高考数学新一轮总复习 7.6 空间向量及其运算考点突破课件 理.ppt

第6课时空间向量及其运算 理科 一 考纲点击1 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 二 命题趋势1 从考查内容看 对本考点的考查以空间向量的运算为主 特别是数量积的运算及其应用 更是考查的热点 2 从考查题型看 若对空间向量单独考查 则以选择题 填空题的形式出现 若作为解题的工具 则出现在解答题中 且与线面关系 求角 求距离等问题结合在一起考查 属中档题 1 空间向量的有关概念 1 空间向量 在空间中 具有和的量叫做空间向量 2 相等向量 方向且模的向量 3 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量 4 共面向量 平行于的向量 大小 方向 相同 相等 平行或重合 同一个平面 2 共线向量 共面向量定理和空间向量基本定理 1 共线向量定理对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使得a b 1 对点演练 答案 b 解析 中四点恰好围成一封闭图形 正确 中当a b同向时 应有 a b a b 中a b所在直线可能重合 中需满足x y z 1 才有p a b c四点共面 答案 c 两向量的数量积已知空间两个非零向量a b 则叫做向量a b的数量积 记作 即a b a b cos a b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b 交换律 a b 分配律 a b c a b a c a b cos a b a b a b b a 4 空间向量的坐标表示及应用 1 数量积的坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a1b1 a2b2 a3b3 2 共线与垂直的坐标表示设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 a b均为非零向量 1 已知向量a 4 2 4 b 6 3 2 则 a b a b 的值为 解析 a b 10 5 2 a b 2 1 6 a b a b 20 5 12 13 答案 13 对点演练 1 空间向量的应用 1 定义式 a b a b cos a b 或cos a b 用于求两个向量的数量积或夹角 2 非零向量a b a b a b 0 用于证明两个向量的垂直关系 3 a 2 a a 用于求距离等等 题型一空间向量的线性运算 归纳提升 用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则 在立体几何中要灵活应用三角形法则 向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立 针对训练 题型二共线定理 共面定理的应用 归纳提升 在求一个向量由其他向量来表示的时候 通常是利用向量的三角形法则 平行四边形法则和共线向量的特点 把要求的向量逐步分解 向已知向量靠近 进行求解 若要证明两直线平行 只需判定两直线所在的向量满足线性a b关系 即可判定两直线平行 2 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 d为bc边上的中点 求证 a1b 平面ac1d 针对训练 题型三空间向量数量积的应用 2 由条件得a b 0 1 2 a b 2 1 2 2a b 3 2 2 m a b n a b 2n m n 2m 2n m a b n a b 与2a b垂直 m a b n a b 2a b 3 2n 2 m n 2 2m 2n 12n 2m 0 m 6n 即当m 6n时 可使m a b n a b 与2a b垂直 归纳提升 1 当题目条件有垂直关系时 常转化为数量积为零进行应用 2 当异面直线所成的角为 时 常利用它们所在的向量转化为向量的夹角 来进行计算 3 通过数量积可以求向量的模 3 如图所示 平行六面体abcd a1b1c1d1中 以顶点a为端点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求ac1的长 2 求bd1与ac夹角的余弦值 针对训练 典例 2014 南京一模 p是二面角 ab 棱上的一点 分别在平面 上引射线pm pn 如果 bpm bpn 45 mpn 60 那么二面角 ab 的大小为 方法感悟 基向量在空间向量运算中的应用