人教版八年级数学上册《角的平分线》同步练习题（附答案）

人教版八年级数学上册《14.3角的平分线》同步练习题（附答案）

学校:班级：姓名：考号：

一、单选题

1.如图，已知AB〃CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,FG平分NEFD交AB于点G,若NBEF

=70°,则NAGF的度数为（）

2.如图，在VABC中，是高，AE是角平分线.若乙8«=6丫，ZC=70°,则NE4£＞的大小为（）

A.5°B.10°C.15°D.20°

3.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,80是—ABC的平分线，DEJ.AB于点、E.若4C=5,DE=2,

则4。的长为（）

A.2B.3C.4D.5

4.如图，在VABC中，4。为“R4C的平分线，DEJ.AB于E,A3=6cm,AC=4cm,DE=2cmf

则VA8C的面积是（）

A

C.10cm2D.8cm2

5.如图，射线OC平分/ACM,点D。分别在射线0c08上，过点。作OP_L。八于点尸.若

OQ=4,4OOQ的面积为10,则。夕的长为（）

C.4D.3

6.如图，AI3//CD,8P和CP分别平分/A5c和NOC8,AO过点P,且与人8垂直.若人。=8,则

点尸到BC的距离是（）

A.8B.6C.4D.2

7.如图，在RSABC中,ZC=90°,BD是NABC的平分线，交AC于点D,若CD=n,AB=m,则

△ABD的面积是（）

1

A.mnB.ymnC.2mnD.mn

8.如图，AO平分上BAC,QK/AB于点E,DFJ.AC于点F,则下列结论不正确的是（）

A.^AEG^^AFGB.

C.QEG珏DFGD.△BDE^KDF

二、填空题

9.如图，在VA3C中，A£＞平分/84C,AC=3,AB=4,若VA8C的面积为7,则点。到AC的

距离为

10.如图，/ABC内有一点。，使得N。8c=15、过。作Z）EJ_3C于E点，过。作OF//BC交44

于〃点，且DF=FB,若。石=4c〃z,贝心沙二cm.

11.如图，在VA3C中，ZA=45°,ZABC=675°,点、E,尸是内角/A8c与外角ZACO的三等分

线的交点，则N5FE=—.

E

BD

C

A

17.如图，。。平分―498,OA=OB,户为0。上一点，PM工BD于点、M,PN~AD于点、N.求

证：PM=PN.

18.埴空：如图.在V4AC中，人Q平分NR4CDEA.AB,DFJLAC,垂足分别为尽E且月。=O,

试说明A8=AC.

证明：・・・AO平分ZR4GDELAB,DF1AC,

:.DE=(角平分线上的点到角两边的距禽相等).

QDEtAB,DF1AC,

：./BED=ZCFD=

在.Ri^BED与RsCFD中,

BD=CD

・"=()，

:.RMBEgRsCFD(),

二.ZB=Z

：.AB=AC().

19.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等“，要根据题意，画出图形，并用符号表示已

知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.

(1)已知：如图，〃\OC=NBOC,点P在OC上,,求证：.请你补全已知和求证.

⑵并写出证明过程.

20.如图，AB〃CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两点，再

分别以E,F为圆心，大于gEF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.

(1)若NACD=114。，求NMAB的度数;

(2)若CN_LAM,垂足为N,求证：aACN且△MCN.

在VANC'中，。是.边上的点(不与点从C重合)，连接AO.

BDCAB

图2图3

⑴如图1,当点。是8C边上的中点时，S用心S.«D=_；

⑵如图2,当A。是N84C的平分线时，若AB=〃?,AC=n,求，八切：的值(用含“，"的代

数式表示)；

⑶如图3,A。平分N8AC,延长A。到E,使得A。=OE,连接也，如果4c=2,A8=4,SffDE=6,

那么S“E=_.

参考答案

题号12345678

答案CBBCBCBD

1.C

【分析】先根据平行线的性质得出NEG/=/。的，再根据FG平分/OE尸得出田'G=NDFG,根据

等腰三角形的性质和三角形的为角和即可得出结论.

【详解】解：证明：・・・AB〃CD,

，NEGF=NDFG,

：FG平分NDEF,

，NEFG=NDFG,

AZEFG=ZEGF,

VZBEF=70°,

・・・NAGF=NEFG=g(180°-70°)=55°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线及角平分线的性质是解答此题的关键.

