（基础数学专业论文）多连通区域上的算子与k理论.pdf

y9 9 5 3 6 多连通区域上的算子与k 一理论 基础数学专业 研究生；王晓宏指导教师：曹广福 教授 函数空间上的算子理论一直是泛函分析的一个重要课题，它作为数学的一个 分支，已经历了相当长的研究历程，并形成了一整套丰富的理论体系f 1 - 6 】。 不同函数空间上的算予具有不同的特征，算子性质的研究大体上可以分为有 界性、紧性、谱性质、代数性质( 如正规性、亚正规性) 等几个方面但经典的 函数空间都是在以单位圆盘或单位圆周为基础进行讨论的，其各种性质都已经作 了深入的研究，然而就一般区域上的算子，尤其是多连通上的算子，其研究逝不 多见。主要是一些的经典方法和常见结论都不能直接运用，这就决定了对这类算 子的研究就变得十分困难。同时k 理论是研究图形的拓扑性质与其上的算子性 质之间的关系的一坐桥梁，事实上，区域的拓扑性质对于刻划算子空间k 一理论 有着非同寻常的意义，因此，对一般连通区域上的算子及其k 一理论的研究是一 项十分重要的工作 同时，由于区域的一般陛，这就决定了一些重要算子，如t o e p l i t z 算子、h a n k e l 算子、复合算子等等的复杂性，与经典情形相比，这些区域上的算子其性质发生 了较大的变化，因而对一般区域上的算子的研究就显得尤为重要。 本文着重讨论了有界多连通区域上的t o e p l i t z 算子、h a n k e l 算子、复合算子 以及k 理论的有关性质，主要分为以下几个部分： 1 、多连通区域上t o e p l i s z 代数的k 群； 2 、多连通区域上d i r i c h l e t 空间的t o e p l i t z 算子：紧性、谱及指标公式； 3 。多连通区域上d i r i c h l e t 空间的复合算子的有界性、f r e d h o l m 性及k - 性 质 对于定义在有界连通区域上的b e r g n m n 空间，本文首先指出了任意连通区域 上的t o e p l i t z 代数的硒一群总是同构于相应的连续函数代数的硒一群；其次，对 一些特殊连通区域的本性边界的上丽调群和这些区域上的连续函数代数的一 群都作了计算 而对于定义在有界连通区域上的d t r i c h l e t 空间，本文首先给出了t o e p l i t z 算子 的f r e d h o l m 性的等价条件；其次计算了符号为d 1 的t o e p l i t z 算子的谱与f r e d h o l m 指标 最后对d i r i c h l e t 空间上的复合算子的有界性、f r e d h o l m 性与k 性质都作了 一定的刻画 关键词b e r g r n a r t 空间d i r i c h l e t 空间k - 群本性边界本性谱复合算 子t o e p l i t z 算子h a n k e l 算子 o p e r a t o r si nf u n c t i o ns p a c e s m a j o rip u r em a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n tlw a n gx i a o h o n g s u p e r v i s o rlp r o f c a og u a n g f u r e s e 甜c ho no p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o ns p a c ei sa l w a y sa ni m p o r t a n tp r o b - l e mi nt h ef u n c t i o n a la n a l y s i s a sab r a n c ho fm a t h e m a t i c s ，i th a su n d e r g o n e al o n gh i s t o r yo fs t u d y m o r e o v e r ，ac o m p l e t ea n df r u i t f u ls y s t e mo ft h e o r yh a s b e e nf o r m e d o p e r a t o ri nd i f f e r e n tf u n c t i o ns p a c eh a sd i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c s s t u d i e so n o p e r a t o rb r i e f l yi n c l u d eb o u n d e d n e s s ，c o m p a c t n e s s ，s p e c t r u ma n da l g e b r a i c ( n o r - m a la n ds u b n o r m a l ) p r o p e r t y s u c hd i s c u s s i o n s ，w i t hs e v e r a lp r