是 n 阶复矩阵 a 是任一复数 令 vaaew 1 0 2 aaevw则若 a 相似于对角阵 有 0 21 ww 证明 对任意 210 wwx 有 0 aaex 和0 0 xaae 所 以0 2 aae 又 因 为 a 相 似 于 对 角 阵 0 0 xaae与 0 2 aae的解空间相同 所以 2 0aae 和 0 0xaae 所以 0 21 ww 矩阵对角化及其应用 19 4 5 矩阵对角化在线性变换的应用 例 4 10 设 1 nxp n 为数域 p 上次数小于 n 的多项式及零多项式的全 体