（控制理论与控制工程专业论文）多变量建模技术的研究.pdf

摘要 多变量建模技术的研究 摘要 当前，单变量控制已经难以满足实际生产的需要，因此广泛开 展了多变量控制的研究。而要对多变量系统进行控制，尤其是实施一 些先进控制算法，如内模控制，预测控制都是基于模型的，所以知道 系统的模型是实施多变量控制的前提。本论文就是研究多变量系统的 建模技术。 首先讨论了多变量系统建模技术的发展与成果，比较了现有各 种多变量建模技术的优缺点。传统的辨识算法在由单变量扩展到多变 量时，复杂度会增加很多，主要表现在多变量模型结构的确定上。子 空间辨识算法是一种比较新的辨识算法，这种辨识算法基于状态空间 模型，因此模型结构比较简单，只需要确定模型的阶次。而且多变量 辨识与单变量辨识并没有区别，因此本文主要对这种算法进行研究。 已经存在很多成熟的子空间辨识算法如n 4 s i d ，m o e s p ，c v a ， 本论文在统一的框架内讨论了这些算法，把它们看作是不同加权矩阵 的奇异值分解。 大部分子空间辨识算法不能应用于变量有误差，也就是 e r r o r s i n v 撕a b l e ( e i v ) 情况下，所以专门研究了基于e i v 结构的子空 问辨识算法。基于e i v 结构，研究了两种子空间辨识算法，主元分析 算法和正交投影算法。从仿真结果可以看出，这两种算法在e i v 情况 北京化 t 大学顿j ：学位论义 下，辨识结果是无偏的。 一般子空问辨识算法零点辨识效果比较差，本文分析了出现这 种情况的可能原因，并讨论了一种改进的算法。从仿真结果可以看出， 这种算法在零点辨识效果上明显优于其它的子空间辨识算法。 大多数的工业过程都是反馈系统的一部分，为了经济和安全的 原因，这个反馈又不能切断。因此本文对子空问的闭环辨识进行了研 究。主要分析了基于e i v 的子空间辨识算法为什么不能应用于闭环辨 识，并给出了改进的方法。从仿真结果可以看出，改进的算法在闭环 时辨识结果是无偏的。 关键词：多变量系统建模子空间辨识变量有误差主元分析正交投 影闭环辨识 i l a b s t r a c t s t u d y o fm u l t i v a r i a b l es y s t e m m o d e l i n g t e c h n i q u e a b s t r a c t a tp r e s e n t ，s i n g l ev a r i a b l ec o n t r o lh a sb e e na l r e a d yd i f f i c u l tt om e e t d e m a n d so fa c t u a lp r o d u c t i o n ，s oh a sl a u n c h e dt h er e s e a r c ho nm u t t i v a r i a b l e c o n t r o le x t e n s i v e l y i fw ew a n tt oc o n t r o lm u l t i v a r i a b l es y s t e m ，e s p e c i a l l y c a r r y i n go u ts o m ea d v a n c ec o n t r o la l g o r i t h m ss u c ha si n t e r n a lm o d e lc o n t r o l a n dp r e d i c t i v ec o n t r o lt h a ta r eb a s e do nm o d e l ，s y s t e mm o d e li sp r e r e q u i s i t e t h i sp a p e ri st os t u d yt h et e c h n i q u eo fm u l t i v a r i a b l es y s t e mm o d e l i n g t h ed e v e l o p m e n ta n da c h i e v e m e n to fm u l t i v a r i a b l es y s t e mm o d e l i n g t e c h n o l o g ya r ed i s c u s s e da tf i r s t ，a n dt h e nt h eb e n e f i ta n dd e f i c i e n to ft h e e x i s t i n gm o d e l i n gm e t h o d sa r ec o m p a r e d c o m p l e x i t yo ft h et r a d i t i o n a l a l g o r i t h m w i l li n c r e a s eal o tw h e ne x p a n d e df r o ms i n g l ev a r i a b l et o m u l t i