o f o u n dd i s c o v - e r i e sm a d ea l r e a d y , a r em o s t l yc a r r i e do u to nf u n c t i o ns p a c e sd e f i n e do i lt h eu n i t d i s c ；h o w e v e r ，d u et ot h ei n f e a s i b i l i t yo fa p p l y i n gc l a s s i cm e t h o d o l o g i e sd i r e c t l y f o ri n v e s t i g a t i o n s tt h e ys e l d o mt o u c ht h eo p e r a t o r sd e f i n e do ng e n e r a lr e g i o n s ， s p e c i f i c a l l y , o p e r a t o r so nm u l t i p l yc o n n e c t e dd o m a i n s f o r t u n a t e l y ，t h e r em a y b eaw a yo u to ft h i sd i f f i c u l t y , s i n c ek - t h e o r yc o u l dm a n i f e s tp o t e n t i a lr e l a t i o n b e t w e e nt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fe p i g r a p h sa n do p e r a t o rp r o p e r t i e sd e f i n e do n t h e i rt o p o b g i c a ld o m a i n s t h e r e f o r e ，r e m a t c ho no p e r a t o r sd e f i n e do nm u l t i p l y c o n n e c t e dr e g i o n sw h o s ep r o p e r t i e sm a yv a r yd r a m a t i c a l l ya n dr e l e v a n tk - t h e o r y i so fs i g n i f i c a n ti m p o r t a n c e t h i sp a p e rp r o v i d e sd i s c u s s i o no nt o e p l i t zo p e r a t o r ，h a n k e lo p e r a t o r ，c o m - p o s i t i o no p e r a t o rd e f i n e do nb o u n d e d ，m u l t i p l yc o n n e c t e d ( m u l t i - c o n n e c t e d ) 睁 g i o n sa n dp r o p e r t i e so ft h e i rc o r r e s p o n d i n gk - t h e o r y , w h i c hc o u l db ed i v i d e d i n t o ： 1 k g r o u po ft o e p l i t za l g e b r ao nm u l t i - c o n n e c t e dr e g i o n s 2 t o e p l i t zo p e r a t o ro nm u l t i - c o n n e c t e dd i f i c h l e ts p a c e ： s p e c t r ap r o p e r t ya n di n d e xf o r m u l a 3 c o m p o s i t i o no p e r a t o ro nm u l t i - c o n n e c t e dd i r i c h l e ts p a c e ： f r e d h o l mp r o p e r t ya n dk - p r o p e r t y c o m p a c t n e s s ， b o u n d e d n e s s w h i l ef o rb e r g m a ns p a c ed e f i n e do nc o n n e c t e dr e g i o n s ，t h i sp a p e rp r o v e s f i r s tt h a t ：t h eo nt o e p l i t za l g e b r ao na n yc o n n e c t e dr e g i o ni si s o m o r p h i ct ot h e o nt h ec o r r e s p o