（工程力学专业论文）压电热弹性轴对称问题.pdf

摘要 对热弹性和压电热弹性轴对称经典问题的研究不但可以为常见工程问题提供 快捷的解析解，还可以为各种近似理论和数值计算方法提供所需的校对基准。本 文分别以熟弹性体和压电热弹性体为研究对象，研究它们在耦合荷载下的轴对称 全场解析解。 对热弹性体，首先对陈伟球和丁皓江【5 町给出的用调和函数表示的横观各向同 性热弹性材料的通解进行无量纲处理。然后，利用无量纲化后的通解和所构造三 个调和函数获得了空心圆板在受均布径向压力、均布轴向拉压、等温增场、纯弯 曲以及周边简支空心圆板受轴向均布热力耦合荷载等情况下的解析解。该解可以 退化得到对应实心圆板的解。最后利用所得到的解，计算分析了在热力耦合载荷 共同作用下的空心圆板内热弹性耦合场的分布。 对于压电热弹性体，首先，对c h e n i s 6 】给出的用调和函数表示的横观各向同 性压电热弹性材料的通解进行无量纲处理。然后，利用无量纲化后的通解和所构 造四个调和函数获得了空心圆板在均布径向压力、均布轴向拉压、轴向电位移、 等温增场、纯弯曲和受均布力电热耦台载荷作用的周边简支空心圆板的解析解。 该解可以退化得到对应实心圆板的解。最后利用所得到的解，计算分析了在力电 热耦合载荷作用下的砷化镉压电热弹性空心圆板内耦合场的分布。给出了位移、 应力、电势、电位移的数值结果，并与同样材料但不考虑压电、热电效应的情形 作了比较。 关键词：热弹性体：压电热弹性体；通解；圆板 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho n a x i s y m m e t r i c c l a s s i c a l p r o b l e m s f o rt h e r m o e l a s t i ca n d p i e z o t h e r m o e l a s t i c s t r u c t u r e s n o t o n l y c a np r o v i d et h e a n a l y t i c a l s o l u t i o nf o r e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s b u ta l s oa c t sa st h en e c e s s a r yb e n c h m a r k sf o rv a r i o u s t h e o r i e s o ft h i n p l a t e s a n dc a l c u l a t i o nm e t h o d s f o rt h i s o b j e c t ，as e r i e s o f a x i s y m m e t r i cc l a s s i c a lp r o b l e m sf o rt h e r m o e l a s t i ca n dp i e z o t h e r m o e l a s t i cs t r u c t u r e s u n d e rc o u p l e dl o a d i n g sa r es t u d i e di nt h i st h e s i sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gc o u p l e df i e l d a r eo b t a i n e d f o rt h e r m o e l a s t i cs t u c t u r e t h e g e n e r a ls o l u t i o n 5 8 】o ft r a n s v e r s e l yi s o t r o p i c t h e r m o e l a s t i cm a t e r i a l s ，w h i c hi se x p r e s s e di nt h r e eh a r m o n i cf u n c t i o n s ，a r er e w r i t t e n i n t oan o n d i m e n s i o n a lf o r m b a s e do nt h en o n - d i m e n s i o n a lg e n e r a ls o l u t i o n ，t h e c o u p l e df i e l di nh o l l o wc i r c u l a rp l a t e su n d e ru n i f o r ma x i a la n dr a d i a lt e n s i o n ，i d e n t i c a l t e m p e r a t u r ei n c r e m e n ta n dp u r eb e n d i n g ，s i m p l y s u p p o s e dc i r c u