v a r i a b l e ，m a i n l yb e c a u s eo ft h ed e c i s i o no ft h es t r u c t u r eo fm u l t i v a r i a b l e s y s t e m s u b s p a c ei sak i n do fn e wi d e n t i f i c a t i o na l g o r i t h mt h a tb a s eo nt h e s t a t es p a c em o d e l s om o d e ls t r u c t u r ei ss i m p l ea n do n l yn e e dt ok n o wt h e s y s t e mo r d e r a n dt h e r ei sn od i f f e r e n c ew h e na p p l i e do ns i n g l ev a r i a b l ea n d m u t t i v a r i a b l es y s t e m s ot h i st e x tc a r r i e so nr e s e a r c ht ot h i sk i n do fa l g o r i t h m m a i n l y 北京化工大学硕士学位论文 t h e r ea r ea l r e a d ym a n ym a t u r es u b s p a c ei d e n t i f i c a t i o na l g o r i t h ml i k e n 4 s i d ，m o e s p , c v a t h i st h e s i sh a sd i s c u s s e dt h e s ea l g o r i t h m si nt h e u n i f i e df r a m ea n dt h e ya r er e g a r d e da ss i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s eo fd i f f e r e n t w e i g h t i n gm a t r i x m o s ts u b s p a c e a l g o r i t h m s c a n tb e a p p l i e dt o t h ee h - 0 r s i n v a r i a b l e s i t u a t i o n ，s ow es p e c i a l i z ei nt h es t u d yo fs u b s p a c eb a s e do ne i vs t r u c t u r e u n d e re i vs t r u c t u r e ，w e i n v e s t i g a t e t w o a l g o r i t h m s t h a ta r e p r i n c i p a l c o m p o n e n ta n a l y s e sa l g o r i t h ma n do n h o g o n a lp r o j e c t i o na l g o r i t h m f r o m t h es i m u l a t i o nr e s u l tw ec a nf i n dt h a tt h et w o a l g o r i t h m sg i v ec o n s i s t e n tm o d e l e s t i m a t ei nc a s eo fe i v g e n e r a ls u b s p a c e a l g o r i t h mh a v eb a de s t i m a t i o no f z e r op o i n t ，t h i st e x t h a sa n a l y z e dt h ep o s s i b l er e a s o na n dd i s c u s s e dak i n do f i m p r o v e da l g o r i t h m w ec a nf i n df r o mt h es i m u l a t i o nr e s u l tt h a tt h i sk i n do f a l g o r i t h mi so b v i o u s l y s u p e r i o rt oo t h e rs u b s p a c ea l g o r i t h mo nt h er e s u l to f t h ez e r op o i n te s t i m a t i o n m o s ti n d u s t r i a lp r o c e s s e sa r eap a r to ft h ec l o s e d l o o ps y s