n d e n ta l g e b r ao fc o n t i n u o u sf u n c t i o n s a l s op r o v i d e dh e r e i na r e c a l c u l a t i o n so nc o h o m o l o g yg r o u p so nt h ee s s e n t i a lb o u n d a r i e so fs o m ec o n n e c t e d r e g i o n sa n do nt h ea l g e b r ao fc o n t i n u o u sf u n c t i o n sd e f i n e do nt h e s er e g i o n s f o rt o e p l i t zo p e r a t o ro nd i r i c h l e tf u n c t i o ns p a c ed e f i n e do nb o u n d e d ，c o n - n e c t e dr e g i o n s ，t h i sp a p e rp r e s e n t st h ef r e d h o l mp r o p e r t ya n df o rs u c ho p e r a t o r w i t hw i t hs i g n so nt h es p e c t r u mp r o p e r t y , f r e d h o l mi n d e xa r ep r e s e n t e d t h ee n do ft h i sp a p e ri sl a r g e l yd e v o t e dt of i n d i n gt h eb o u n d n e s sp r o p e r t y , f r e d h o l mp r o p e r t y , k p r o p e r t yo fc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nd i r i c h l e ts p a c e k e y w o r d sib e r g m a ns p a c e d i r i c h l e ts p a c e k - g r o u p e s s e n t i a lb o u n d - a r y e s s e n t i a ls p e c t r a c o m p o s i t i o no p e r a t o rt o e p l i t zo p e r a t o r h a n k e lo p - e r a t o r 引言 算子理论是泛函分析的一个重要课题，它作为数学的一个分支，已经历了相 当长的研究历程，且已取得了相当丰硕的成果 对于函数空间上算子的研究，大体上可以分为有界性，紧性、谱性质，代数 性质( 如正规性、亚正规性) 等几个方面一些重要算子如乘法算子，复合算子， t o e p l z t z 算子等是人们关注得较多的话题，由于这些算子具有极其重要的理论及 应用价值，例如一些微分算子与积分算子经过f o u r i e r 变换后将会变成函数空间 上的乘法算子，因此对算子的研究是一件有意义的事情 在经典的护( p ) 空间或h a r d y 空间日，上，算子的研究已经形成了一个 丰富完整的理论体系如z h u 吲对b e r g n m n 空间或h a r d y 空间上的三类算子即 t e o p l i t z 算子h a n k e l 算子复合算子的性质作了详细的介绍，r g d o u g l a s 【1 】介 绍了t e o p l i t z 算子的一些基本理论，c a o 睁1 0 】讨论了d i r i c h l e t 空间上的t e o p l i t z 算子的f r e d h o l m 及谱性质等 众所周知，在经典的函数空间上的算子，其符号一般都是定义在单位圆盘或 单位圆周上，这类点集的拓扑性质比较明了然而在很多时候，会遇到一些较为 一般的区域，这时找一个恰当的方法来研究其拓扑性质就显得尤为重要我们知 道，拓扑中的不变量是拓扑学的本质课题，一直是人们努力发掘的方向，而算子 的一理论是连结拓扑学与算子理论的一个很好的桥梁，因而对算子的耳一理论 的深入研究有助于发现区域的一些不变量，这无论是对拓扑学还是对算子理论都 将具有是十分重要的意义然而由于区域的改变，使得很多经典的方法与一些常 见结论都不能直接运用，尤其是t o e p l i t z 算子、h a n k e l 算子，复合算子的一些性 质都发生了较大改变，这就预示着我们的工作将会变得更加困难下面首先介绍 一下本文中涉及的一些重要的定义与记号 设m 是定义在复平面c 上有界连通，非空的开子集，为简便记，以后都称 其为有界连通区域在m 上平方可积的解析函数所构成的集合，记为l 2 ( m ) ，称 为b e r g m a n 空间，我们知道，它是平方可积函数空间l 2 ( m ) 的闭子空间，因而是 h i l b e n 空间而所谓d i r i c h l e t 空间d ( j l f ) 是由导数平方可积的解析函数构成的空 间。