（应用数学专业论文）关于一类不可微非线性规划的约束品性及其相关理论.pdf

关于一类不可微非线性规划的约束品性 及其相关理论 摘要 本论文讨论一类在凸集上目标函数为l i p s c h i t z j ! 至续的向量函数的带 有可微不等式约束及可微等式约束的非线性多目标规划问题( y p ) ，这是 一类非凸非可微多目标规划问题本论文讨论了广义k u h n t u c k e r 型最优 性必要条件及充分条件，广义鞍点型最优性条件，广义l a g r a n g e 型对偶理 论以及广义m o n d w e i r 型对偶理论共分四部分 第一章综述了非凸非可微多目标规划的研究进展，并介绍了本论文所 要做的一些工作 第二章介绍本论文中要用到的一些概念和记号，并给出了若干预备性 结果第一节介绍了本论文所需的关于非光滑分析的基本知识；第二节笔 者结合莎一凸，7 7 一不变凸及d 一致不变凸的概念给出了广义( 莎，p ，0 ) 一d 一 致不变凸，并在此广义凸性下给出并证明了只含有不等式约束的系统的非 光滑择一性定理以及含有等式约束和不等式约束的系统的非光滑择一性 定理第三节介绍了多目标规划中的一些基本知识第四节介绍了本论文所 需要的其他预备性结果及概念 第三章，笔者在广义k u h n t u c k e r 约束品性和广义a r r o w h u r w i c z - u z a w a 约束品性下建立了( y p ) 关于弱有效解，有效解，真有效解的k u h n - t u c k e r 型最优性条件，而且借助非光滑择一性定理，笔者还建立了( y p ) 关 于弱有效解，有效解，真有效解的鞍点型最优性条件 第四章笔者在广义( 莎，p ，口) 一d 一致不变凸，广义( 莎，p ，0 ) 一d 拟一致 不变凸及广义( 莎，肛0 ) 一d 伪一致不变凸的条件下讨论了( y p ) 关于弱有 效解的广义l a g r a n g e r , 寸偶型理论及广义m o n d w e i r 型对偶理论 关键词：非凸非可微多目标规划，最优性条件，对偶理论，广义( 莎，p ，口) 一d 一致不变凸，非光滑择一性定理 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：关 j 、厶 日期：川z ， 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：1 学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 研究生签名：芡p j 、刍导师签名：彳务伊缓垂垂日期：矽以i ) ， 、绪论 ( 一) 、多目标最优化问题的产生 多目标最优化是近5 0 年来迅速发展起来的一门新兴学科，作为最优化的一个 重要分支，它主要研究在某种怠义下多个数值目标的同时最优化问题。多目标最 优化的起源可以追溯到经济学中a s m i t h ( 1 7 7 6 年) 关于经济平衡和f e d g e w o r t h ( 1 8 7 4 年) 对平衡竞争的研究特别是著名经济学家v p a r e t o ( 1 8 9 6 ，1 9 0 6 年) 在经济福利理论的 著作中，不仅提出了多目标最优化问题，并且还引进了p a r e t o 最优化的概念，这对多目标 最优化学科的形成起着十分重要和深远的影响多目标最优化问题从p a r e t o 正式提出 至l j j o h n s o n 的系统总结，先后经过了六、七十年的时间但是，现代多目标最优化学科的 正式形成始丁本世纪5 0 年代，众所周知，t c k o o p m a n s ( 1 9 5 1 年) 从数量经济学角度对多 目标最优化所作的纂本工作，以及h w k u h n 和a w t u c k e r ( 1 9 5 1 年) 关于向量极值的 一些研究为这一学科的建立奠定了重要的基础稍后，l h u r w i c z ( 1 9 5 8 年) 把多目标最 优化问题的研究推向了一般的拓扑向量空日j ，终于使这一学科的抽象理论为数学家们 所广泛接受从此，不少著名数学家先后转入这一领域的研究，并取得了很多有意义的成 果到现在为止，多目标最优化不仅存理论上取得重要成果，而月在应用上也越来越广 泛，多目标决策作为一个工具在解决丁程技术，经济、管理、军事和系统工程等众多 领域的问题也越来越显示出强大的生命力 在多目标最优化问题的研究方向中，非可微多目标规划足一个重要研究方向，它 