l a rp l a t e ss u b j e c t e dt o u n i f o r m l yd i s t r i b u t e dl o a d sc a nb eo b t a i n e db yv i r t u eo ft h r e ec o n s t r u c t e dh a r m o n i c f u n c t i o n s t h e s es o l u t i o n sa nc a nb ed e g e n e r a t e dt ot h ec o r r e s p o n d i n go n e so fs o l i d c i r c u l a rp l a t e ，a tl a s t ，t h en u m e r i c a lr e s u l t so fc o u p l e df i e l d si nh o l l o wc i r c u l a rp l a t e a r ep r e s e n t e di nd e t a i l s f o r p i e z o t h e r m o e l a s t i c i t y , t h eg e n e r a l s o l u t i o n l 5 6 】o f t r a n s v e r s e l yi s o t r o p i c p i e z o t h e r m o e l a s t i cm a t e r i a l s ，w h i c hi se x p r e s s e di n f o u rh a r m o n i cf u n c t i o n s ，a r e r e w r i t t e ni n t oan o n d i m e n s i o n a lf o r m b a s e do nt h en o n - d i m e n s i o n a lg e n e r a ls o l u t i o n ， t h ec o u p l e df i e l di nh o l l o wc i r c u l a rp l a t e su n d e ru n i f o r ma x i a la n dr a d i a lt e n s i o n ， u n i f o r me l e c t r i c d i s p l a c e m e n t s ，i d e n t i c a lt e m p e r a t u r ei n c r e m e n t ，p u r eb e n d i n g ， s i m p l y s u p p o r t e dc i r c u l a rp l a t e ss u b j e c t e dt ou n i f o r m l yd i s t r i b u t e dl o a d sc a nb e o b t a i n e db yv i r t u eo ff o u rc o n s t r u c t e dh a r m o n i cf u n c t i o n s t h i ss o l u t i o nc a nb e d e g e n e r a t e dt ot h ec o r r e s p o n d i n go n e so fs o l i dc i r c u l a rp l a t e a tl a s t ，t h en u m e r i c a l r e s u l t so f c o u p l e df i e l d s i nc a d m i u ms e l e n i d eh o l l o wc i r c u l a r p l a t e ，i n c l u d i n g d i s p l a c e m e n t s ，s t r e s s e s ，e l e c t r i cp o t e n t i a la n de l e c t r i cd i s p l a c e m e n t s ，a r ep r e s e n t e di n d e t a i l s a n dt h e d i s p l a c e m e n t ，s t r e s s a n dt e m p e r a t u r ei n c r e a m e n ti n d u c e d b y t h e r m a l 。