也是h ：l b e r t 空间 设m 是有界连通区域。p 是从二2 ( m ) 到l ：( m ) 的正交投影，对任意妒 工一( m ) ，定义具有符号p 的t o e p l i t z 算子为 ，= p ( 1 p ，) ，其中，l 2 a ( m ) 由 巧i 妒c ( 丽) ) 生成的代数称为t o e p l i t z 代数，记为f f ( m ) 对于t o e p l i f z 代 数的研究，在很多文章中都有涉及1 1 】【4 1 【1 1 1 2 】，并形成了一套成熟的理论 记o m 是m 的拓扑边界，一点 o m 相对于工：( m ) 称为可去的，若存在a 的邻域y ，使得任意的，l 2 a ( m ) 都可以解析延拓到m u 矿上相对于瑶( m ) 所 有可去点构成的集合，称为可去点集，记为屏m 而b e r g m a n 本性边界，记为 以m 。是边界上相对于l 2 a ( m ) 不可去的点构成的集合，即 吼m ；o m 一屏m 众所周知，在经典的b e r g r n a n 空间中，有以下正合列 0 _ ，c h 丁_ c + 0 ， 其中t 为单位圆周那么，在有界连通区域上，该结论是否依然成立? 在文f 1 3 】中，已经给了肯定的回答，不仅如此，在本文中我们证明了不同的 有界连通区域有如下结论， j r o ( 丁( m ) ) 垒t o ( 可) ) 充分必要条件是 k o ( c ( 以m ) ) 型( c ( 晚) ) 同时，当有界连通区域m 的拓扑边界为x = 百夏石时，对于边界的上同调群有 1 ( x ) 鲁e y z 并且 k o ( g ( x ) ) 垒o r z 对于多连通区域上d i r i c h l e t 空间中的t o e p l i t z 算子的一系列性质，我们也作 了讨论，并得到与b e r g r n a n 空间类似的结果，主要体现在也存在正合列 0 一x 一丁一c ( 乱一t m ) 一0 。 其中也一。m 为d i r i c h l e t 本性边界，同时，对t o e p l i t z 算子的指标公式也作了计算 我们知道，有关h a r d y 空间上复合算子的研究始于6 0 年代。在其后的几十年 中，人们对于复合算子的研究越来越给于关注，并且沿着多种不同的函数空间得 到推广，如高维h a r d y 空间，b e r g m a n 空间等等在经典的r 或矿空间上，已 经得到大量关于q 及加权复合算子帆q 的结果【1 4 2 2 】而有关d i m c l “e t 空间 上的复合算子的研究尚不多见，最近，m a c c l u e r 2 3 】在加权d i r i c h l e t 空间上讨论 了复合算子值域的闭性以及f r e d h o l m 性质，得到了一些有趣的结果本文就有 界连通区域情形讨论了复合算子的可逆性与f r e d h o l m 性 全文共分三章t 第一章讨论了对于定义在有界连通区域上的b e r g m a n 空间，其上的t o e p l i t z 代数的娲一群总是同构于相应的连续函数代数的一群；并对一些连通区域的 本性边界的上同调群和这些区域上的连续函数代数的一群都作了计算 第二章讨论了对于定义在有界连通区域上的d i r i c h l e t 空间，其上的t o e p l ；t z 算子的紧性与f r e d h o t m 性，并对t o e p t i t z 算子的本性谱与f r e d h o l m 指标作了计 算 第三章讨论了对于定义在有界连通区域上的d i r i c h l e t 空间，其上的复合 算子的有界性、f r e d h o l m 性及k 性质 i i i 第一章多连通区域上t o e p l i t z 代数的k 群 1 1 引言 t e e p l $ t z 算子的发展已有了较长的历史，并逐渐形成了比较完善的体系文 f 2 4 - 2 7 中对t e e p l i t z 算子的性质作了各个方面的研究。然而对t o e p l i t z 算子的系统 阐述，可能最早始于r o n a l dg d o u g l a s 的专著b a n a c ha l g e b r at e c h n i q u e si no p e r a t o r t h e o r y 。该书主要是对单位圆周上的h a r d y 空间情形进行了细致的刻画就单 位圆盘上的b e r g r n a n 空间d i r i c h l e t 空间等等情形，文【7 】【2 8 - 2 9 】中都作了全面的 研究，然而就一般区域，尤其是多连通的情形，其研究尚不多见但是。