不仪具有理论意义，而且在物理或化学试验j 的数据拟合、最优控制和工程优化 设计中的许多问题以及经济管理等方面也有广泛应用臼7 0 年代开始，f h c l a r k e , a d i o f f e 和j e a u b i n 从不i 一角度出发，各自研究了非光滑函数的广义梯度，现在非光滑 分析已经形成了一个庞大的家族，非光滑分析的发展直接刺激了非可微优化的研究，近 年来国内外学者都非常重视非可微多目标规划的研究，并且取得了较为丰硕的成果( 见 文f 1 】- 【7 】) ( 二) 、非可微最优化问题的研究现状及本学位论文主要的研究工作 奉学位论文考虑如下非凸非光滑多目标规划： ( y p ) 卿，( z ) = ( p ) ，2 ) ，厶 ) ) 其中s = x c ：9 ( $ ) 墨0 ，h ( x ) = o ) ，c 为r “中的凸子集z g ， 分别为r ”上的局 i 豁l i p s c h i t z 连续的p 维向量函数，m 维可微向量函数及碰匡可微向量函数 1 众所周知，约束始性对非线性规划一i 一的k u h n - t u c k e r 必要条件最优性判别准 则的建市起着极其重要的作用m a n g s a r i a n 存文【8 】中对可微非线性规划给出 了包括k u h n - t u c k e r 和a r t o w h u r w i c z u z a w a 等一些常见的约束品性及其相互问 的关系，从而可以看出k u h n - t u c k e r _ 穰a l r o w h u r w i c z - u z a w a 这两个约束品性是 可微非线性规划中最其代表件的约束品性c l a r k e 在义【9 j 中对问题( 矿尸) 中p = 1 时，在，与g 都是局部l i p s c h i t z 函数，c 为闭集( 不。定为i n l ) 时提出了c a l m n e s s 约束 品性，并在c a l m n e s s 约束品性卜建立了著名的k u h n - t u c k e r 型最优性必要条件，但 仅论证了s l a t e r 约束品性、m a n g a s a r i a n - f r o m o w i t z 约束品性及它们的推广均可 推出c a l m n e s s 约束品性下面笔者将给出非线性规划例子表明c a l m n e s s 约束品性 与k u h n - t u c k e r 约束品性和a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约束品性之间相对独立的关系 例1 该例笔者将表明k u h n - t u c k e r 约束品性或a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约束品性 并不包含c a l m n e s s 约束品性 ( q 1 )r a i n ，o ) = 一z ， s t g l ( x ) = z + 矿耋0 ， 9 2 ( x ) = - - x 2 三0 ， z c = z r ：z 耋1 2 显然，问题旧1 ) 的可行集为s = o r ：喾耋o ，牙= o 问题( q 1 ) 的最优解，以 及v 夕l ( 牙) = 1 ，v 夕2 ) = 0 假设d 鹂则等式d r v g , ( 盂) 耋0 ，i = 1 ，2 有解 d r ：d 耋o ) 定义在【o ，1 】上的 可微函数： e ( o 一雪+ a t d ，对某些a 0 ， 则e ( o ) = 牙= 0 ，e ( t ) s 及4 ( 0 ) = a d 因而( q 1 ) 在量处满已k u h n - t u c k e r 约束品性同 样地，易证( q 1 ) 在童也处满足a r r o w h u r w i c z u z a w a 约束品性 对任意的整数七 o ，定义m = ( 0 ， ) ，扩= 则当后一+ o 。时热一( 0 ，o ) r ， 扩一。且矿侮+ 、 b ) n z c ：z + 。3 0 ，一z 2 + 素o ) ( 其i j - 。b 是酞叫1 单位开 球) 然而， 丛生掣：二学：一弧一。( 七。) 慨i 一”。