m e c h a n i c a ll o a d i n g sa r ec o m p a r e dw i t ht h o s eo b t a i n e df o rt h es a m em a t e r i a l w h e r et h ep i e z o e l e c t r i ca n dp y r o e l e c t r i ce f f e c t sa r ei g n o r e d k e yw o r d s ：t b e r m o e l a s t i c ；p i e z o t h e r m o e l a s t j c ；g e n e r a ls o l u t i o n ；c i r c u l a rp l a t e s 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名 素永姐 日期：2 p 6 年年月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 储筘名：写p 面娟1lo 7 ”1 导师虢霞毫飞 日期：z 口口l ；年4 月21 3 日期：加6 年4 月3 日 硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 自然界中，晶体一般可以分为7 大晶系，即三斜、单斜、正交、四方、三角、 六方以及立方晶系。在7 大晶系中，按照对称性又可分为3 2 种晶类，其中除去中 心对称晶类1 1 种加上4 3 2 晶类外，其余2 0 种晶类都是压电晶体，但其中只有1 0 种极性晶类才有热释电效应( 又称热电效应) 【1 ，引。即热电材料同时具有压电和 热电两种效应，是典型的热一力一电三场耦合材料，而压电材料是力一电两场耦 合材料。 压电效应是在1 8 8 0 年由法国c u r i e 兄弟最先发现的，第二年他们验证了逆压 电效应的存在1 3 ，引。令人惊奇的是热电效应的发现远早于压电效应，约在公元前 三百年，人们就发现了热电效应，不过热电性的现代名称p y r o e l e c t r i c i t y 是1 8 2 4 年才由布儒斯特引入的。热电效应很早就被发现韵原因是它很容易显示出来，关 于热电效应的最早记录就是电气石吸引轻小的物体。早期的研究主要是对现象的 描述，从1 9 世纪末开始，随着近代物理的发展，关于热电效应的定量的和理论的 研究才日益增多。本世纪6 0 年代以来，激光和红外等技术的发展极大地促进了热 电效应及其应用的研究，丰富和发展了热电理论，发现和改进了一些重要的热电 材料，研制了优良的热电探测器和热电摄象管等热电器件。热电效应及其应用已 成了凝聚态物理和工程技术中活跃的研究领域之一【5 。近十年来，压电材料已经 被广泛地应用于各种传感器、作动器、换能器等高技术领域，特别是“智能结构” ( s m a r ts t r u c t u r e s 或i n t e l l i g e n ts t r u c t u r e s ) 的概念提出后得到更广泛的应用i6 1 1 。除 了压电材料的用途外，热电材料还可应用于声纳列阵、水声探测器、热成象仪等 领域【8 1 。 包括所有天然和人工合成的压电材料，目前已知超过干种，在实际应用中， 一般将其分为压电晶体、压电纤维、压电陶瓷和压电聚合物等几类，应用最多的 是后两类材料【”，工程中广泛应用的对称性相当于2 m m 和6 m m 类晶体的压电陶 瓷及聚合物压电材料均具有热电效应【2 ，射。当含压电的结构在温度变化显著的环 境中工作时，结构的响应特性和总体性能会受到很大影响【3 ，8 1 。这样的环境在高 技术领域里经常遇到，例如，美、俄阿尔法空间站计划中，空间站在距地面3 0 0 一5 0 0 公里高的轨道运行时，背向太阳和朝向太阳时温度变化从一1 5 0 。c 一1 2 0 。c 。热效 应对压电材料结构的影响可分为三种l ”1 ：1 由于结构中各种材料的热膨胀系数不 同引起的热应力。2 热电效应，即温度变化与电位移量互相耦合。3 材料的弹 压电热弹性轴对称问题 性、压电、介电常数依赖与温度，甚至在不同温度，晶体类型会改变，如某些铁 电材料。所以，需要深入研究这种力一热一电的耦合效应，正如文献【1 1 】在展望 2 1 世纪初力学发展趋势时指出“力学将融汇力一热一电一磁等效应，这些效应的 结合孕育着极有前途的新机会，以往那种只注意利用材料某一方面特性的时代已 经过去，随着科学技术的发展，人们已将注意力转向对材料交叉耦合效应的研究”。 近年来，激光超声技术的发展和压电材料的应用还为实验力学提供了新的测量手 段，可用于测量材料常数、残余应力、温度分布等【1 2 ，1 3 ，】。 1 2 国内外文献综述 早在1 9 6 1 年m i n d l i n 从连续介质力学和热力学的基本定律出发导出了热电介 质的控制方程【3 ”】。n o w a c k i ，w 1 6 】提出并证明了解的唯一性和互易性定理， n o w a c k i ，j p 【1 7 时论了温度场对弹性电介质的影响和互易定理。i e s a n ，d 1 1 8 l 在减 弱一些正定性的条件下证明了解的唯一性和互易性定理。c i a r l e t t a ，m 和 s c a r p e t t a ，e 1 9 1 导出了多孔压电介质的压电热弹性控制方程，提出并证明了解的 唯一性定理和互易定理。