在实际 生活当中又时常会遇到此类情况，因而对其研究就越显重要然而，由于区域的 改变使得一些常见的方法都不能直接运用，所以对这类算子的研究就变得十分困 难同时算子代数k - 理论是研究区域的几何性质与其上的算子性质之间的一坐 桥梁，所以，对算子空间耳一理论的深入研究对刻画区域拓扑性质有着非同寻常 的帮助，因而，对多连通区域上的算子及其k 一理论的研究是一项很有重要意义 的工作 本章主要讨论在有界连通区域上的b e r g r n a n 空间，其上的t o e p l i t z 代数的硒一 群与连续函数代数的一群之间的关系；同时并对一些特殊连通区域的本性边 界的上同调群和这些区域上的连续函数代数的硒一群作了相应的计算 1 2 多连通区域与k 一群 首先简要说明一下常用的一些定义。其在 3 0 - 3 1 】中都可以找到 定义1 2 1 若在数域c 上的代数a 赋予范数n 一和对合n a + ，使得 a 相对于范数完备，并且对任意的o ，b a ，有脚0 i l a l l l l b lj 以及护口0 = i l a l l 2 ， 则称 为伊一代数 对每个c 一代数a ，都存在唯一的一个含单位的伊一代数五使得 是其 一个理想，并且乃a 掣c ，关于粘贴单位可详见【3 1 】同时对每个自然数n ，令 霸( a ) 是所有以下形式 n 1 1a 1 2 o , 2 t n 2 2 a n l a n 2 的n n 矩阵全体，其中矩阵元素a z a a 记于( a ) 是c + 一代数a 中所有投影的 集合，则有以下t 定义1 2 ，2 ( 半群( a ) ) 设 是一c 一代数，n 是一正整数，记 丁k ( ) ；于( m ( a ) ) ，( ) ) = u 黯1 3 k ( a ) ， 在( a ) 上作二元运算o ： p o q = 出口9 ( p ，q ) 则( 甲。( a ) ，o ) 为半群 易见，当p 凡( a ) ，q ，。( a ) 时，p o q + 。( a ) 现在于。( a ) 上定义等价关 系 o 如下，设p 凡( a ) ，q ( 栅，若存在元口m m 。( a ) ，使得p = 矿q q = w ， 则称p ，q 零等价，记为p oq 若p ，口，p ，于( a ) ，则对零等价与二元运算。有以下简单性质 ( 1 ) 若p 0 口，p ， 0q 7 ，则p 毋口 op ，o q ； ( 2 ) p o q oq o p 定义1 2 3 ( 半群d ( a ) )设( ，。( a ) ， 0 ，o ) 如上定义，定义 d ( a ) = 于( a ) o 对每一p e 于。( a ) ，记叫d 为p 在d ( a ) 中等价类，在d ( a ) 中定义加法； 纠d + l q l d = 【p o 口】。，p ，q ，( a ) 容易验证该定义是合理的，并使得( d ( 枷，+ ) 是一a b e l i a n 半群 2 ： 定义1 2 4 ( 含单位的伊一代数的一群)设a 是含单位的一代数， ( d ( a ) ，+ ) 是相应的a b d i a n 半群定义k o ( a ) 是v ( a ) 的g r o t h e n d i e c k 群，即 j b ( j 4 ) = g ( d ( ) ) 对于一些特殊的伊一代数，我们有 引理1 2 t 3 0 】设m n ( c ) ( n 1 ) 为通常的矩阵，咒为h i l b e r t 空间上的紧算子 代数，则 j 白( m 。( c ) ) 鲁z ，k o ( ，c ) 掣z 设m ，n 是复平面c 上的非空有界连通区域，d a = 如咖为面积测度，工z ( m ) 为 m 上的复值，且满足凡i 卯d a m 的可测函数构成的集合，则工2 ( m ) 为h i l b e r $ 空 间b e r g m a n 空间工。2 ( m ) 是驴( 肘) 中的解析函数构成的子集，则瑶( m ) 为工。( m ) 的闭子空间，所以也为h i l b e r t 空问 令o m 为区域m 的拓扑边界，点a o m 相对于b e r g m a n 空间瑶( m ) 称为可 去的，若存在a 的个邻域y ，使得每一函数i 工：( 肘) 都可以解析延拓到m d v 中，边界a m 上所有可去点记为屏m 而b e r g m a n 本性边界点是边界上相对于 l ：( j l f ) 不可去的点，记为玩m ，即 晚m = a m a r m 命题1 2 2 设m 是有限连通的，即 f 中有有限个洞，则其b e r g m a n 可去边 界仅由r g m 的孤立点组成 证明首先，若刈黾a m 的孤立点，则存在正数6 ，使得o ( x ，j ) 一f 埘c m 设i 工：( m ) ，则，在d ( a ，一 中有l a u r e n t 展式t m ) = o a ) “ 则有 一o “舻mi i l 2 d a = 6 1 o 打i 妻聃呷d o d r _2”2j(一1dr-oo v 若n 0 ，则c r “+ 1 d r = m ，这说明对所有的n n 时，记 k 仉= l m o l m 一1o o f ：且n 一a i + 1 并规定= i a 。，l 一= o ( m n ) ，同时我们定义从几到c 何) 的映射缸为 谢州加竺 则缸“) c c 僻) 是一俨一子代数让 以= u a k ， 进而由伊一代数序列的归纳极限定理( 见1 3 0 】) ，知， 是以下归纳序列的 归纳极限 1 工几互 3 且 同时不难验证 是g 僻) 的真理想事实上，假设 厶cu o o = 。