一” 由文 9 1 中的c a l m n e s s 约束品性的定义知，( q 1 ) 不满足在雪处的c a l m n e s s 约束品性 综合，知，问题( q 1 ) 在最优解牙处满足k u h n - t u c k e r 约束品性及a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约束品性，但不满足c a l m n e s s 约束品性 2 例2 ：该例笔者将用来说明c a l m n e s s 约束品性并不意味着k u h n - t u c k e r 约束品性 或a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约束品性 显然，孟= ( 0 ，o ) t 是( q 2 ) 的最优解，且，渖) = 0 由于9 ( z l ，z 2 ) 在牙处是不可微的，因 而( q 2 ) 在毫，1 ；满足k u h n - t u c k e r 约束品性及a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约束品性又矿( o ) = 0 ，v ( p ) = 一矿， h r a 删i n r 半- v ( 0 ) p 刨凹r 并p = 。 一 p _ o fi p o il 由文【9 】中的命题6 4 2 知( q 2 ) 满足在牙处的c a l m n e s s 约束品性因此，问题( q 2 ) 在牙= ( o ，o ) 7 处f i 满足k u h n - t u c k e r 约束品性及a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约束品性，但满 足c a l m n e s s 约束品性 当p l 时，如下足一类广为研究的非线性不可微规划问题： ( p ) r a i n ( x ) + 妒( 卫) s t a ( x ) 0 ，z d c 与夕如上定义，：r “一取，是可微的，妒是p 上的正常凸函数 文【1 0 j 色当0 ) ；0 丁b z ) m 及c = 戤时提出了问题( p ) ，并且在某个复杂的约束 品性f 得出了一个必要条件，文【1 1 】将该问题推广到广义分式规划问题，且在文【1 0 】中 的约束品性下得到了相应的必要条件及w o l f e 型对偶文【1 2 】对文 1 0 1 所考虑的问 题，当y , g 都为凸函数( 不一定町微) 时，在s l a t e r 约束品性下得到了相应问题必要条件 文f 1 3 】在广义k u h n - t u c k e r 约束品性或广义a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约束品性的条 件下得到了问题( p ) 的k u h n t u c k e r 型必要条件而文【1 4 】，文f 1 5 】也是在广义s l a t e r 约 束品性下建立k a r u s h - k u h n - t u c k e r 型必要条件，但至今尚未见到在k u h n t u c k e r 约 束品性或a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约束品性下来研究这类非可微非凸多目标规划 的k u h n - t u c k e r 型必要条件而本学位论文正是在广义k u h n - t u c k e r 约束品性或广 义a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约束品性下分别给出( y p ) 的弱有效解，有效解及g - 有效解 的k u h n - t u c k e r 型必要条件 凸性假设在最优化问题的最优性条件和对偶型理论的研究中起着主导作用为了 减弱凸性的限制，各学者先后提出了各种不同的广义凸函数h a n s o n 在文 1 6 】中定义 3 0 h 哪番贮 = = 勘瑚z z z “吠 _ “ 力q 了可微不变 函数的概念，并证明了在该不变i n l 下的k u h n - t u c k e r 型允分条件而罗一 凸函数，即叫i 变凸函数，p 凸函数以及一致4 ；变凸函数则分别在文【1 7 l ，文b 8 1 ，文【1 9 】和 文 2 0 】中被提出并研究在文【2 1 】中，p r e d a 对可微多只标规划定义了广义( 箩，p ) 一凸函 数，它是矿一凸函数和广义矿凸函数的推广最近，文【2 2 】提出了关于向量函数的不 变凸的一种最新的推广形式：v - 不变凸函数z a l m a i 在义 2 3 】中结合莎一凸函数，矿凸 函数及v - 不变i n f 函数的概念给出了广义( 矿，q ，n 口) 一y