t e m f o rt h e r e a s o no fs e c u r i t ya n de c o n o m yt h a tc a n tb ec u to f f s ow es t u d yt h e c l o s e d - l o o pi d e n t i f i c a t i o np r o b l e mo fs u b s p a c e m a i n l yd i s c u s sw h yt h e a l g o r i t h m s b a s e do ne i vs t r u c t u r ec a n tb e a p p l i e d t o c l o s e d l o o p i d e n t i f i c a t i o na n dg i v ei m p r o v e dn e wa l g o r i t h m f r o mt h es i m u l a t i o nr e s u l t w ec a nf i n dt h a tt h ei m p r o v e da l g o r i t h mg i v e sc o n s i s t e n tm o d e le s t i m a t eu n d e r c l o s e d - l o o ps i t u a t i o n v a b s t r a c t k e yw o r d s ：s u b s p a c ei d e n t i f i c a t i o n ，e r r o r s - i n - v a r i a b l e ，m u l t i v a r i a b l es y s t e m m o d e l i n g ，p r i n c i p l ec o m p o n e n ta n a l y s i s ，o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n ，c l o s e d l o o p i d e n t i f i c a t i o n 、， 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：纠塑墟 日期：竺! 亘m h ( 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名：划盈选日期： 导师签名： 如o f o e l o ( 日期：旦五继碰宣 耋i ；呛 第一章绪论 当前，生产现场控制回路8 5 以上采用单回路p i d 控制，而实际过程中，各 个单回路之间往往是相互关联的，某个回路的调节必将影响到其它的回路，此时采用 单变量p i d 控制，虽然在一定程度l 可以稳定生产，但难以改善全系统各相关回路的 总体性能。为了改善返一状况，当前广泛开展了多变量系统在线控制的研究，刘耦台 的多变量系统进行闭环控制。而要对多变量系统进行控制，尤其是一些先进控制算 法比如内模控制，预测控制都是基于模型的。因此多变量系统的建模就成为实施这些 多变量控制的前提，本论文就针对多变量建模技术进行研究分析。 1 1 、系统模型与系统辨识 1 1 1 系统模型 虽然实际系统在机理上各有1 i 同，但儿乎都能够用图( 1 1 ) 所示的动态系统模型来 描述。 图1 1 系统的动态模型 f i g l ld ”锄i cm o d e 】0 f s y 3 t e m 为了表示系统在研究问题下的特性，可以采用不同的描述模型来说明，如直觉模 型、物理模型、图表模型及数学模型等，其中数学模型以其能够精确地反映系统的输 入输出关系，客观地反映系统内在规律的定量关系而得到广泛地研究和应用。 系统的数学模型以数学结构的形式抽象地刻画出实际系统本质的行为特征。常用 的数学模型有代数方程，微分方程，差分方程和状态方程等，这些不同的数学模型被 应用于系统的仿真，分析、监测、预报、优化、故障诊断、系统设计、生产质量控制 和操作人员培训等。尤其是在那些实验费用太昂贵实验场合太危险或实验过程太困 难，甚至不可能的场合，数学模型的作用更显突出。 难，甚至不可能的场合，数学模型的作用更显突出。 北京化工人学顿i 学位论文 系统及其模型能分为许多不同的类型，如线性或非线性、时变或非时变、离散或 连续时问、具有集中或分布参数的系统或模型等等，而最常用的是线性时不变具有集 中质量的模型，它能够较好地近似描述相当部分实际系统的输入输出过程。 l 。1 2 系统的建模 建立系统模型的方法通常有两种：理论建模和辨识建模。 理论建模是从己知的原理，定律和定理出发，通过机理分析研究，找出系统内在 的运动规律，推导出系统中各种参数与外作用之间的解析关系也就是数学模型。由于 这类问题的基本规律已知，工程中也称其为“白箱”( w 1 1 i t eb o x ) 方法，白箱方法仅适 用于简单系统的建模，因为对于较为复杂的系统，要给出符合实际情况的合理假设有 时是十分困难的，同时模型的复杂性也会随系统迅速增加。