2.B

【分析】本题t要考查了三角形的内角和定理.，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之

间的数量关系.由A。是高，NC=70。，可得NC4£>=20。，再日AE是的角平分线，ZMC=60°,

从而得NC4E=30。，进而可求NE4O的度数.

【详解】解：•.•4£）是VA3C的高，ZC=70°,

/.ZADC=90°,

ZC4D=1800-zLWC-ZC=2（T,

•••AE是/84C的角平分线，ZH4C=60°,

ZCAE=-^I3AC=30°,

2

：./LEAD=ZC4E-Z.CAD=10°.

故选：B.

3.B

【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的

关键，由NC=90。，BO是一八AC的平分线，DEJ.AB,DE=2,证明C7）=OE=2,再利用线段

的和差关系可得答案.

【详解】解：:NC=90c,8D是ZA6C的平分线，DEJ.AB,DE=2,

CD=DE=2,

'：AC=5,

/.AD=AC-CD=5-2=3,

故选：B.

4.C

【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作。/上AC于点片

先根据角平分线的性质得到则根据三角形面积公式得到工人8?/无《AC?OF,解答即可.

22

【详解】解：作DFJ.AC于点,F,

A

；AO为/84C的平分线，DE上AB于点、E,。尸工4?于点产，

DE=DF=2cm,

•S&\BD+S&ACD=S^*BC，

：.-AB?DE-AC?DF1仓62+，仓*2=10cm2,

2222

故选：C.

5.B

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点。作。于点M,利用角的平分线的性质得到

DP=DM,利用三角形的面积公式求出QM=5即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点。作。于点M,

;射线OC平分NAO8,DP_OA,DMLOB,

•・・OQ=4,a。。。的面积为10,

•••；OQOM=IO；

,\-x4D/W=IO

2;

解得DW=5,

・•・DP=5

故选B.

6.C

【详解】过点P作PE_LBC于E,

■:AB//CD,附_L48,

APD±CD,

和CP分别平分NA3C和NOC3,

：,PA=PE,PD=PE,

：,PE=PA=PD,

PA+PD=AD=S,

・•・％=-4,

AP£=4.

故选：C.

7.B

作OE_L/W交AB于点E,

•・・B。是N4BC的平分线，ZC=90°,

・••CD=DE=n,

SABE)=—ABDE=—mn.

A22

故选B.

8.D

【分析】先利用证明△AEOgZXA/7。得到AE=ARNEDA=NFDG,ZDAE=ZDAF,从而可以

利用“SAS'证明△AEG0Z\A〃G,ADEGWADFG,由此求解即可.

【详解】解:・・・4)平分N84C,DELAB,DF1.AC,

:,DE=DF,ZDEA=ZDFA=W

9：AD=AD,

•••△AEO丝△AFQ(”L),故B不符合题意；

：.AE=AF,/EDA=/FDG,ZDAE=ZDAFf

*：AG=AG,DG=DG

.•.△4EG^AAFG(SAS),ADEG学ADFG(SAS),故A和C不符合题意；

根据现有条件无法证明^BDEdCDF,故D符合题意；

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握

相关知识进行求解.

9.2

【分析】本题考查角平分线的此质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，设点。到A/3的距离

为h,根据三角形的面积进行求解即可.

【详解】解：设点。到AB的距离为〃，

:4。平分—3AC,

・••点。到AC的距离也为〃，

由题意，得：S^RC=^AB/i^ACh=^(3+4)h=7,

解得：h=2；

故答案为：2.

10.8

【分析】过D作DG_LAB,根据“7/3C得出41=4DBC,又DF=FB,则乙1=乙2,即可证明BA平

分N43C,然后利用30。直角三角形的性质求出DF即可.

【详解】解：过D作DG1AB

-DF//BC

•,.zl=z.DBC

又:DF=FB

.-.zl=z2=1S°

•••Z.2=zDBC

•••BA平分/ABC

•:DE1BC,DG1AB

...DE=DG=4

vz3=z.2+z.l=30°

.，.DF=2DG=8cm

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，求出ABDE是30。直角三角形是解题的关键.

11.52.5°.

【分析】过点尸作于点FNLCE千点、N,尸"_L4£,根据角平分线的性质可得

FM=FH,FM=FN,再由内角和即可求解.