i n l 函数，并在该广义凸 卜分别给出了一系列关于广义分式了集规划问题的含参数及不舍参数的全局最 优性充分条件和对偶理论而在非光滑方面，也有诸多文献研究将凸性推广到局 部l i p s c h i t z 磊数，其主要思想是用c l a r k e 广义梯度替代各种町微广义凸中的经典导 数，如文【1 6 】，文【2 4 】，文【2 5 】等；也有用c l a r k e 定义的方向导数替代经典导数，如文【1 4 】基 于以上备利- 推广凸性的思想及方法，笔者在本学位论文- l 在结合莎一凸函数牙不变凸函 数及d 一致不变凸函数的基础，卜，在非光滑的i j i 提下给出了广义非光滑( 莎，岛口) 一d 一 致不变凸函数的概念，并研究了该，“义凸的一些性质同时，在，“义非光滑( 莎，n 口) 一d 一 致不变凸，广义非光滑( 莎，p ，口) 一d 拟一致不变凸及广义非光滑( 莎，p ，口) 一d 伪一致不 变凸的条件下，笔者讨论了k u h n - t u c k e r 型充分条件，鞍点型充分条件，广义鞍点型对偶 理论及广义m o n d - w e i r 型对偶理论 众所周知，关丁广义凸的择一性定理存很多应用方面，特别是广义凸规划问题的最 优性条件及其对偶理论起着极其重要的作用在过去的2 0 年里，彳艮多关于次似凸函数 的择一性定理相继被提出例如，c h e n 和r o n g 在文 2 6 】中提出了关于拓扑空间中的锥 次似凸的广义g o r d a n 择一性定理n l e s 和k a s s a y 在文【2 刁中则给出了似凸的f a r k a s 型 择一性定理并建立了含有混合约束的次似i 九i 规划问题的最优性条件对其他类型的广 义似凸函数，读者可参考文【2 8 1 ，文 2 9 1 ，文 3 0 1 。当然，除了似凸及广义似凸函数，关于不变 凸函数也有相应地择一性定理b r a n d o 等人在文 3 a 】中提出了只含有不等式约束的不 变凸g o r d a n 定理并且通过将其中一个选择转化成带约束的最小值问题来证明该定 理的正确性不久s a c h 等人在义【3 2 l 中给出了不变凸函数的子集：精细不变凸函数，并且 通过与文 3 1 】i i t 相同的方法证明了含有混合约束的精细不变凸函数的择一性定理，但 是，定理成立的条件却比文 3 1 】中的强纵使某些广义凸存在相应的择一性定理，但是从 前面的讨论知道这些择一性定理只使用于某种特定的，“义凸函数，例如文1 3 2 】中的择 一性定理只适用于精细不变凸函数，而精细不变凸函数只是不变凸的一个子集，其适 用范围较文【3 1 】中的更为狭窄因而笔者在本学位论文中在非光滑广义( 莎，p ，p ) 一d 一 致不变凸的条件下，给出并证明了一些基本的择一性定理而这些定理不仅适用于非 4 光滑广义( 穸，p ，0 ) 一d 致不变| 兀i 函数，也同样适用于i n l 函数，岁- 凸函数，7 一不变凸函数 及d 一致小变凸函数等而文 3 1 1 与文 3 2 1 中捉到的掸一性定理为本学位论文中非光滑 择一性定理的特殊情况 5 二、预备知识 ( 一) 、关t - 非光滑分析的基本知识 设r “是佗维欧氏空间，x 为r “的非空子集z = l ，现，z 。) t , y = ( y l ，耽， ) ? r “，并规定 z 2 暑， 暑， z 兰y z y 1 2 o r ；+ 当且仅当 当且仅当 当且仅当 当且仅当 当日仅当 当且仅当 以= 玑，i = 1 ，2 ，n ； 戤 鼽，l = 1 ，2 ，n ； 鼢至y i ，i = 1 ，2 ，川 至执，l = 1 ，2 ，n ，但z 暑； z r ”，z 至0 ； z r ”o 0 定义2 1 ( f 3 3 】) ：函数毋：x r 称为x 上的局部l i p s 出t z 函数，如果对x 上的任 意闭子集b ，存在一个常数k 使得对b 中的任意z ，”，有 i ( 可) 一( 。) i 耋k i i 暑，一。， 其中| 1 i i 为欧氏范数 从而 对舻中的任意d ，矿( 。；d ) 为a a r k e 定义的广义方向导数 矿( z ；d ) = l i m s u p t 一1 眵 + t d ) 一妒( ) j 簟盅t i o 鲫( z ) = 代r ”i r d 耋矿( z ；d ) ，对任意的d r “ 其中a ( ) 为c l a r k e - 义梯度同时，在茁处的d i n i 导数为： 显然， ( z ；d ) = l t i l m 。