经典的热传导方程是抛物型的，由此得出的热传导速度 是无穷大，显然与物理实际不符【1 5 ，2 0 1 。为此，l e b o n 【2 1 】将热流作为一个独立的本 构变量导出了称为广义热弹性理论的组方程，它与经典的热弹性理论的不同之 处是由这个理论可以推出热扰动的传播速度有限，经过多年研究，现在学术界一 般认为对涉及非常短的时间间隔和非常大热流的问题广义热弹性理论能给出更合 理的结果i 2 u 2 2 1 上述m i n d l i n 和c i a r l e t t a 等导出的压电热弹性的控制方程，也是 基于经典f o u r i e r 定律导出的，因此也存在着同样问题。为此，c h a n d r a s e k h a r a i n a h ， d s 1 2 剐将l c b o n 的工作推广到压电材料，导出了广义压电热弹性理论的控制方 程并在一定条件下证明了解的唯一性定理。此后，c i a r l e t t a m 等【2 4 】又导出了多 孔压电介质的广义压电热弹性理论的基本方程，当热弛豫时间r 趋近于零时，退 化到经典理论的结果，在一定条件下，利用c l a u s i u s d u h e m 不等式证明了解的唯 一性定理，并建立了b l o t 型变分原理。t i e r s t e n ，h f 2 5 】导出了描述存在电极化 和热传导的连续介质并与电场相互作用的有限变形的基本方程，k a l p a k i d i s v k 等i z 6 j 推广了t i e r s t e n 的理论，考虑了四级电极子( q u a d r u p o l e ) f l q 影响。 静力问题或准静态问题由于温度场可单独解出，使问题的求解难度大为降低。 目前已有许多研究工作。最简单的处理是假设温度均匀或服从某一分布，s t a r e ，m 等1 2 研究了直线电机的简化模型一径向极化的层合圆柱结构，不考虑端部的影响 可看作是轴对称问题。假设温度场均匀，并考虑了压电常数随温度线性变化，每 层求出解析解，由层间连续性条件和边界条件确定待定常数，求出了电机的承载 能力，给出了电机能正常工作的最低温度。l e e ，h j 等1 1 0 l 采用分层有限元模型 分析了压电层合粱在均匀热载荷下的响应。t a u c h e r t ，t r 1 2 8 1 在假设温度线性分 硕士学位论文 布的条件下，应用经典层合板理论分析了含有压电层的层合板对稳态热、电组合 载荷的响应，指出适当地施加电压可有效地减小由于热载荷所引起地变形。尚福 林等【2 9 j 从三维理论出发研究了2 m m 类压电材料层合板在均匀温度场作用下的热 屈曲问题。 a s h i d a ，f 等【3 0 l 给出了二维2 m m 类压电材料压电热弹性静力问题的通解，并 用此通解求解了一个宽为2 6 的半无限长正交各向异性压电材料板受热且边界上 有电荷作用的问题。a s h i d a ，e 等在文m3 2 】中分别给出了6 m m 类压电材料压电热 弹性静力问题通解在直角坐标和柱坐标中的表达式，a s h i d a ，f 和其他学者应用 这个通解解决了无限大板、圆板、圆柱等一系列问题【3 0 , 3 3 “2 1 ，他们不但研究了由 已知热学边界条件计算力学量和电学量的正问题，而且研究了由电势反推温度的 温度分布的估测方法，还通过对压电热弹性问题的反分析，从测量到的电势推测 由未知的热载荷引起的位移值，然后再旌加特定的电势分布，从而控制结构的变 形。 d u b e ，gp 等1 4 3 】推导了一定宽度无限长简支正交各向异性压电材料平板在 力、热、电载荷下的压电热弹性精确解。位移、电势、温度展开成宽度方向坐标 f o u r i e r 级数，将控制方程化为常系数常微分方程组，其通解中的六个常数由上下 表面的边界条件确定，对正问题和反问题都给出数值结果。 k a p u r i a ，s 等【4 2 j 利用a s h i d a 的通解给出了横观各向同性压电材料圆柱壳的 三维压电热弹性精确解，首先将基本方程写为用位移函数表示的通解形式，利用 调和函数b e s s e l f o u r i e r 级数形式的解将各个物理量表示成级数形式，利用边界条 件确定级数中的系数，从而得到精确解。文中还讨论了求温度场和表面压力的两 类反问题。 k a p u r i a ，s 等1 4 1 1 还利用a s h i d a 的解求解了周边固支的横观各向同性压电材 料圆板受轴对称电热和机械载荷的问题，通过f o u r i e r b e s s e l 级数展开，来满足边 界条件，得到无穷代数方程组，可根据所要求的精度截取得到有限方程组。计算 结果表明，当直径与厚度之比小于1 0 时，三维精确解的结果与二维理论的结果差 异较大。 申胜平等【4 4 】给出了以复变函数形式表示的二维压电热弹性问题通解，并利用 此解和s t r o h 方法研究了热电材料界面裂纹问题，得到了温度、位移、电势、应 力和电位移的全场解及裂纹张开位移和电势差的解析表达式。