【详解】如图，过点尸作fM_L8C于点M,F7V_LCE1于点N,FH1BE,交班:的延长线于点〃,

,・,点E,产是内角ZABC与外角NACO的三等分线的交点，

厂是NEW）的平分线，

又•：FMA.BD,FH上BE,

:.FM=FH,同理可得=

・•.FN=FH,

又•：FNA.EC,FH±EH,

，EF是ZCEH的平分线，

VZA=45°,ZABC=67.5°,

AZACM=ZA+ZABC=112.5°,ZAC8=67.5。

•:点、E，尸是内角—人BC与外角NAC、。的三等分线的交点，

2II

/.ZEBC=-ZABC=45°,ZACE=-/ACM=-x!12.5=37.5°,

333

・•・/ECB=ZACB+ZACE=67.5°+37.5°=105°,

•••ZBEC=180°-ZEBC-/ECB=180o-45°-105o=30°,

:.Z.CEH=180°-Z5EC=180c-30°=150°,

/.NCEF=NHEF=75。,

・•・NBFE+ZFEC=NECB+ZFBC=105。+22.5°=127.5°,

・••NBFE=127.5°-75°=52.5°,

故答案为：52.5°.

【点睛】此题考查了三角形内用和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理和判定定理，解题

的关键是熟练掌握三角形外角的性质.

12.6

【分析】依据条件可得/以M=/C3O,进而可得出£*〃BC,进而得到^COP中。尸边上的高为4cm,

再根据三角形面积计算公式，即可得到^OR7的面积.

【详解】解：•；BE=OE,

:・/EBO=/EOB,

〈BO平分NA8C,

:・/EBO=NCBO,

：.NEOB=NCBO,

，EF〃BC,

•・•点O到8C的距离为4cm,

・•・△COF中OF边上的高为4cm,

又,:0F=3cm,

/.△OFC的面积为!x3x4=6cm?

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形的面积，判定EF〃BC是解决问题的关键.

13.5

【分析】由AO平分/BAC推出=从而证明出△四度"aXSAS),得到=

ZABD=ZACD,从而证明出△8E0£F3(AAS),得到CE=B"，从而证明出,

得到他=AF,从而证明出AAEZ运△AFD(SAS),得至lJO£=。。从而证明出通瓦注△CFD(SAS),

即可得到答案.

【详解】解：•••4。平分N8AC,

:.^BAD=ZCAD,

在△A3D和“8中，

AB=AC

«/BAD=ZCAD,

AD=AD

.-^ABD^ACD(SAS),

：.BD=CD,ZABD^ZACDt

NDBC=NDCB,

VAB=AC,

ZABC=ZACB,

在V8EC和ACFB中,

NEBC=NFCB

<NECB=NFBC,

BC=CB

.-.△BEC^ACFB(AAS),

;,CE=BF,

在△人防和八4。七中，

AB=AC

<乙ABF=ZACE,

BF=CE

.-.△ABF^AACE(SAS),

:.AE=AF,

在△AED和△AFQ中，

AE=AF

<NEAD=NFAD,

AD=AD

.•.△AED^Am(SAS),

:.DE=DF,

在△班。和△CTO中，

DE=DF

<ZEDB=ZFDC,

BD=CD

/.△BEZ)^ACFD(SAS),

二.全等三角形共有5对，

故答案为：5.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应角相等，对应边机等.

14.15

【分析】根据作图过程得出AP平分NB4C，根据角平分线的性质得出力石=8=6,再根据已知线

段之比求出〃继而可得结果.

【详解】解：由作图可知：AP平分/84C,

•・・NC=90。，点。到A8的距离是6,

/.DE=CD=6,

I3D:CD=3:2,

3等=9,

：.BC=BD+CD=9+6=\5,

故答案为：15.

【点睛】本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质的运用，解决本题的关键是掌握角平分线的性

质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

15.35°

【分析】根据三角形内角的三条角平分线交于一点可知，4。平分NZMC,再由角平分线的定义可以

得至lJ//18C=2NO8C=50。，ZZCT=2Z067^=60°,由三角形直角和定理求出N84C的度数即可得到答

案.

