空间向量与立体几何　空间向量的数乘运算.doc

31.2空间向量的数乘运算知识点一空间向量的运算 已知ABCDABCD是平行六面体.(1)化简 (2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCCB对角线BC上的分点,设,试求,的值.解 (1)方法一取AA的中点为E,则又取F为DC的一个三等分点(DF=DC),则DF=+ +=+ + =方法二取AB的三等分点P使得,取CC的中点Q,则+ +=(2)= = =，.【反思感悟】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法如图所示,平行六面体A1B1C1D1-ABCD，M分成的比为，N分成的比为，N分成的比为2，设a，b，c，试用a、b、c表示，解 = (ab)c(cb)abc知识点二共线问题设空间四点O，A，B，P满足其中m+n=1，则（）A点P一定在直线AB上B点P一定不在直线AB上C点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.与与的方向一定相同答案A解析已知m+n=1，则因为 0.所以和共线，即点A，P，B共线，故选A.【反思感悟】（1）考察点P是否在直线AB上，只需考察与是否共线；（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明与是否共线.已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，求+的值.解A、B、P三点共线，由共线向量知，存在实数t，使=t由=，=代入得：；又由已知，1t，t，1.知识点三共面问题已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH.证明 (1)由已知得EF綊HG，,不共线，共面且有公共点G，E，F，G，H四点共面.（2）与不共线，共面由于BD不在平面EFGH内，所以BD平面EFGH.【反思感悟】利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化用向量法证明：空间四边形ABCD的四边中点M，N，P，Q共面证明AMQ中,= CNP中, = 所以,所以M,N,P,Q四点共面.课堂小结：1向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说ab时，也具有同样的意义(2)“共线”这个概念具有自反性aa，也具有对称性，即若ab，则ba.(3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上或即可也可用“对空间任意一点O，有t(1t)”来证明三点共线2向量共面的充要条件的理解xy.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有(1t)xyz，且xyz1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据课时作业一、选择题1下列命题中是真命题的是()A分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C.若向量满足|，且与同向，则 D.若两个非零向量与满足+ =0，则答案D解析A错因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面B错因为|a|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种写法D对. +=0,=，与共线，故，正确.2满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )ABCD|答案C3在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )A2 BC0D0答案C解析若有xy，则M与点A、B、C共面，或者xyz且xyz1，则M与点A、B、C共面，A、B、D三项不满足xyz1，C项满足xy，故选C.4已知向量a与b不共线，则a，b，c共面是存在两个非零常数，使cab的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析验证必要性时，当a，b，c共面且ac(或bc)时不能成立，不能使，都非零5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量是（）A有相同起点的向量B等长向量C共面向量D不共面向量答案C解析如图所示，因为而,，即,而与不共线，所以，三向量共面.二、填空题6已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有2，则_.答案2解析P与不共线三点A，B，C共面，且xyz(x，y，zR)，则xyz1是四点共面的充要条件7三个向量xayb，ybzc，zcxa的关系是_(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)答案共面解析因xayb，ybzc，zcxa也是三个向量，且有zcxa(ybzc)(xayb)所以三向量共面8.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若a,B = b,则等于_答案ab三、解答题9 如图所示，E，F，G，H分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点求证：(1)E，F，D，B四点共面；(2)平面AEF平面BDHG.证明（1）,共面且具有公共点E，E，F，D，B四点共面.(2)E，F，G，H分别是A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点，EFGH，AFBG，EF平面BDHG，AF平面BDHG，又AFEFF，平面AE