y a n g ，x x 等【4 5 】 研究了上述问题当材料特征根出现等根时的情形。s h a n g ，f l 等【4 6 】用势函数和 f o u r i e r - h a n k e l 变换的方法解决了压电材料内币形裂纹面均匀受热的问题。 x u ，k m 等i 4 7j 用状态空问法推导了层合圆柱壳耦合压电热弹性响应的三维 解析解，首先将基本方程化为状态空问方程形式，每个响应量展丌成轴向和周向 变量的双f o u r i e r 绂数，问题归结为解1 0 个阶变系数常微分方程组，这个方程 压电热弹性轴对称问题 组可用修正的f r o b e n i u s 或子层( s u b l a y e r ) 法求解，计算了不同层的物理参数对圆 柱壳整体响应量影响的灵敏度系数。 d o k m e c i ，m c 4 8 1 从变分原理出发采用k i r c h h o f f - l o v e 假设提出了含有热电 材料层的层合板振动的二维近似理论，并证明了解的唯一性定理。n o d a ，n 和 k i m u r a ，s 1 4 9 】用经典层合板理论研究了热电材料层合板考虑热力、热电耦合效应 时的变形。x u ，k m 等f 4 7 慵状态空间法分析了压电材料层合矩形板的静力压电 热弹性问题，t a n g ，y y 等【5 0 j 用上文的精确解检验了各种近似模型，如一阶理论、 二阶理论、离散层理论、预报修正方法等的精度，结果表明预报修正法的精度 最好。 t z o u h s 等f 5 1 】利用h a m i l t o n 原理推导得到考虑几何非线性的热电材料层 合壳体的方程，在推导中假设均匀温度分布，在文f 5 2 】中还讨论了热电材料层合圆 板非线性挠曲的控制以及热屈曲问题。 d i n g i ”j 通过引入两个位移函数的方法，求得了横观各向压电材料静力和动力 三维问题的通解，该解形式简单，而且在直角和圆柱坐标系下有相同的形式，给 求解压电材料结构静、动力问题提供了有力的工具。d i n g 5 4 ，5 5 】等给出了严格的 6 r a m 类晶系的静态和动态压电热弹性通解，并利用该通解分析了矩形板在均匀温 度增量作用下的耦合场。c h e n “j 则进一步利用严格的微分算子理论，给出了6 m m 类晶系压电热弹性材料用四个加权单调和函数表示的简洁通解。 t z o u ，h ，s 等【57 j 介绍了用有限元进行压电热弹性计算的方法和步骤，构造了 三个能量函数，其驻值条件分别对应于运动方程、高斯方程和热传导方程。但他 在有限元列式的推导过程中略去了热传导方程中与位移和电势有关的耦合项，文 中用有限元法计算了一个p z t ! 钢夹层悬臂梁的振动问题。 综观以上文献，可以发现对热电材料的研究已经取得了相当的成果。但对于 板经典问题的研究是非常缺乏的。对经典问题的研究不但可以为常见工程问题提 供快捷的解析解，又是对板弯曲的各种近似理论和数值计算方法进行比较和校核 所必需的。 1 3 本文主要研究内容 本学位论文分别以热弹性体和压电热弹性体为研究对象，分析其一系列轴对 称经典问题的解析解。全文的主要研究内容如下： 第二章：首先介绍了考虑温度效应的横观各向同性热弹性体的本构方程、平 衡方程和热传导方程。然后对陈伟球和丁皓江【5 8 j 给出这些控制方程的通解进行了 无量纲处理。 第三章：首先利用横观各向同性热弹性体无量纲后通解和所构造的三个调和 硕士学位论文 函数叭( ，一1 2 ，3 ) ，给出了空心圆板在受径向均布径向压力、均布轴向拉压、等温 增场、纯弯曲以及周边简支空心圆板受轴向均布热力耦合荷载等情况下的三维解 析解，并退化得到实心圆板的解。然后利用所得到的解计算分析了在热力耦合载 荷共同作用下的空心圆板内热弹性耦合场的分布。由此可看到外加力载和热载对 熟弹性板弯曲变形的影响。 第四章：首先介绍了考虑温度效应的横观各向同性压电热弹性体的本构方程、 平衡方程、高斯方程和热传导方程。然后对c h e n 5 6 l 给出这些控制方程的通解进 行了无量纲处理。 第五章：利用无量纲化后的通解和所构造的四个调和函数妒，( j - l 2 ，3 ，4 ) ，给 出了空心圆板在均布径向压力、均布轴向拉压、轴向电位移、等温增场、纯弯曲 和受均布力电热耦合载荷作用的周边简支空心圆板的三维解析解，并退化得到实 心圆板的解。最后，利用所得到的解计算分析了在耦合载荷作用下的砷化镉 ( c a d m i u ms e l e n i d e ) 空心圆板内压电热弹性耦合场的分布。 1 4 本文的主要创新性工作 针对热弹性和压电热弹性圆板的一系列轴对称经典问题进行了研究，主要创 新工作如下： 1 利用通解和所构造的调和函数，给出了热弹性和压电热弹性圆板在一系列 耦合载荷作用下的热弹性场和压电热弹性场的轴对称全场解析解。 2 对热弹性和压电热弹性藕荷场的研究发现，当耦合场表达式中的待定系数 的个数，多于由边界条件得到的用于确定待定系数的方程的个数时，可以利用本 论文给出的组合系数的相关性，得到唯一确定的耦合场的解。 