高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第五章 第四节数列通项的求法精讲课件 文.ppt

第四节数列通项的求法 第五章 例1 已知数列 an 中 a1 20 an 1 an 2n 1 n n 则数列 an 的通项公式an 已知递推式如an 1 an f n 解析 由条件an 1 an 2n 1 n n 即an 1 an 2n 1 得a2 a1 1 a3 a2 3 a4 a3 5 an 1 an 2 2n 5 an an 1 2n 3 将以上n 1个式子相加并化简 得an a1 n 1 2 n2 2n 21 答案 n2 2n 21 点评 若数列有形如an 1 an f n 的解析关系 而f 1 f 2 f n 的和是可求的 则可用多式累 迭 加法求得an 1 在数列 an 中 a1 3 an 1 an 则数列的通项公式an 变式探究 解析 原递推式可化为an 1 an 则a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an 1 逐项相加得 an a1 1 即an 4 答案 4 已知递推式如an f n an 1 n 2 型 求通项an 例2 设 an 是首项为1的正项数列 且a2n 1 na2n an 1an 0 求它的通项公式 自主解答 解析 由题意a1 1 an 0 n 1 2 3 由 n 1 a2n 1 na2n an 1an 0 得 an 1 an n 1 an 1 nan 0 an 0 an 1 an 0 点评 若数列有形如an f n an 1 n 2 的解析关系 而f 1 f 2 f n 的积是可求的 则可用多式累 迭 乘法求得an 变式探究 2 已知数列 an 中 a1 4 an 4n 1an 1 n 1 n n 则通项公式为 解析 由an 4n 1an 1可得a2 4a1 a3 42a2 a4 43a3 an 4n 1an 1 上述 n 1 个等式相乘 得an 41 2 n 1 a1 2n2 n 2 答案 an 2n2 n 2 例3 已知数列 an 中 a1 1 an 1 an 1 求an 已知递推式如an pan 1 q n 2 p q为常数 pq 0 p 1 型 求通项an 解析 法一 设 an 1 a an a 得an 1 an a 与已知等式比较 得a 3 即原式化为 an 1 3 an 3 设bn an 3 则bn 1 bn 数列 bn 为等比数列 又a1 3 2 bn an 3 2 n 1 an 3 3 n 法二 an 1 an 1 an an 1 1 n 2 由 得an 1 an an an 1 设bn an 1 an 则数列 bn 为等比数列 又b1 a2 a1 bn an 1 an n 1 n an 1 an n an 3 3 n n n 点评 若数列有形如an pan 1 q n 2 p q为常数 pq 0 p 1 的线性递推关系 则可用待定系数法求得an 具体思路是 设递推式可化为an 1 a p an a 得an 1 pan p 1 a 与已知递推式比较 解得a 故可将递推式化为an 构造数列 bn 其中bn an 则bn 1 pbn 即 p 所以 bn 为等比数列 故可求出bn f n 再将bn an 代入即可得an 变式探究 3 在数列 an 中 a1 1 当n 2时 有an 3an 1 2 求 an 的通项公式 解析 法一 设an m 3 an 1 m 即有an 3an 1 2m 对比an 3an 1 2 得m 1 于是得an 1 3 an 1 1 即 3 所以数列 an 1 是以a1 1 2为首项 以3为公比的等比数列 则an 2 3n 1 1 n n 法二 由已知递推式 得an 1 3an 2 an 3an 1 2 n 2 上述两式相减 得an 1 an 3 an an 1 即 3 因此 数列 an 1 an 是以a2 a1 4为首项 以3为公比的等比数列 所以an 1 an 4 3n 1 即3an 2 an 4 3n 1 所以an 2 3n 1 1 n n 已知递推式如an 1 型 求通项an 例4 2012 浙江冲刺卷 已知数列 an 满足 a1 2且an 1 n n 1 求证 数列为等比数列 并求数列 an 的通项公式 2 证明 n 2 n n 证明 1 由题得an 1 an n 2 n 1 an 即anan 1 nan 1 2 n 1 an 点评 具体思路是 取倒数后得 即化为例3形式的数列 求出 再求得an 变式探究 4 已知a1 4 an 1