在一些系统中，遇到的问 题可能是已知系统满足的某些基本定律，而有些机理并非完全清楚，如由系统特性和 运动规律能够推断出系统的数学模型形式，而仅需对模型中的未知参数加以确定，这 实际是一个参数估计的问题，此即所谓的狄箱( g r c y b o x ) 建模方法。 现实中的系统往往都具有一定的因果关系，即在系统受到输入激励时便会产生相 关的输出响应，而这些激励与响应信号一般总是可以测量的，辨识建模就是直接从系 统运行或试验中测得的数据，推算出系统的关系式数学模型。这类方法适用于系 统客观规律不清楚的情况，故称其为“黑箱”( b l a c kb o x ) 方法。在这种方法中，首先 需要定义模型的参数表达式，然后选用一定的辨识方法确定出模型中的参数，该模型 应能准确地“解释”实验记录数据，即模型结果与实验数据应当尽可能她一致。 系统辨识为理论建模提供了一种很具工程价值的替代选择。与由理论分析获耿的 模型相比较，系统辨识模型仅具有限的有效性和适用范围，而且在一些情况中也不具 有直接的物理意义。但是，这些模型的获取相对容易，使用较为方便，有时作用更明 显，例如应用这些简单的模型可使基于模型的控制系统设计在数学上和实践上均成为 可能。当然实用中还需解决一些问题，诸如选择合适的模型结构，系统的时变性考虑 及经常被忽视的测量问题( 选择合适的传感器、采样时间、滤波问题等等1 。 1 1 3 系统辨识的发展 系统辨识的先导性工作可追溯到1 6 世纪德国天文学家开普勒从火星观测数据， 发现行星运动三大规律从而建立了行星运动的一种数学模型；1 8 世纪德国数学家高斯 开创性地提出的最小二乘法，奠定了系统辨识中参数估计方法的基石。现代控制理论 和电子数字计算技术的蓬勃发展，为通过试验数据建立数学模型的系统辨识学科提供 了理论和技术上的基础。 绪论 系统辨识的研究真正开始于本世纪7 0 年代，并在这一时期出现了研究高潮，3 0 多年的研究取得了大量的成果，并成功的得到应用。系统辨识在实践中涉及如何合理 的安排试验，如何选择试验信号，如何测量和收集数据，如何进行实时验证等问题。 在理论上涉及模型的参数化和可辨识性，动态系统参数估计的优良性，参数估计和计 算方法的改进等问题。正因如此，系统辨识成为目前相当活跃的学科之一，吸引了众 多的科技人员在这一领域的各个方面，对其理论进行研究，并探讨在不同的实践中应 用的可能 1 2 多变量系统辨识的发展 多变量系统( m i m o ) 的辨识和单变量系统( s i s o ) 的辨识相比，多变量系统的 辨识要复杂的多。随着工程实践的需要和控制理论的发展，以及许多复杂的工业系统， 社会以及经济系统实际上都是结构复杂的多变量系统，多变量系统辨识的问题受到人 们越来越多的重视。 1 2 1 多变量系统辨识的发展与应用现状 多变量系统的结构及参数辨识与单变量系统相比是很麻烦的，但由于多变量系统 在工程实践中的重要性，人们从各种角度去探讨其结构及参数的辨识。多变量系统 ( m i m o ) 的辨识是6 0 年代末建立和发展起来的，在1 9 6 9 年g o p i n a t h 开始研究通过线 性时不变多变量系统的输入输出数据来辨识多变量系统模型。此后，b u d i n 在1 9 7 1 年 和1 9 7 2 年f 2 】【3 1 ，p 丛s e r i 在1 9 7 2 年【4 】和g u p t a 在1 9 7 4 年【5 l 均采用状态空阈模型来研究多变 量系统辨识。但是由于状态空间模型辨识在当时仅限于观测值是无噪声的，而且用它 来辨识多变量系统模型很耗费计算机系统内存，即使是辨识阶次低的多变量系统，也 需要很长的计算时间，所以后来许多人把研究方向转向了采用多项式矩阵的输入输出 方程来表示多变量系统的结构的模型辨识，这样很好的解决了由于状态空间模型而引 起的计算速度慢，不利于在线应用的问题。1 9 7 5 年，g u i d o z i 【6 提出了利用线性多变量 系统规范型进行系统辨识的参数化方法，他建立了系统状态方程第1 代可观测规范型和 输入输出差分方程规范型之间的等价关系，从而把状态方程要辨识的结构参数圊输入 输出数据之间建立了直接的联系。1 9 7 6 年b i n g u l a c 等又提出了第1 i 代可观规范型和输入 输出差分方程规范型之间的等价关系，同时讨论了第1 i 代可观规范型的结构和参数辨 识问题。他们的工作使多变量系统的辨识大大推进了一步。1 9 7 6 年和1 9 7 8 年，s i l l l l a 和k w d n 岔”，g 卸t h s e r 和l a u d a u 【8 】对参数的辨识导出了递推算法，并推广到有色噪声的 辨识。1 9 7 9 年，s h 矾e f 和s i n h a 【9 】用随机逼近的方法对多变量系统的辨识进行了讨论； 北京化工大学硕l 学位论文 1 9 8 1 年，王秀峰和卢贵章【l o 】提出了一个确定结构指标的递推辨识算法，它不需要求行 列式值，一旦确定了子系统的结构即可得到参数估计值，没有重复的运算，所需计算 量比g u i d o r z i 方法大大减少。