f 一1 渺( z + t d ) 一 ) 】 扩( 茹；d ) 至( z ；d ) 6 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 引理2 1 ( 1 9 】) ： 设 ( z ) ，2 0 ) ，p ) 为x 上的局部l i p s c h i t z 函数，则 ( 1 ) 对任意标量啦，a ( 啦五) ( z ) c n i a 五扛) ； ( 2 ) 对任意标量a ( q ，) ( z ) = a o f ( x ) ； ( 3 ) a m , a a 列( z ) c k a 凡( z ) ：a 。兰0 ，a 。= 1 ) ，其中u = t ，i 厶( z ) = - 一 u e ut ， 恶誉，t ( z ) ； ( 4 ) 对十函数 一f o ( z ；钉) 是正齐次的，l n l 的，且尸( z ；一t ，) = ( 一，) o ( z ；口) 引理2 2 ： ，2 ，一，厶为x 上的局部l i p s c h i t z 甬数，c 为x 上的凸子集，牙c 如果存在天略，壹元：1 ，对任意的茹c ，存在等张 ) ，使得壹元( 等) t ( x - - 牙) 至0 i = 1 i = 1 则存在磊o a ( ：0 ，使得对所有的z a 壹元( 6 ) r p 一牙) 兰0 t = l 证明： 由式( 2 2 ) 可知对任意的i “= 1 ，2 ，力， 岔( $ ； ) = m a x f 训6 a ( z ) ) ，对任意的u r “ 由题意得 r a ，。i c n 萎天t 厅( 牙；驴一牙) 2m ，。i c n ；元m a ) c 擘 一动：6 a 五( 牙) ，= o 不妨设孟= 0 ，由式( 2 ，1 ) 易知疗( 0 ；0 ) = 厅( 孟；0 ) = 0 , i = 1 ，2 ，v ，n 故 船x 露( 雪；! ，一牙) 2 足月( o ；o ) = o z = lt = 1 考虑如下两个集合： p q = ( 弘p ) r 州ip 兰元露( o ；t ，) ) ， i = 1 c 2 = ( 锄，肛) r n + 1 l t ，c ，z 耋o ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 足月( o ； ) ， t = 1 r i q = ( ，p ) r n + 1 i 口r i g p ) 。尹( z ，孟；f ) + p d ：( 0 ( x ，牙) ) ( 2 1 2 ) 定义2 5 ：函数r 被称为在牙处犬丁5 ，西为( 箩，a 回一d 拟一致不变凸，如果存在 函数5 ：r n r n r + + ，函数西：r r ，函数d ：r r i $ f 足d ( 0 ) = 0 ，函数伊： 舻舻一r + 满足百( z ，y ) = 0 当且仅当茁= 讥以及实数卢r ，使得对所有的x ，对 所有的f a r ( 牙) ， 占( z ，雪) 西f r ( ) 一r ( 牙) 】耋0 = 争。尹( z ，牙；f ) 三一j 配产( 百( 。，童) ) ， ( 2 1 3 ) 或者等价地，对所有的f a r 忙) ， 。尹( z ，牙；f ) 一声d 2 ( 伊( z ，牙) ) ：孛5 ( z ，雪) 西【r ( 茁) 一r ( 孟) 】 0 ( 2 a 4 ) 9 定义2 6 ： 函数r 被称为在牙处关于5 ，西( 严格) 为( 莎，芦，口) 一d 伪致不变凸，如果 存在函数舌：p 及“一r + + ，函数每：r r ，函数d ：r r 满足d ( o ) = o ，函 数扫：舻r n r + 满足百( z ，暑，) = 0 当且仅当z = y , v a 及实数卢r ，使得对所有 的z x ，对所有的f a r ) ， 。尹( z ，孟；f ) 三一声d 2 ( 吾( 。，王) ) = 争5 ( z ，童) $ 【1 1 ( z ) 一【、( 孟) l ( ) 兰0 ， ( 2 i s ) 或者等价地，对所有的f 卯( 孟) ， 5 ( z ，孟) 西【r ( z ) 一r ( 牙) 】( 耋) 0 = 争。尹( 。，雪；f ) y ；町c z ，s ，= y ；，； = 馏写栅彩耄；嘶m ，= h 耄； 妒( y ) = 3 v 以及p ( x ，y ) = 一3 显然由定义2 4 知，在舻一卜为( 莎，p ，0 ) 一d 一致不变凸 然而，在舯上不是不变凸函数凼为当2 = - - 3 ，寥= 1 f b ，f ( x ) 一f ( y ) 野( 。