【详解】解：・・・N4BC、NAC8的平分线交于点O,

・・・AO平分N8AC,

・・・N4BC=2NOBC=50。，NAC8=2NOCB=60。，ZOAC=-ABAC,

2

:.ZBAC=}80°-AABC-ZACB=10°,

：.ZOAC=35%

故答案为：35。.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知

识进行求解.

16.见解析

【分析】根据角平分线的性质作出即可.先根据垂直的定义得出乙4。8=9()。，故

N8尸D+NP80=9O。.再根据余角的定义得出4QP+48Q=90。，根据角平分线的性质得出

"3Q=NPBD,再由/BPD=可知ZAPQ=ZAQP,据此可得出结论.

【详解】8。就是所求的/ABC的平分线,P、Q就是所求作的点.

证明：•.•AO_L8c

AZA£>5=90°,

:・/BPD+4PBD=90。.

•・•ZBAC=90°,

/.ZAQP+ZA8Q=90°.

丁/ABQ=4PBD,

：.NBPD="QP.

,/NBPD=ZAPQ、

・•・N4PQ-4QP,

・•・AP=AQ.

【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键.

17.见解析

【分析】由已知容易求证△OBD@Z\OAD(SAS),可得N3=N4,再根据角平分线的性质定理，可

证PM=PN.

【详解】・・・0D平分NAOB,

AZ1=Z2.

在AOBD和^OAD中，

OB=OA

•Z1=Z2,

OD=OD

AAOBD^AOAD(SAS).

，/3=N4.

VPM1BD,PN1AD,

/.PM=PN.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理及其逆定理，由已知能够证明

△OBD^AOAD是解决的关键.

18.DF；90；DF；HL；C；等角对等边

【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角的平分线的性质定理等知识，证明

RidDBWR小户是解题的关键.

由AO平分N84GDE1AB,DF1AC,即可根据直角三角形全等的判定定理证明

Rt^DBE^RtJXJF,得/8=/C,即可证明.

【详解】证明：•・•A。平分N朋GDE1AB,DFLAC,

DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

QDE1AB,DF1AC,

:"BED=/CFD=软.

在RABED与RjCFD中,

[BD=CD

\DE=DF

/.Rt^BE哈RidCFD（西,

/.ZB=ZC,

:.AB=AC（等角对等边）.

故答案为：DF；90；DF；HL；C；等角对等边.

19.（1）PD±OA,PE工OB,垂足分别为。、E；PD=PE

（2）证明见解析

【分析】（1）根据文字描述证明命题”角的平分线上的点到角的两边的距离相等“，结合已知图形即可

写出已知和求证；

（2）根据叨JLO4,PELOB,得到NPDO=NPEO=90。，从而利用两个三角形全等的判定定理得

到△PDO0△尸EO（AAS）,最后利用两个全等三角形的对应边相等得到

【详解】（1）解：已知：如图，NA0C=N80C,点P在。。上，PD1OAPELOB,垂足分别为。、

Ex

求证：PD-PE.

(2)证明：VPDLOA,PELOB,

：.ZPDO=ZPEO=90°,

在和△PEO中，

NPDO=/PEO

<4Aoe=/BOC,

OP=OP

：.APDOAAS),

，PD=PE，

【点睛】本题考查证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的解法步骤，涉及文字描述的

儿何证明题的己知和求证的书写、两个三角形全等的判定与性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定

理及相关性质是解决问题的关驶.

20.(1)33°(2)证明见解析

【详解】(1)解：・・・AB〃CD,AZACD+ZCAB=180°.

XVZACD=114°,AZCAB=66°.

由作法知，AM是NACB的平分线，.\ZAMB=|ZCAB=33°.

(2)证明：：AM平分NCAB,/.ZCAM=ZMAB,

VAB//CD,AZMAB=ZCMA./.ZCAN=ZCMN.

又「CNLAM,.\ZANC=ZMNC.

在△ACN和^MCN中，

VZANC=ZMNC,ZCAN=ZCMN,CN=CN,AAACN^AMCN(AAS).

(1)由作法知，AM是NACB的平分线，由AB〃CD,根据两直线平行同旁内角互补的性质，得

ZCAB=66°,从而求得NMAB的度数.

（2）要证△ACNe^MCN,山己知，CN_LAM即NANC=/MNC=90。；又CN是公共边，故只要再

有一边或一角相等即可,考虑到AB〃