1 9 7 9 年一1 9 8 3 年【l i ”】，d i e l a i l f l 推出了子模型( s u b m o d e l s 或s m ) 、子子模型( s u b s u b m o d c l s 或s s m ) 及其递推算法。由于在受随机干扰的动态 系统中，当参数随时问改变时，采用固定模型的控制方案常不能满足控制精度的要求。 1 9 8 2 年，b o k c r 和k c v i c 吐一14 l 得出了多变量c a r m a 模型阶的f 检验判别法，但没有给 出a r 子阶( 自回归部分的阶) 、m a 予阶( 滑动平均部分的阶) 、c 子阶( 受控部分的 阶) 和模型时滞的判别法。1 9 8 5 年，舒迪前【1 5 】等人对未知结构的多变量系统的自校正 调节器和群控双输入双输出电加热炉的工程应用进行了讨论，确定了被控过程的模型 结构，并给出了一种多变量最小方差控制律的简洁算法和用指数加权递推最小二乘法 在线辨识控制器参数。1 9 8 6 年，邓自立和郭一新【1 6 】推广和改进了b o k e r 和k e v i c z k y 的 结构辨识方法，对于多变量的c a r m a 模型，用递推增广最小二乘法代替文献 1 4 中的 菲递推增广最小二乘法估计模型参数，提出了模型的阶和时滞的f 检验判决器，进而 可以得到节省参数模型，形成了对多变量c a r m a 模型结构的一种完整的辨识方法。 1 9 8 8 年，潘立登【1 7 。2 。】又将该算法推广到同时辨识多变量c a i 蝴a 系统的模型结构和参 数。如果不了解系统的内部结构，辨识的主要目的仅在于仿真和预估系统输出信号， 我们采用子模型就可以达到辨识要求。如果要求辨识其中每个系统的参数和阶次，并 在生产过程中去控制该参数和阶次，我们则要采用子予模型。但是对于目前使用的多 变量预估控制，使用相关辨识系统的脉冲响应矩阵更为合适。此后，张俊芝【捌等提出 了一种多变量系统结构和参数的递推辨识，赖晓平【2 3 】等提出的一种新的m i m 0 a r m a x 模型递 搬预报误差( 姻e ) 算法，抛筏林【2 4 1 等提出的具有递摊性的多变量系统结构辨识方法， 了缝拉霹等撵爨貔线毪多交蘩蓉绞鹣联台瓣谈算法c l 焱) ，孟爨最辫簿撵鑫瓣多交爨镑 递函数矩阵辨识的二级q r 分解快速递推算法，避免了予系统辨识方法对可测数据的 熬复处理，在不扩大维数的条件下，获得使总体损失函数最小的估计值。该算法与 h o u s e h o l d e r 变换的炔遮递推算法绩念，不仅大大媳减少了辨识掰器豹运算爨， 瓣基霹减少l s 簿法中增益翘阵诗算误差积累和传递，鼹高辨识耩璇。 1 2 2 子空间辨识算法的发展和现状 子空闷辩识算法诞生予上世纪8 0 年代术，这是一种与前面介绍的算法截然不同 的种辨识算法，这种算法模型结构基于状态空间模型，主要使用的工具是几何投影 瓒论及子空闽的概念。这穆嚣法与兹蘧分缓的传统算法襁眈有鲤下线点。 参数玩套种各样静系绫辨识算法鄂掰临确定参数的闯题，笼蒺是多变量系统， 需要花时间去确定所谓的规范模型，也就是具有最少参数的模型。但是即使是最少参 4 数模型，也有下面的一些问题。 ( 1 ) 可能导致数值病态解，意味着辨识出的结果对一些小的干扰特别敏感。 ( 2 ) 可能有参数重叠的问题，因为没有任何一个存在的参数集能充分描述系统的 所有模态。 ( 3 ) 在实际中只有最小状态空间模型是切实可行的，因为如果存在不可控但可观 的模念，需要专门的参数化。 子空间辨识方法就不会遇到上面所述的这些问题，仅有的需要用户确定的参数是模型 的阶次，而且它能够通过观察系统的奇异值或其他方法来确定。 收敛性如果实现合理的话，予空间辨识算法是很快的，尽管它要使用0 r 分解 和奇异值分解。从实际情况来看，子空间辨识算法要比传统的一些辨识方法比如预测 误差法( p e m ) 快，因为它不是迭代的。而且它也没有收敛的问题。因为应用了线性 代数的方法，所以数值鲁棒性也是比较好的。因此使用者一般不会遇到一些难题，比 如不收敛，收敛比较慢，或者数值的不稳定。 模型降阶我们辨识的主要目的是在计算机控制系统中使用模型，由线性理论的 知识我们知道，模型的复杂度与系统的阶次成比例，因此我们希望得到的模型的阶次 尽可能低。利用子空闻辨识算法我们可以直接得到低阶次的模型，而不用先得到高阶 模型然后再降阶。 到现在提出的比较成熟的算法有规范变量分析法( c v a ，l 撕m o r e ，1 9 8 3 ) 【2 7 1 ， 数值子空间状态空间辨识算法( n 4 s 畦、o v e s c h a n dd e m o o r ，1 9 9 4 ) 【2 8 】和多变量 输出误差状态空间算法( m o e s p ，v e 抽a c g e n ，1 9 9 4 ) f 2 9 1 。m o v e s c h e ea 1 1 dd e m 0 0 r 1 3 0 对这些子空间算法提出了一个统一的框架，指出所有的这些算法都能被看作一个不同 加权 x 北京化t 大学硕士学位论文 闭环系统的输入输出信号用开环辨识方法得到闭环的传递函数，再出己知的控制器传 递函数推导出对象的辨识模型。