，爹) r v f ( y ) 。 ，在r “上不是凸函数因为当z = - - 3 ，暑，= l 时，f ( x ) 一f ( y ) 一暑，) r v f ( y ) ，在r ”上不是穸一凸函数因为当z = - - 3 ，y l 时，f ( x ) 一f ( y ) 0 一暑，) r v f ( y ) = 。尹( o ，y ；v ，( 3 ，) ) ，在r ”上不是d 一致不变凸函数因为当x = - - 3 ，y = l 时，b ( x ，暑，) 妒( ，( z ) 一，( 暑，) ) 7 ( z ，暑，) 丁v f ( y ) = f t ( 暑，；叩( 。，暑，) ) 为了更好的理解及运用非光滑( 岁，p ，p ) 一d 一致不变凸函数，笔者讨论了( 箩，p ，0 ) - - d 致不变n 的些性质首先由定义2 4 及引理2 1 立即可以得到性质2 1 性质2 1 ： f 在! ，处关于6 ，为( 萝，p ，0 ) 一d 。致不变 ，则对任意的标量，f - f 也 是在y q 1 ：关于6 ，为( 穸，p ，8 ) 一d 一致不变凸 性质2 2 ： 设为正齐次的，r 在耖处关于6 ，矿为( 箩，p ，口) 一d 一致不变凸，对任意的 标量s r + + ，s r 在剪处关于6 ，妒为( 罗，藏0 ) 一d 一。致不变n ，其一i - 声= s p 证明： 由定义2 4 知，存在函数b ：r n r ”一r + + ，函数：r r ，函数d ：r r 满足d ( o ) = 0 ，函数口：r ”r “一r + 满足护( z ，y ) = 0 当且仅当z = y ，以及一实 数p r 使得对所有的z 酞”，对所有的专a t ( y ) ， 6 ( z ，y ) 【r ( z ) 一r ( 耋，) 】至。尹( $ ，s ，；f ) + p d 2 ( 口( z ，暑，) ) 由引理2 1 ，妒与莎的正齐次性及式( 2 1 7 ) 可得对所有的s f o s r ( y ) ， b ( x ，暑，) 【s r ( z ) 一s r ( 剪) 】兰。尹( z ，；s ) + s p 铲( p ( z ，暑，) ) 故8 r 在处关于6 ，妒为( ，芦，p ) 一d 一致不变凸，其中声一s p 1 1 ( 2 1 7 ) 性质2 3 ： 令g ，f 在掣处关卡6 咖分别为( 莎，p ，p ) 一d 致不变n 和( 萝，磊口) 一d 一 致4 i 变凸，如果毋是超线性的，f + g 存处天t - b ，矿为( 莎，声，p ) 一d 一致l i 变凸，其中声= p + 西 证明： 由定义2 4 戋1 1 ，存在函数b ：x x 一豫+ + ，函数：r r ，函数d ：酞一 r 满足d ( 0 ) = o ，函数p ：r “r ”一r + 满足p ( z ，y ) = o 当且仅当z = y ，以及实 数p ，卢r 使得对所有的z x ，对所有的f o g ( y ) ，( o f ( y ) b ( x ，u ) i c ( x ) 一g ( 爹) 1 至。罗( 。，童，；f ) + p 沪( 联。，彩) ； 6 ( 。，暑，) 【f ( z ) 一f ( 暑，) 】兰。尹( 。，暑，；( ) + 卢沪徊( z ，暑，) ) 由的超线性，穸的次线性，式( 2 1 8 ) 和式( 2 1 9 ) 可知 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) b ( x ，童，) 【( g ( $ ) + f p ) ) ( g ( ) + f ( y ) ) 】 至b ( x ，3 ，) 【g ) 一g ( y ) 】+ b ( z ，y ) 【f ( z ) 一f ( 暑，) 】 兰尹 ，；f ) + 。笋0 ，y ；e ) + ( p + f i ) d 2 ( o ( x ，分) ) 。芗 ，暑，；f + ( ) + ( p + p ) 4 2 徊 ，暑，) )( 2 2 0 ) 由引理2 1 中的( 1 ) 及式( 2 2 0 ) 可知f + g 在可处关于6 ，为( 罗，声，p ) 一d 一致不变凸，其 n i 务= p + 夺 2 、非光滑择一定理 在本小节t f ，笔者将给出几个基本的关于( 莎，p ，口) 一d + 4 致不变 的非光滑择一定 理 令c 为r “的凸子集，由文【3 4 】知d 也为r ”的凸子集，= 1 ，2 ，一，p ，f = ( ，2 ， ，厶) r 为存x 上局部l i p s c h i t z i 壅续的向量函数定义 & ( z 。) = z ：z 跫n ，0 $ 一。