3 对压电热弹性藕荷场的研究发现，电学边界条件的提出需满足限制性方程。 本论文给出了该限制性方程，并指出该方程的物理意义是进出无源压电构件的电 位移通量相同。 ：些些些型塑堡坠一 第2 章横观各向同性热弹性问题的基本方程和通解 本章首先介绍了考虑温度效应的横观各向同性热弹性体的本构方程、平衡方 程和热传导方程，然后对陈伟球和丁皓江【5 8 1 给出的这些控制方程的通解进行了无 量纲处理。该无量纲化后通解是第3 章工作的基础 2 1 基本方程和通解 2 1 1 基本万柽 在柱坐标( ，2 ) 中，设各向同性平面平行于坐标面，0 妒，则考虑温度效应的 横观各向同性热弹性体的本构方程为 o rm c l l 誓嘞c ；鲁+ 蚝警一 ， i + c l ：( - 访+ + 苫一 一 0 # ac 1 2 警+ c l l e 鲁+ 嘞警 8 ， 苗哆苜+ ”苫_ ， 咿c 1 3 粤o r + 三r 鲁+ 与r + 警一d 口 倔 q 咆号等+ 等一， t o = c 。譬弓静， k e + ( 2 1 1 ) 式中吩和吼( ) 以，；，织z ) 为位移和应力分量：口为温度增量；如和白o ，_ 1 2 ，3 ) 分别为热模量和弹性系数，且有关系式2 c 。一c 1 ，- q ：。 对应的平衡方程和热传导方程为 堡+ _ 1 一o v , p + 监+ 堡：生。0 、 a rra 西 o z r 堕+ 三堕+ 监+ 翌观 a rra 西b zr 监卜1 一o r , , + 堡+ 立；o d r ra 西d zr 硕士学位论文 卜讽卦观 地， 式中为平面l a p l a c e 算子： = 芝8 r 号昙+ 三r 鲁 ( 2 ) 2 r 甜 2a 西2、， 肛j ( f 一1 ，3 ) 为热传导系数。 2 1 2 通解 陈伟球和丁皓江【5 8 】给出了控制方程( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的通解 u ：r 挚妻墼o r ， ，i 一一- 二3 + d口j 驴警+ 砉吾等， 驴弘，善， p 秀如鲁 仁“， 式中妒( j ；0 , 1 , 2 ，3 ) 为满足下列方程的加权调和函数 ( + 孙= o 叫， 式中z j ；s 产，；正：瓦，屯：0 丽，q 和s ：为下列代数方程的具有正实部 的根 口。s 4 一如2 + c o = 0 ( 2 1 6 ) 背审 a o c ”c 。n ，b o c 1 1 c 3 3 + c 三一( c 。，+ c 4 4 ) 2 ，c 。= c l 。c 埘， ( 2 1 7 ) 此外有 咿一蔫心妇。，k t 案b ，砷 式中 q 2 一 ，c 4 4 ，岛= 如3 ( c 1 3 + c 4 。) 一 i c 3 3 ， 4 z2 九，c ，一 - ( c ，+ c 。t ) ，b 2t 丸，c 。 ( 2 1 9 ) 将式( 2 1 4 ) 代入本构方程( 2 1 1 ) ，得应力通解为 7 压电热弹性体轴对称问题 q = - 2 弗酱卜。辩导专著卜跏3 州铲圳等 叫邓o ( io 引妒o 蛾孔昙+ 吉导卜驴3 ：w 恕撕，等， 呸= 驴3 菇铲碱) 等， 驴f z 嘉+ 0 - 蓦0 2 ) 毕 o + 2 6 舞t r 7 7 却t 川) ， 驴畿蝎。扣吨垮鲁， b 一。詈岳+ 扣吨，篙 f 2 1 1 0 ) 将( 2 1 1 0 ) 式代入( 2 1 2 ) 式中，考虑到调和函数妒j 的任恿性，司以得剑如 下恒等式 c l l - - c 1 ，s ；岛+ ，k 2 ，。c “5 ；( 1 + 岛，) ，( 2 1 1 1 a ) c 1 3 一c 3 ，强，+ 如屯，- c 4 4 ( 1 + k l a ( 2 1 1 1 b ) ( p l ，一风。s ；) 七：j o ( ，= l 2 ，3 ) ( 2 1 1 l c ) 于是可以利用恒等式( 2 1 1 1 ) 将通解( 2 。1 1 0 ) 简化为 一弗酱卜辩昙专剖”黔3 鲁， 驴嚣箐卜( ，1 0 + 10 2 ， 盱静忡“鲁， 吒= 套鲁， 驴( 2 导+ 碡0 2p 鞘3 ；斟 鼎蔫+ 种3 吾鲁， 1 7 m - - c 4 4 s 0 詈蓑+ 扣差( 2 1 1 2 ， 式中 j = c 4 4 ( 1 + k ij ) ( 2 - 1 1 3 ) 对于轴对称问题有妒。= 0 ，且所有物理量与庐无关，通解( 2 1 4 ) $ f l ( 2 1 1 2 ) 简化 蜘 硕士学位论文 = = = = = = = = = = = ! = = 罩ii = = ! = = = = = = = ：= = = = = = = = = = ! = = = = ! = = ! = = = ! = = = 竺 驴妻等， 驴私，警， 耻弘等 q 嗣专世ro r 一骞碱2 鲁， 0 # = 2 c 6 6 三盟a r 一嘉。