联合输入输出法则将闭环的输入输出信号统一看作为 白噪声驱动系统产生的输出信号，再视为开环情形进行处理。经典的闭环辨识方法在 许多方面并不尽人意。直接法虽然简洁，但必须满足较为苛刻的条件。间接法与联合 输入输出法实验前要知道反馈控制器的传递函数，并且需要至少三个可检测的信号。 此外，闭环系统与刃环对象模型见的参数转换导致了繁重的工作量。 1 3 1 闭环系统的可辨识性 一个闭环系统是否可辨识，依赖的戮索很多，包括模型类豹选拇、辨识实验条件、 辨识的准则、辨识的方法殿数据集的性质等。从工程应用的角度上说，具有以“f 结论 可供使用【3 8 】： ) 当反镄遥莲莛线缝、对交静，基不存在魏韵信号，绘定稳又是恒定静时候， 闭环系统的可辨识性条件是：反馈通道的模型结构不要导致闭环传递函数的出 现零极点相消，且反馈通道的模测阶次不要低于前向通道的模型阶次。此外， 如果爱馕逶遂或瓣羯逶道存在遮缮坯萤，这瓣霹瓣谖缝祭传楚毒裂懿。 2 如果反馈通道上有避够阶次的持续激励信号，并与前向通道上的噪声是不相关 的，则闭环系统是结构性可辨识的。 ( 3 ) 反馈通道上的控制器是时交昭或爨舂非线性，阙环系统也怒结构可辨谈戆。 国爱绩邋遴上静控意l 瓣憩在几种不瓣调节麓律之阕切换， l l _ 环系统也是结掏可辨 识的。 1 0 0 麓嚣系统巾建令程戆谬徐掺拣 无论是经骢的闭环辨谈方法还是近年来出现的各类新型的闭环辨识方法，均有几 个可观鲍性糍搬标，用来弹髓辨谖效果的优劣，这些攘标是： 1 ) 真实对象与真实嗓黟豹一致性辨 ； ：当模壅集( 像含对象模鍪! 集与噪声模型鬃) 足以描述对象与真实噪声特性时，可获得真实对象与真实噪声的一致无偏估 计。 f 2 卖实瓣象瓣一致瞧辨滚：当黯蒙模爨集霆鞋撬逡爽实霹象将瞧，噪声模鳖帮不 能正确描述真实噪声特性时，仍能获得对象的致无偏估计。当噪声包含复 杂的动态特性时，遮一性质显得极为重要： ( 3 ) 辨识的蠢效性：即模黧健计的方羞大小，方差越小，剐楱隧数爨懿采样数掇下， 辨识褥猁的渐近摸戳越逼近真实对象。 ( 4 ) 不稳定对象的辨识：对缘为不稳定系统时，仍能获得对象的致无偏辨识。 6 ( 5 ) 闭环系统的内部稳定性：即辨识得到的对象的渐近模型，在反馈控制器的作用 下，能保证整个闭环系统的内部稳定性。 ( 6 ) 反馈控制器的先验知识：进行辨识实验前，是否需要知道控制器的先验知识。 1 3 3 几类典型的闭环辨识方法 近年来围绕着闭环系统的可辨识性与系统参数的致无偏估计这一主题，人们依 据不同的知道思想提出许多有效的闭环辨识方法。其中，具有代表性的几类方法的思 想主要基于噪声协方差补偿、自适应模型输出误差校正及开环、闭环的相互转换。其 中基于开环转换的闭环辨识方法有： ( 1 ) v a i l d c i l h o f 等人提出两阶段闭环辨识法【3 9 】 ( 2 ) h a i l s e n 等人提出的y o u l a k u c e r a 参数化方法； ( 3 ) s c h r 釉a 等人提出的互质因子法【柏1 基于噪声协方差补偿的闭环辨识方法有： ( 1 ) z h a n g 等人提出的时域闭环辨识算法1 4 卜4 4 】 f 2 ) s c h o u k e n sj ，p i n 融o nr 等人研究的频域闭环辨识算法【4 5 l 还有基于输出误差递推校正算法的闭环辨识方、法【4 6 】和基于高阶累积量的闭环辨识方 法【4 7 】 1 3 4 子空间辨识算法的闭环辨识问题 子空间辨识算法有很多优点，因为状态空间模型很容易应用于估计，预测，滤波 及控制，但是经过实际应用发现大部分的予空间辨识算法不能应用于闭环辨识，即使 数据满足传统辨识算法的闭环可辨识条件。 与开环辨识相反，大部分子空间辨识算法( 如c v a ，n 4 s i d ，m o e s p ) 在闭环条 件下辨识结果都是有偏的。针对子空间辨识算法的这一问题，许多学者对闭环条件下 的子空间辨识算法进行了研究，并提出了许多改进算法。v e r h a e g e n ( 1 9 9 3 ) 【4 8 】提出了一 种子空间闭环算法，先计算一个全局的开环状态空间模型，然后通过一个降阶的过程 来获取对象和控制器的模型。这种算法的缺点是必须先计算一个高阶的全局对象，这 样引入了额外的计算负担。l j u n g 和m c k e l v e 严9 】( 1 9 9 6 ) 提出了一种基于a r x 模型的 可行的子空间闭环辨识算法。这种方法的缺点是a r x 模型的参数化不适用于通用的模 型。近来，c h i u s o 和p i c c i ”1 ( 2 0 0 3 ) 通过随机实现理论分析了子空间闭环算法的反馈 情况并提出了一种理论分析用于构建基于斜向投影空间的几何状态，但是，他们没有 提出任何详细的算法。 