高中数学 2.2 三角形中的几何计算同步课件 北师大版必修5.ppt

1 用正弦定理 余弦定理等知识 方法解决一些三角形几何计算问题 重点 2 在理解题意的基础上将实际问题数学化 难点 3 利用正 余弦定理进行边角互化及正 余弦定理与有关性质的综合应用是本节课的难点 难点 易混点 一 正 余弦定理可解决的问题1 正弦定理可解决的两类问题 1 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形 2 已知三角形的两角和任一边解三角形 2 余弦定理可解决的两类问题 1 已知三角形的两边和它们的夹角解三角形 2 已知三角形的三边解三角形 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形 能用余弦定理解决吗 提示 可行 例如在 abc中 已知a b和a解三角形 可以根据余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa列出关于c的一元二次方程求c 关于三角形中的几何计算 三角形中几何计算问题 主要是利用正 余弦定理求三角形的边长 面积 角度等问题 正弦定理和余弦定理的应用并不是孤立的 解题时要根据题目条件合理选用 有时还要交替使用 三角形中的几何计算问题有时还要和三角函数联系起来 二 三角形面积公式1 s ha hb hc分别表示a b c边上的高 2 s absinc bcsina acsinb3 s r a b c r为内切圆半径 4 s p 为三角形的半周长 三角形中与长度有关的问题三角形中与长度有关的问题的求解思路解决三角形中与长度有关的问题 若在一个三角形中 则直接利用正 余弦定理求解即可 若所求的线段在多个三角形中 要根据条件选择适当的三角形 再利用正 余弦定理求解 方程思想是求解长度问题常用的思想方法 例1 在 abc中 ab 5 ac 4 d为bc中点 且ad 4 求bc边长 审题指导 设bc边长为x 因为d为bc中点 则bd dc可表示为 利用余弦定理建立关于x的方程 然后再利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程求解 规范解答 设bc边长为x 则由d为bc中点 可得bd dc 在 adb中 cos adb 在 adc中 cos adc 又 adb adc 180 cos adb cos 180 adc cos adc 解得 x 所以 bc边长为 互动探究 在本例中 若把条件ac 4改为bd 2 其他条件不变 求ac边长 解析 由题意可得cos adb 又 adb adc cos adc cos adb 根据余弦定理得ac2 ad2 dc2 2ad dccos adc 16 4 2 4 2 15 ac 三角形中与面积有关的问题三角形面积公式的应用 1 三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求 或三角形中哪个角的正弦值可求 2 在解决三角形问题时 面积公式s absinc acsinb bcsina最常用 因为公式中既有角又有边 容易和正弦定理 余弦定理联系起来 解题时要准确把握条件 合理选择面积公式 例2 在 abc中 已知tanb cosc ac 求 abc的面积 审题指导 本题可利用正弦定理和三角公式进行恒等变换求c a 再利用三角形面积公式s abc bcsina求解 规范解答 设ab bc ca的长分别为c a b 由tanb 得b 60 sinb cosb 又sinc 应用正弦定理 sina sin b c sinbcosc cosbsinc 故所求面积s abc 变式训练 在 abc中 a 2 c 求 abc的面积s 解析 由题意 得cosb 2cos2b为锐角 sinb sina sin b c sinbcos cosbsin 由正弦定理得c s 三角形中的综合问题解三角形综合问题的方法 1 三角形中的综合应用问题常常把正弦定理 余弦定理 三角形面积公式 三角恒等变换等知识联系在一起 2 此类问题常以三角形为载体 以正 余弦定理 三角形面积公式为工具综合考查 解题时要正确 翻译 题目条件 选择合适的公式或定理 例3 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 设s为 abc的面积 满足s a2 b2 c2 1 求角c的大小 2 求sina sinb的最大值 审题指导 利用面积公式求角c 再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式化简求最大值 规范解答 1 由题意可知 2abcosc 所以tanc 因为0 c 所以c 2 由已知sina sinb sina sin a sina sin a sina sin a 0 a 当a 时 即 abc为等边三角形时取等号所以sina sinb的最大值为 变式训练 abc中 d为边bc上的一点 bd 33 sinb cos adc 求ad 解题提示 由已知可得cosb 利用两角差的正弦公式可得sin bad 在 abd中用正弦定理求ad 解析 由cos adc 0知 b 由已知得cosb sin adc 从而sin bad sin adc b sin adccosb cos adcsinb 由正弦定理得所以ad 25 例 已知 abc的角a b c所对的边分别是a b c 设向量 a b sinb sina b 2 a 2 1 若 求证 abc为等腰三角形 2 若 边长c 2 角c 求 abc的面积 审题指导 1 由可推出asina bsinb 进而可证结论 2 由可知 0 而要求s abc只需求出ab 规范解答 1 asina bsinb 即 其中r是 abc外接圆半径 a2 b2 a b abc为等腰三角形 2 由题意可知 0 即a b 2 b a 2 0 a b ab 由余弦定理可知 4 a2 b2 ab a b 2 3ab 即 ab 2 3ab 4 0 ab 4 舍去ab 1 s 变式备选 在四边形abcd中 bc a dc 2a 四个角a b c d的度数之比为3 7 4 10 求ab的长 解析 设四个角a b c d的度数分别为3x 7x 4x 10 x 则有3x 7x 4x 10 x 360 解得x 15 a 45 b 105 c 60 d 150 连结bd 在 bcd中 由余弦定理得 bd2 bc2 dc2 2bc dc cosc a2 4a2 2 a 2a 3a2 bd 此时 dc2 bd2 bc2 bcd是以dc为斜边的直角三角形 cdb 30 bda 150 30 120 在 abd中 由正弦定理得 ab ab的长为 典例 12分 在 abc中 若ab ac 试求cosa cosb cosc的取值范围 审题指导 用余弦定理可把原式化成 边 的形式 又ab ac 即b c b c 则可进一步转化为以为自变量的二次函数 规范解答 用a b c分别表示角a b c所对的边 由题意得b c b c 2分由余弦定理得cosa cosb cosc 4分 1 6分 由于b c a 即2b a 所以0 2 8分于是1 10分所以cosa cosb cosc的取值范围是 1 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 如图 a b是单位圆o上的动点 c是单位圆与x轴正半轴的交点 设 coa 1 当点a的坐标为时 求sin 的值 2 当0 且当点a b在圆上沿逆时针方向移动时 总有 aob 试求bc的取值范围 解析 1 a点坐标为 根据三角函数定义知x y r 1 sin 2 aob coa cob 由余弦定理得bc2 oc2 ob2 2oc obcos boc 1 1 2cos 2 2cos 0 1 2 2cos 2 即1 bc2 2 亦即1 bc bc的取值范围是 1 1 abc的三边满足a2 b2 c2 ab 则此三角形的最大内角为 a 150 b 135 c 120 d 60 解析 选a a2 b2 c2 a2 b2 c2 角c是 abc中的最大角 由余弦定理有cosc c 150 故选a 2 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍 那么它的顶角的余弦值为 a b c d 解析 选d 设等腰三角形的底边为a 顶角为 则腰长为2a 由余弦定理得cos 3 在 abc中 已知bc 3 ab 10 ab边上的中线为7 则 abc的面积为 解析 如图 设d为ab的中点 则在 bcd中 由余弦定理得cosb 所以b 120 s abc 答案 4 在 abc中 已知bc 8 ac 5 三角形面积为12 则cos2c 解析 由三角形面积公式 得bc ca sinc 20sinc 12 即sinc 于是cos2c 1 2sin2c