几满足 0 l 。( 厶) 一l m ( ，k ) 0 * 0 ， 那么对任意z d ，m - o ) 若对任意的n ，z o 仉，则( 允) 0 0 ) = o 这说明 i t k , ( f k , ) ( z o ) - - f ( = o ) l2 詈 与嵋( 如) ( z o ) = ，( z o ) = 0 矛盾因此i l l k ( k ) 一川。，0 成立由函子的连续 性，有 k o c h ) = 1 缈硒k ) = l 睁k o ( c ( d k ) ) = l i r a o z = o r z 七七 因为r ”是单点集，则有 c ( x ) 兰以0 c 所以 k o ( c ( x ) ) = k o ) o 耳o ( c ) 垒0 r z 定理得证 定理1 5 2 设m 是复平面上的一连通区域，其拓扑边界为x = i d 茎lx t ，其 中五是圆周若酩= r j i f 是一有限点集，则 耳o ( g ( x ) ) 型o r z 证明与定理1 4 3 的证明类似，可以假定r _ | i f = 协) 警。， 仃 x = u 兄， f f i l 其中盂= u 嚣，砖。满足巧n 砖= o o k ) ，则 。 g ( x ) 岂。各l c ( 五) 从而 k o ( d ( x ) ) 兰k o ( o 名l c ( 五) ) 由蜘的性质，有 耳o ( o 各l c ( 五) ) 皇毋饕l i ( o ( c ( 墨) ) 1 7 因此，由引理1 5 i ，有 j 如( e ( x ) ) 兰。翟l 娲( g ( 豆) ) 擘e 5 lo 墨1ze f z 定理得证 推论1 5 3 设m 是复平面上的一连通区域，其拓扑边界为x = i 夏，其 中五是圆周若f _ | i f = f ”是一有限点集，则 换言之，我们有 j 如( 丁( m ) ) 皇e f z ( 丁( m ) ) 垒j r o ( g ( 以m ) ) 垒_ ，r i ( ( o o m ) 第二章 多连通域的d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 算子 主要讨论多连通域的d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 算子的性质，最后给出t o e p l i t = 算子的指标公式 2 1 多连通域的d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 算子 本节主要讨论多连通区域m 的d i r i c h l e t 空间d 上t o e p l i t z 算子的f r e d h o l m 性质，并计算符号在c - ( 丽) 中的t o e p l i t z 算子的本性谱 设m 是复平面c 上有界、连通的非空开子集，由r i e m a n n 映射定理，不失 一般性，可以设m 满足内锥条件即是说，若设d 表示复平面c 上圆心在原点 的单位圆盘，d 池，r i ) ，= 1 2 ，n 表示圆心在a i 半径为r i 的一组圆，满足甄蕊i 互不相交，d ( m ，r 1 ) c c d ，= l 2 ，n ，则可设m = d u 面丽，用d a 表示m 上的单位化面积测度工 是工。) 中满足 。 删 ，。= 厶【l 爱1 2 + l 象1 2 】厶 o o 的函数全体，l 2 , 1 中的半双线性形式定义为 8 u 挑a 1 l 舢 1 2 = l 2 ) + 工( d ) 商去常数后，工2 ，1 构成h i l b e r t 空间应该说明的是，这里的l 2 1 与经典的s o b o e v 空间略有差别，也可以用 删； 五【| 象1 2 + f 象1 2 + m ：】“) 0 ，使得 i i i l l , sc l l f l l d 再由s o b o l e v 嵌入定理及紧嵌入条件知2 7 ( m ) 一l ：( m ) 是紧嵌入故对任意 k c d ，且 o ( k 一) ，i i 0 d = 1 ，则l i ，七0 l 。一0 ( k o o ) 定理得证 引理2 1 2 任意妒c 1 ( 【- ) ，凰，= ( 卜p ) ( 1 p ，) ( v ，d ) 是一个从d 到d 上上 的紧算子 证明对任意，e d ，9 d 上 = t = + + 因g 上d 知纂上工：( m ) ，从而 ，= 凰， ， 其中也是b e r g m a n 空间：( m ) 上以妒为符号的h a n k e l 算子由于凰是工：( m ) 上的紧算子【1 3 】，又由命题2 1 1 知，若协) c d ，且 o ( k 一) ，0 l l d = 1 ， 则l i 怕一0 ( k o o ) 又由于在工：( m ) 中，：二0 。于是 0 彤圳：。= l 。1 1 1 1 。，0 巩圳肼。+ 0 面圳。，0 以圳脾。+ 1 1 a 1 1 。0 圳肼。