基于变量有误差( e i v ) 的框架，c h o u 和v e r h a c 2 e n 剐( 1 9 9 7 ) 提出了一种新的子 于卒间辨识算法的基本原理与统一框架 第二章子空间辨识算法的基本原理与统一框架 子空间系统辨识通过特定矩阵的行空间投影运算来揭示系统的一些特性。而这些 几何投影运算可以很方便的由l q ( 或r q ) 分解实现。首先，我们假设给定矩阵一r ”， 日r 一，c 尺“7 且这些矩阵的一个行元素被认为与i 维闭空间的一个向量等价。在该 闭空间，每一个矩阵( a ，b ，c ) 的行都定义了一个线性向量的基。这一章中我们将介绍子 空间算法用到的数学工具，以及子空间辨识算法的基本步骤，并把一些常见的子空间 辨识算法归类成不同加权矩阵的统一框架。 2 1 数学工具 2 1 1 正交投影 n 。表示一个矩阵的行空间在矩阵b r 州的行空间上的投影算子： 兀。三日7 ( 肋7 ) + b ( 2 - 1 ) + 表示矩阵的m o o r e p 锄o s e 伪逆。矩阵一r 刚的行空问在矩阵b 的行空间上的投影 简记为b ： d e f 4 b = 曰7 ( 2 坫7 ) + 占( 2 - 2 ) 投影算子盔j 维空间中的说明如图2 1 所示。 彳 1 a | b 1 一 b a b 图2 1 正交投影说明 f i 9 2 - l i n t 唧r e t a d o no f o n l l o g o n a lp 叫e c 廿o n a b 运算的结果在矩阵b 的行空问。 9 北京化工大学硕上学位论文 丌。是将一个矩阵行的空间投影至矩阵b 的行空间正交补上的几何算子： 爿矿三一兀矿 ( 2 - 3 ) 这里，兀一= 一n 。，同样该投影算子确维空问的说明如图( 2 - 1 ) 所示。由算子丌s 和丌矿可将矩阵a 分解成两个行空间正交的矩阵 一= 一n 。卅兀。 ( 2 4 ) 同时，利用该投影将矩阵也可将a 分解成b 的行k 和b 的讵交补的行0 。的线性组合。 。丑三一兀。 ( 2 _ 5 ) 工矿矿三4 n 矿 ( 2 。6 ) 矿是丑的行空间e 交补的一个基，所以可以得到 矗= # 嚣+ 一露1 ( 2 7 ) 所以矩阵4 被分解成了嚣的行和古1 的行的线性绡合 2 1 2 斜翔投澎 除了将矩降a 分解为两个正交矩阵口秘矿的线性缀合夕 ，还可以将其分群为 正 交矩薛雪窝c 叛及嚣帮c 麓歪交脊静线梭组合。 4 = 厶口十k c + k ，。f ：1 1 ( 2 8 ) 定义矩簿墨c 为蠢豹学空溺游嚣静牙空阎在e 静 亍空阀上兹斜自投影： 一口c = k c( 2 9 ) 阁2 2 谥明了歹缎空闻豹瓣淘投影，载囊投黟是撵菲正交投影方囊。 斜向投影魂可解释为：彳的行空间正交地投影在詹和c 的相交行空间上，并沿c 的行空间分解投影结果。一的行空间在嚣和c 的相交行空间上的正交投影可以表示为 蔗骺m e ) ( 嚣蜀 弘秘 将该表达式在露和c 的相行空间上分解就能得到以下斜向投影的定义： 定义l ：斜向投影 名霞”豹抒空藤沿嚣露一魏行空阕褒c 霆“7 鹣行空闻靛斜勰投影定义为 0 子空问辨识算法的基本原理与统一框梨 崖以c = 菇c 。嚣7 ) 嚣：) + 。e t ：t ， 斜向投影的一些特性为 耸s 图2 - 2 斜向投影说明 9 2 2i n t e f p r c t a t i o no f o b l i q u ep 蛹e c t i o “ 黔| b c = q ( 2 - 1 2 ) c c = c( 2 1 3 ) 事实上这两个特性也可以用来定义斜向投影，即满足遮两条性质的任何运算都可看成 是斜恣投影 一j r ”的行窀问沿曰搿吖的行空间敬c r “的行空间的斜向投影也可以定义为 。，。c = “8 1 c 廖1 + c ( 2 1 4 ) 这时当b = o 域b 的行空间讴交于c 的行空阔，斜自投影筒纯为正交投影： 一日c = 爿c ( 2 1 5 ) 2 。1 3 圭角耪方囊 两个子空削的主角是两个向量的夹角的推广，如图2 3 所示。假设给定两个矩阵 一芒霆9 3 帮嚣霞州。第一个主角瑗( 最小戆一令) 哥通过选择攀位彝星哇蠢豹雩亍空 潮，龟8 的行空问，并将它们之间的角度最小仡寐获得，这就怒籀一主角，而单位 ! ! 塞些三查兰竺圭兰竺笙苎 向量口- ，6 j 为第一主方向a 然后选择单位向量口：一的行空间且征交于4 ；，屯曰的行 空间且正交于6 i ，并将它们之间的角度b 最小化，就得到第二主角和主方向，如此继 续，直到获得m i n ( p ，q ) 个夹角。图2 3 说明了三维空间的做法。 定义2 ：主角和方向 f i 9 2 3i n t e r p r c t 撕o no f p 咖c i p a la n g l e sa n dd i r e c t i o n 矩阵爿r 9 。的行空删和b r ”的行空间的主角鼠只万2 以及相应的主 方向口f 爿的行空间和岛曰的行空间可循环定义如下： 。0 8 暖2 。，2 愁。，。d 7 白2 口；4 ( 2 - 1 6 ) d e ，0 1 1 研f “6 e m h 聊卯口 。 如果= | | 6 | | = 1 且对于七 1d 7 q = of = 1 七一l 及6 白：of ：l 女一1 。 