j i a ) ， 鼠( 。) = 。：z r n ，l i z z 。0 耋o ) ， 其中矿p 是给定的向鼍，a 为一给定的数令e n ( f ) = q ：呼，歹( 茹) + o o 引理2 3 ：如果以下条件被满足： 竹t ( 1 ) c cn e d ( 五k i = 1 ( 2 ) 五( z ) ，i j ( 2 ) 在舻上关于6 ，为( 莎，店，0 ) 一d 。致不变 ，毋为超线性的，r e ( a ) 至0 净口兰0 , p i 至0 ； 则下面两种情况恰有一种发牛： ( a ) 系统，1 0 ) 0 ，2 0 ) 0 ，厶0 ) 0 ，z c 有解 ( b ) 存在a j o 使得对任意的z a 有九a ( x ) 兰0 z 1 证明： 显然，( a ) 与( b ) 不能同时成立现假设( a ) 不成立，则笔者断言， 系统 ( 。) 0 ，2 0 ) 0 ，厶( z ) 0 ，z 0 尤解( 2 2 1 ) 假若不然，存在孟a 使得 ) 0 ，2 ) 0 ，p ) o ，使得任意z m ( 孟) ，有 ( z ) 0 ，尼 ) 0 ，厶 ) 0 又牙d 故 b ( 孟) n c a ，则存在量c 使得 ( 圣) 0 ，2 ) 0 ，一，厶( 圣) 0 ，与 假设( a ) 不成立矛盾而由cc e d ( a ) 及 的l i p s d l i t z 连续性可知dc 甬e d ( a ) = 1 t = 1 令妒 ) = m a i x f ( x ) - 对任意的z 0 ，定义，他) = “，：五( z ) 2 妒 ) ) 则可断言 妒 ) 至0 对任意的z e ( 2 2 2 ) 事实上，若妒( z ) o , 贝i j a ( z ) 0 ，i = 1 ，2 ，p ，这与( 2 2 1 ) 不成立的假设矛盾妒 ) 为有 限个函数的最大值，易证妒缸) 在e 卜l i p s c h i t z 连续令鼠( o ) 为中心在原点的闭超球，且 使得01 3 鼠( o ) d 则妒( z ) 在en & ( o ) 上达到极小值令。一o o ，则妒o ) 在z 。e 处达 剑极小值由文【9 】中的性质2 4 3 可知 0 a ( 勘) + ? 场( z o ) ( 2 2 3 ) 另外，妒( z ) 为有限个函数的最人值，则结合引理2 1 中的( 3 ) 可知，存在6 o a ( z o ) ( i j ( z o ) ) ，m 兰0 ，= 1 以及u 心( z o ) 使得 坨，( ) 0 = 乍+ u ( 2 2 4 ) 坨j ( z o ) 当 gi ( x o ) 时，令m = 0 定义w ( x ) = 叫t 。：r ”一r ，由注2 5 知如存在函数b ，厦d ，口 使得w 为职卜( 莎，五百) 一扣致不变凸函数，而且其中函数声满足。事( 口) 兰o ，卢至 o 由u b ( 孑o ) 得w ( z ) 一w ( x o ) 0 由题设、引理2 2 及注2 5 得对所有的z a 6 0 ，x o ) 妒h l 五 ) 一依五( z o ) 】至。尹 ，x o ；佛6 ) + m 见d 2 p ，掣) ) ，i ，； 1 3 5 ( z ，x 0 ) ；【彬( z ) 一( z o ) 1 =萝( z ，知；u ) + 卢护( 百( z ，暑，) ) 因而，对所有的z d 6 0 ，黝) 砂l m 五 ) 一麓 ( z 。) l lz e l 1 e l j 6 ( z ，z o ) h ，t ( 。) 一m ( z o ) l 。尹( 。，z o ；u ) + 箩( z ，z o ；m 6 ) + 1 , p d 2 ( e ( x ，勒) ) + 声孑( 百( z ，z o ) ) f f 一5 ( z ，x o ) $ 【i 矿( z ) 一i 矿( z o ) 】 。尹q ，x o ；w + m 6 ) + m n 舻徊( z ，。o ) ) + 芦孑( 否 ，z o ) ) i e li e ， 一5 ( 。，z o ) 西p 矿( 。) 一l 矿( 1 r o ) 1 m 以舻( p ( z ，z o ) ) + 卢c i 2 ( 百( z ，勋) ) 一b ( x ，知) 参【( z ) 一( 黝) 】至0 i e l 故对所有的z d m 0 ) 一仉正( 粕) 至0 由式( 2 2 2 ) 及cce 可得，存在7 o 使 t ， 迮， 得对所有的z d 有 证毕 7 i 五( 。) 