；叩可a 2 , 曲j ， 吁套鲁， = 荟3 蚋舞 f 2 1 1 4 b ) 由于各材料物理系数之间的数量级相差较大，为了提高计算精度和方便对结 果进行绘图分析，需要对以上热弹性问题的基本方程和通解进行无量纲化处理。 2 2 基本方程和通解的无量纲化 2 2 1 基本方程的无量纲化 对各物理量按照以下关系式进行无量纲处理。 q ；鱼( f ；1 ，2 ，3 ) ，c 4 = 鱼，c 。；叠， c 3 3c 3 3c 3 3 5去(f邮)，卢2“fll_llc33a ，岛3 宇；一r ， = 三，( 本来就无量纲，保持不变。) 7 l，l 驴彘( f 吐虻柚2 昙， o k2 蠡 。2 上c 3 3 1 7 l r t 0 ，( f ，一，纰；纠蝣) ( 2 圳 式中为一非零几何长度，a ，和死分别为热膨胀系数和参考温度。 则在无量纲柱坐标( 宇，亭) 中，考虑温度效应的横观各向同性弹性体的本构方 程为 9 压电热弹性体轴对称问题 ! = = = = 高墨= = = = 皇= = 墨= = 皇= 警墨= = = 皇：墨墨= = 罩= 墨墨= 罩墨= 兰：- 毫：皇= ! = = 皇= ! 咚2 q 等屿皓等+ 挚卜，等一 执 - c z 詈+ q 陪鲁+ 纠+ 巳等一 谚 噜一q ( 等+ 等+ 挚) + 等一乃抚 嘞陪等专一挚) ， 妒c 一孝斟 珐= c 。【( 虿o u e + 虿a u 。j ( 2 2 2 ) 詈砖鲁+ 鲁+ ! 皆- o ， a ea 币8 t g 、 孥+ 昙垫+ 垃+ 堡o ， 蚤亭 亭a 庐a 亭宇 。 孥+ 昙亟+ 亟+ 盈乩 a ；a 争8 ；g p 簧卜 c z 2 固 式中为平面l a p l a c e 算子 杀专专+ 砉著 亿z q 2 2 2 通解的无量纲化 利用陈伟球和丁皓江【5 8 】的结论，可以给出在无量纲柱坐标佶，声，毒) 中，基本方 程( 2 2 2 ) $ 1 1 ( 2 2 3 ) 的通解为 。：一三盟+ 丝 咚一芗首+ 荟蚩， 2 警+ ；| ；等， = 新，誓i ， j - lo ：里堇丝篁圣= = 一 ! ! = = 。! = 2 1 1 = = 2 = 。= = = = e = = = 一 秽= 弘等 q 2 5 式中妒，( j 。0 ，1 ，2 ，3 ) 为满足下列方程的加权调和函数 ( + 岳卜。 q 2 6 式中；，；5 居，。x 压6 c 4 。，s ，；痧，_ 和s 。为下列代数方程的具有正实部的根 口。s 4 一如2 + c o 。0 ( 2 2 7 ) 式中 口。；c 。，：c i + c 2 一( c ，+ c 。) 2 ，c 。一c l c 4 ( 2 2 8 ) 。，：一a。z，一-b觑2，s；zy，七：，一七。一。，七”；案 ( 2 2 9 式中 q = 一 l c 。，b i = 如( c ，+ c ) 一 ， 。：婶，一 ( c 3 + c 。) ，如；母。 ( 2 2 1 0 ) 将式( 2 2 5 ) 代入( 2 2 2 ) 得应力通解为 一2 吒熊刳一：c 。赛( 旨言钟曲c 叫罅，吨z 喏， q 魄蒜篑) 线瓣专专钟，+ 扣蝎纷蝴等， 咿荟( 耳一驴啦：，孝 嘞吆( z 毒+ 薷1 ”z c 。套素( 詈等) ， k 咄蔫岣驴3 呐，詈器， 珐一。s 。蔫怕扣啮，) ，面a 2 1 , j ， 但2 1 1 将( 2 2 1 1 ) 式代入( 2 2 3 ) 式中，考虑到调和函数妒，的任意性，可以得到如 下恒等式 。一c ；s ；k u4 - 雄：，t c 4 4 0 + k ，) ， ( 2 2 1 2 a ) c ，一j + l 3 k 2 。c 4 ( 1 + k 。a ( 2 _ 2 1 2 b ) ( 卢一s j ) 。0 ( ，：1 , 2 ，3 ) ( 2 2 1 2 c ) 压电热弹性体轴对称问题 于是可以利用恒等式( 2 2 1 2 ) 将通解( 2 2 1 1 ) 简化为 一z c 。弗器卜器争孝卦，一和2 鲁， 式中 为 础。 一z c 。喜皓等) + z c 6 ；| ；皓喜+ 手1 ：妒0 2j ) 妒，一再3c 驴2 ，一，鲁， 妒骞鲁， 嘞( z 著+ 蔫卜线骞素皓等) ， k 鸭s 。舞寺一；袅， 珞一。1 袅+ 扣，矗 r 2 2 1 3 ) j 。q ( 1 + j ) ( 2 2 1 4 ) 对于轴对称问题有妒。，0 ，且所有物理量与庐无关，通解( 2 2 5 ) 和( 2 2 1 3 ) 简化 击a 妒f 2 刍畜 旷扣，警 侈= 砉也鲁 咿啦角潍1o v j - 一驴32 鲁， 畔c 。骞吾等一静。- 2 ，鲁， 吒= 砉珊鲁， 妒和蔫 f 2 2 1 5 a ) f 2 2 1 5 b ) 无量纲化后的通解( 2 2 1 5 ) 形式简洁。它是第三章研究热弹性轴对称问题的基 1 2 第3 章横观各向同性热弹性问题的若干轴对称问题解 本章麻用第2 章所给出的无量纲轴对称通解，研究空心圆板在受均布径向压力、 均布轴向拉压、等温增场、纯弯曲以及周边简支空心圆板受轴向均布热力耦合荷载 等情况下的解析解。所有这些解可退化得到对应实心圆板的解。