下面给出两种关于主角和主方向的等价定义。这些定义将使主角和主方向的计算 更容易，因此极具实用性。 定义3 主角和主方向 给定矩阵爿r ”和b 彤“，以及奇异值分解 一7 ( 以一) + 爿占7 ( 肋7 ) + 矗= 【 ，p ，( 2 1 7 ) 于是a 的行空间和b 的行空间之问的主方向等于c ，7 的行和矿7 的行，它们之间主角的余 弦定义为奇异值( s 的对角线) 。主方向和主角可表示为： 【爿么曰】三u 7( 2 1 8 ) 【一z 曰】三矿7( 2 1 9 ) 一d 矿 【爿么口】- s( 2 2 0 ) 定义4主角和主方向 明晚的甸 方主和角主 32 图 王皇塑塑竖堕塑兰奎堕墨兰堑二堡墨一 【a z b 】兰s 2 3 9 ) 对确定的和随机钓几何运算，我们用相剿的符号。爨为在执行时测量豹数目楚有 限的( 歹喾) ，辔阳l 可近似为： 弓l a b 7 ( 2 h 4 0 2 2 - 矬阕辨谈算法的一般步骤 予空涮辨识算法诞生于上世纪9 0 年代裙，到现在为止邑缀提出大登成熬的算法， i z l 安 i n 4 s i d ，i v - 4 s i d ，m o e s p ，c v a ，毽是它靛都霹爨爨类为一个统一熬錾蘩，繇戳袋 在我们以统一的框架来讨论子空间辨识问题。 2 2 。1 子空闻辨识算法的模型 予空间辨识算法的模型一般出以下攥型描述； x k “= + b u k + w 女 f 2 - 4 1 ) y t # c x k + d u k 斗v k 鞫 蠢黜删姜) 纠。 其中简量冁e r “秘向量y 。e r 分嬲是过程游m 缭输入帮l 维输嫩在羁隔莨对剡鼹测鬟 馕向量是过程程离散时闻k 时刻的状态向量喙r 和嗽r 是不可璃测的向量 信号。v k 被称为浏鲎噪声，毗被称为过程嗓声。假设它们楚零均值，稳定的自噪声序 列并且和输入向量轨不相关。a r 是系统矩阵，b r “熄输入矩阵，c 兄“怒 输如矩降，雨d 芒r “是直接反馈斑阵。矩阵q r “”，s 毫r “，和r e r “是嗓声序 弱毪秘v k 戆蛰方蓑矩瓣，热鬻稼固濒示。 在子空间辨识方法中，般假设可用数据点的个数趋予无穷的并且数据是各态历 经的。问题描述为：瑷绘出由来知系统( 2 。4 1 ) 产生的大鳖的输入矩阵魄和输出矩阵 y 。鲍测餐徨。确定未知系统的阶数n ，在穗钕变换范露内黥系绞矩簿a ，b ，c ，d ， 并且估计矩阵0 ，s ，r 。 子警间辨议算法总是出两个步骤构成。第一步，构逡“个出数据产生的特定予空 间的映射，用来寻找一个增广可腿测矩阵的估计僚或者来知系统的状态估计。第二步， 北京化丁大学硕士学位论文 从广义可观测矩阵或者状态估计获得系统矩阵。下面我们介绍子空间辨t 算法中常用 的一些符号与等式。首先我们把状态t 和输出y k 分成确定和随机两部分： x 女= x 。d + x j( 2 4 3 ) yk=yd k 七y ： 所以系统的状态方程也可以分解为确定和随机两个部分 x d = 一+ b u t y 。= 吲+ d u 。 + l = 叫+ 联+ l = 叫+ v k ( 2 4 4 ) 陀一4 5 ) 图2 - 4 线性时不变系统模型 f i 9 2 - 4l i n e a rt i m e i n v a r i a n ts y s t e mm o d e l 2 2 2 特殊矩阵的定义 对于随机部分，有下面的一些定义和系统相关矩阵 状态协方差矩阵 吐x ss ) 7 警5 输出掷方差矩阵 a 。竺e h 一 定义 g d ：e f q s 它们之间有如下关系式 ( 2 - 4 7 ) f 2 - 4 8 ) 佗- 4 9 ) 于夺阐辨识算法的摹奉原理。0 统一框架 输入输出h a n k e l 矩阵： 蛔 u o l 2 _ j = 5 = 爿a + q a 。= c “c + 月 g = 一“c + s d ou u 2 “2 “3 “， “， 堡二!竺 ! ! ! ! ：竺! 二! “，“f + i誓+ 2 吩十j 一1 u i + ii + 2u i + 3 u i + ， 竺 等考 “2 “l“2“j ，一【 “， u l + i 一2 竺竺! ! ! 蔓：竺生：! “f + ig l i + 2 t + 3 “f + j “如f l 】r e ” f u t u r c ( 2 - 5 0 ) 筌( 法 兰u 仁s ， l 配刈z jl 刊 、 其中，矩阵的块行数i 是由用户定义的一个数，它应该足够大，至少应该比系统的阶次 n 大，因为每个块行包含m 行( 系统的输入个数) ，所以矩阵u o 。一。有2 m i 行，矩阵的列 麴因为统计的原因我们假设无穷大，在实际应用中只要足够大就可以了。：。等符 号的下标表示该块h a n k e l 矩阵的第一个单元和最后一个单元的索引。p 代表过去，玳 表将来，和u ：表示把过去和将来数据的划分线下移一个单元。以类似的方法，我 们可以定义输出h 肌k d 矩阵写阻+ ，巧，巧，巧，为以后书写方便，我们又定义