至0 f 由注2 1 一注2 5 易见引理2 3 同样适用十莎 ，7 一不变| 兀i ，d 致不变凸以及其他一些 广义不变凸另外，如果c 是r “中的开了集( 不一定为凸) ，则对任意的z c ，有a ( z ) = 0 ，则南注2 5 ，引理2 3 中的假设条件3 可去掉即，c 是r ”中的开子集( 不一定为凸) 的情形 为引理2 3 的特殊情况下面笔者应用引理2 3 于凸函数得到如下推论，即关于凸函数 的g o r d a n 定理 m 推论2 2 ( 【8 1 ) ：令 ，厶为r “上的 函数，c 为r “上的非空子集，ccn e d ( ) 则以下之一成立： ( a ) 系统，缸) 0 ，z c 有解； ( b ) 存在a 0 使得对任意的z c ，凡 ( z ) 兰o ； l j 但不同时成立 1 4 证明： 由文【3 4 】知 函数 ，。，m 在i n l 集c 为l i p s c h i t z 连续函数由注2 4 知， ，l ，厶为( 穸，p i ，p ) 一d 一致1 i 变凸函数显然引理2 3 的条件完全满足，因而以下 之一成立： ( a ) 系统，o ) 0 ，z c 有解； ( b ) 存在a o 使得对仃意的z e ，知五( z ) 兰o ； 但不同时成立 关于其他广义凸的择一性定理町通过与推论3 1 类似的方法得到，此处笔者将不赘 述接下去笔者讨论有关r 混合约束( 等式约束和i i 等式约束) 的| 苹一性定理令m = 1 ，2 ，一，m ) ，k = 1 ，2 ，七) 令五， = 1 ，2 ，p ，承，i = 1 ，2 ，m ，i = 1 ，2 ， ，k ，为定义在x ：的局部l i p s c h i t z 函数，且b ( z ) = a j , x 女+ c j ，歹；1 ，2 ，惫 七善1 引理2 4 ：如果以下条件被满足： ( 1 ) cc ( ne d ( 五) ) n ( ne d ( g t ) ) n ( ne d ( ) 弦 = 1t = l j = 1 ( 2 ) 五，i ，g t ，t m ，h i , 歹k 分别夺r “上x - r 6 ，为( d r ，p i ，d d 一致不变 凸，i i ，( 莎，p t ，0 ) 一d 一敛不变凸，t 以( 箩，丹，口) 一d 一皱不变凸j k ，且妒是超线 性的，( 口) 兰0 辛。至0 ，对i ium uk ，胁兰o ； ( 5 ) 系统 ( z ) 0 ，i i ，璺k ( z ) 耋0 ，t m ，h j ( z ) ；= 0 ，j k ，z c ( 2 2 5 ) 无解 则存在o j 至0 ，卢m 兰0 ，不全为零，似，使得对任意的z c 啦五( z ) + 屈鲰( 卫) + 岛( z ) 兰0 i e lt e m j ( 2 2 6 ) 证明： 通过将危他) = o 转化成两个4 i 等式 ) 耋o ；稀l - - h ( x ) 耋0 ，则系统( 2 2 5 ) 无 解意味着五 ) o 由丁牙t i c , c a 文【3 4 】中的定理6 4 槲e a 0 ，使得s ，= ( 1 一a 净+ a 圣 e ，再由l ( z ) 为线性，易推得： l ( y ) = l ( ( 1 一a ) 孟+ a 圣) = ( 1 一a ) l ( 孟) + a l ( 圣) 0 ， 与式( 2 3 1 ) 矛盾因此对任意的z a l p ) = 岛吩( z ) + 岛b ( 。) = 0 j i aj 任取定j o 也u 以，则在条件( 2 3 2 ) 下，町知系统 b 0 ) 耋0 ，歹以，( z ) = 0 ，歹以，z c 的解集合与卜- 面的系统的解集合相同： 吩( z ) 耋0 ，j j 3 如，b ( z ) = 0 ，歹山如，z c 此时系统( 2 2 8 ) 在c 上无解便等价于系统 a ( z ) 0 ，i = 1 ，2 ，一，p ，岛( x ) 耋0 ，j 1 ，2 ，r ) u o ， ( z ) = 0 ，j r + 1 ，七) 如，z c ( 2 3 2 ) 无解注意到此时问题己转化为七一1 的情况，根据归纳假设法假定，存在a ，0 ，岛兰o ， j 1 ，2 ，7 ) u ，岛，j r + 1 ，k i k o ，使得财所有的z c 乏二a t 五( 。) + 声f ( z ) 至0 ( 2 3 3 ) t i j j j 期。 式( 2 3 3 ) 与所需结论相比缺。扛) 这一项，这只需将式( 2 3 3 ) 力c 1 _ 1 2 式( 2