最后，利用所得到 的解计算分析了在热力耦含载荷共同作用下的空心圆扳内热弹性耦合场的分布。 3 1 圆板的几个简单解 设空心圆板的内外半径为和，高度为抒。则无量纲后的内外半径为品一r o 1 和皇一r t r a = 1 ，高度为h = h h 。建立无量纲柱坐标皓，；) ，将坐标平面 0 与圆 柱和圆板的中面重台。本章将利用第二章所给出的无量纲通解( 2 2 1 5 ) ，研究空心圆 板的一系列轴对称问题，目标是给出其在无量纲柱坐标( 机；) 下热弹性场的解。 3 1 1 等温场下的刚体位移解 取附录中式) 中的吼( 六 ) ，得到调和函数 妒j = - 4 ，竹( 芋，白) 一- 4 ，f ，- ( 3 1 1 ) 式中4 l ( ，一1 , 2 , 3 ) 是待定常数。 将式0 1 ，1 ) 代八通解( 2 2 1 5 ) 中得 ，0 ，吩一z s j t ， ，口- 0 - ( 3 12 a ) 口；= q = = 龟一0 ( 3 1 2 b ) 若刚体位移为w ，则得到一组等温场下的刚体位移解 “ 2 0 ，“ = w ，母= 0 ，o - f = “f q 。k 一0 ( 3 1 3 ) 该解对于包括圆柱和圆板都是成立的。 3 1 2 空心圆板的均布径向压力、均布轴向拉压和等温增场 图3 1 为一在均布径向压力、均布轴向拉压和等温增作用下的圆板。即上下表 而作用有均匀分布的面力p 和均匀温度增量c 。同时，在内外侧面作用均匀分布的 面力吼眯= o ，1 ) 。求窄心圆板内的热弹性场。 面力q k = 0 ，1 ) 。求空心圆板内的热弹性场。 压电热弹性轴对称问题 ff f 一g o q o 一 fff 。 巨钐彩缀 d ，b忒r 弋心! n一= 叫d 卜_ !n n 心& n 吣刊一 一 ， ll ， ll i 1 也 p ，c p ，c 昌= 1 考1 取附录中式( b 2 ) 的仍( 宇，亭) 和式( b 5 ) 中( 亭， ) ，得到调和函数 妒，= 4 ，妒：( 宇，；，) + 风y 。( 亭， ，) 一4 ，( 0 譬) + 岛l n 亭， ( 3 1 4 ) 式中如，( j - 1 ，2 ，3 ) 和b o 是待定常数。 把式( 3 1 4 ) 代入通解( 2 2 1 5 ) 得 9 荟4 声+ 风孝，4 2 荟5 ，七l ，4 ，f ，母j 2 善艺以，( 3 1 , 5 a ) = 2 砉e ，4 ，一孔。岛古，q = z 套e ，4 i + 2 c 。b o ， 巳一2 哆4 j ，魄= o ( 3 1 5 b ) 式中 g = c 6 - - $ ；o ) j ( 3 1 6 ) 空心圆板在均布径向压力、均布轴向拉压和等温增共同作用下的边界条件为 卜。吼 。0 ，1 ) ，降唱 亭一磊 一o ，1 ) ： = 0 ，考一h 2 ： = o ， ( 3 1 7 ) l 毋= c 1 母= c 将式( 3 1 5 ) 代入边界条件( 3 1 7 ) ( 注意量a 1 ) ，得到 2 醯荔8 4 - 2 c 6 风i 靠，2 e j 4 j 一2 c 6 玩2 吼， 2 荟q 4 ，。p ，2 著4 。c ( 3 1 8 ) 当p = 0 ，c = 0 时，由方程( 3 1 8 ) 给出4 ，( ，；1 ，2 ，3 ) 和b o 的解，再代入式( 3 1 5 b ) 得到空，c - - , n t n 圆板在均布径向压力作用下热弹性场的应力解为 咚2 赞+ 哗古， 硕士掌位论文 q 一蟹一智 d f = 瞻0 ( 3 1 9 ) 当q 。一q 1 = 0 ，c = 0 时，由方程( 3 1 8 ) 给出以，( j - 1 , 2 ，3 ) 和的解，再代入式( 3 1 5 b ) 得到空心圆柱和圆板在均布轴向拉压作用下热弹性场的应力解为 d 一；f 菇一0 ，盯；一p ( 3 1 1 0 ) 当q 。一q 。一0 ，p = 0 ，由方程( 3 1 8 ) 给出4 ，( ，= 1 , 2 ，3 ) 和b o 的解，再代入式( 3 1 5 b ) 得到空心圆柱和圆板在等温增作用下热弹性场的应力解全为零，即 咚。吩= 。r 棼一0 ( 3 1 1 1 ) 此时全场温度均匀增高c 。 式( 3 1 9 - 1 1 ) 表明以上三种载荷作用下的应力解与材料的物理系数是无关的，甚 至与几何形状也是无关的，如式( 3 1 1 0 - 1 1 ) 所对应的空心圆板在均布轴向拉压和等温 增作用下的解。 此外，边界条件( 3 1 7 ) 0 0 的温度增量还有如下提法； 亭。最( 七。o ，1 ) ：娑。o ( 圆板侧面绝热) ，；h i 2 ：毋。c ( 3 1 1 2 a ) 或 宇；氕 ：o ，1 ) ：毋：c ， ；：h i 2 ：冀。o ( 圆板上下表面绝热) ( 3 1 1 2 b ) 此时将方程( 3 1 5 ) 代入边界条件( 3 1 7 ) i n ( 3 1 1 2 ) ，同样可以得到式( 3 1 8 ) 。即热 弹性场是一样的。 3 2 圆板的纯弯曲解 图3 2 为一在纯弯曲作用下的空心