， 故i i h ，f k l l l ，- 一0 ，即以为紧算子 定理得证 命题2 1 3 对任意妒c 1 ( 面- ) ，是d 上有界算子 证明对任意，g d ，有 = 妒，= 警，加= + k 小，1 1 1 2 d a = o “i 霎彻n r n - - l f * ( n - - 1 ) 0 1 2 d o d r 卅”墅+ 1 ) l + 1 1 2 上一d r 一 一。 若n 0 ，则詹p + 1 d r = ，这说明对所有的n o ，a n , f f i o 因此函数，可解 析延拓到o ( a ，6 ) ，所以 岛一，m 定理得证 定理2 1 9 设m 是复平面上c 上的有限连通区域，贝! id 砑c 钆一。m ，而且 j l f ua d 一，m 是c 的开子集 证明该方法与【1 3 】中基本一致设a 衙，v 是点 的一开邻域，在y 中 一定含有丽外的点7 从而函数0 7 ) 1 i m d ( m ) ，但明显地该函数不能解析 延拓到m u l ，上，故a 巩一。m ，所以a 丽c 如一。m 由可去点的定义，我们知道可去点集是相对开集，所以对任意 m 一，m ， 存在正数d ，使得 口( a ，j ) n a m c 如一，m 由于a 丽ca d 一。m ，所以a 一定为丽的内点从而我们可以适当地选取6 ，使其 同时满足t 口( a ，6 ) c 丽= m u a 胍 所以 b ( a ，6 ) c 肘u 岛一，胍 故m u 如一，m 是c 的开子集 定理得证 定理2 1 1 0 若妒c 1 ( 硒。则巧是d 上的紧算子当且仅当p l a 一盯- - 0 证明：先证充分性设妒l 九一 fz0 ，则萄，i ，是l ：( m ) 上的紧算子1 1 l ，因 五，l 。紧等价于萄训紧，这里用司纠只是为计算简单于是对任意t ) c 工：) ， 二0 ，i i a i i l ，= 1 。有幅，瓜怕一0 一m ) 若不是d 上的紧算子，则存 在 r ) c d ，0 风i i 口= 1 ，见二0 ，使i i 耳最0 雪一0 ，从而4 以忆。- 一0 。即 一。 掣= 笔晟+ 妒警， 掣= 警最， 得 - i i 川2 f , 2 。， o 掣。知= + + + ， 2 4 另一方面，由于0 咒嵫= i i f k l l ；, = l ，且在l ：c m ) 中冠二0 故 = 一0 因此 o ( 妒以f k ) 忡2 一o 这与0 以怕- 一0 矛盾，所以是d 上的紧算子 下证必要性设b 是d 上的紧算子，往证p i 巩一。m = 0 若不然，设| p l 跗0 。 则司纠不是l ：c m ) 上的紧算子【1 】因此存在 ) cl ：( m ) ， 二0 ，0 a 怯= 1 ， 使得愉训 0 胪一0 ，从而 1 1 1 ，o l f k 6 驴一0 ， 即 m 2 协j 2 d a 一0 j m 令兄= 尼f k d w ( z o 是中任意点) ，故f k d ，且有i i f k l l d = i l f k l l p ；1 ，又因对 任意9 d ，有擘，工：( m ) ，于是由 l = 一0 知在d 中风二0 。 且i i f k i i l 。一0 由于紧，有 归；最l i d 一0 ，归：2 ；f k l l 口一0 ， 又因耳一t _ x ( 曰) 与命题4 1 4 的结论，知i i t j p p f k l l 卫一0 ，且 l 一0 即 o ，存在自然数使得当k k o 时，8 a i l l , 0 忆一e ，因为妒c 1 ( 丽) 。 故存在o m 的邻域u ，使得当2 m n u 时，i p ( z ) l k l 时， i i t p a i l 2 i j + e 由 二0 知在髓( j l f ) 上有f i 二0 ，即髭丝叫。0 ( 在m 内任意紧子集上) f l 】，所以有自然数1 ( 2 0 ，当k 硒时，l 一，i t q 2 d a m ( 硒，k 1 ，尼，时，有 所以 进而 i i t j u 2 ( i i 妒i i l + 1 ) e + ( 1 1 i p l a m i i 。+ e ) 2 ， 士盟1 1 0 口si i p 1 8 m 0 一， 定理得证 为方便，下面记x = x ( d ) 8 0 0 c = l i p i o m i l * 定理2 1 1 2 记y _ - - 以c 1 ) 为由 t , , k o c 1 ( 】c - ) ) 生成的c 一代数，则丁的交换 子理想e ( c 1 ) 等于x ，且要皇g ( 如一。m ) ，即下面序列正合， 0 一x 一丁一c ( 如一。m ) 一0 证明 由命题2 1 4 知e c c l ) c 戈，由于e c c t ) 是不可约代数，故e ( c 1 ) = 戈 由引理2 1 5 ，得田】= p 韧，定义f ： 口训l p c 1 ( 丽) ) + c ( 如一。m ) 为 ( 口0 】) = 刊o j 一。m 不难看出f 是定义完善的根据命题2 1 6 ，f 是一一对应，再由命题2 , 1 4 ，引 理2 1 5 与引理2 1 7 知 是一等距同态，可以延拓到告上事实上。对任意 一 i t 毒，存