（基础数学专业论文）lorentz空间l4中非零曲线的粒子模型.pdf

摘要 本文主要讨论了四维的l o r e n t z 空间k 中非零曲线的粒子模型我们考虑任意依 赖于第一曲率确和第二曲率屹的泛函：c 爪l ，r 2 ) d s ，为解所对应的e u l e r - l a g r a n g e 方 程，我们借助通过计算得到的三个k i l l i n g 向量场：p 1 ，p 2 ，t 3 ，( 其中p l p 2 为平行移 动的常向量场，p 3 为旋转的向量场) ，由其得到的常数c i 为不变量，也为相应的e u l e r - l a g r a n g e 方程的首次积分得到的常数，从而降低了e u l e r - l a g r a n g e 方程的自由度；同 样，我们利用得到的k i l l i n g 向量场的关系，得到了运动方程的解，若假设由p l ，p 2 张 成的平面为，我们在n 为退化和非退化的两种情况下给出了绕的柱面坐标表示； 对于泛函c 砰出，以j a c o b i 椭圆函数的形式给出了临界曲线的曲率确表示式；对于泛 函c 硝l + b r 2 d s ( 其中口，b 为任意常数) ，给出了临界曲线的三个曲率k i , k 2 ，k 3 所满足 的关系式 关键词：e u l e r - l a g r a n g e 方程k i l l i n g 向量场 a bs t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ep a r t i c l em o d e l si nt h el o r e n t zs p a c el 4o nt h en o n n u l l c r v e s w ec o n s i d e rt h ef u n c t i o n a l ：c 似1 ，心) d j ，w h e r ef ( r l ，吃) i sas m o o t hr e a lf u n c t i o no f 乜a n d 乜i no r d e r t os o l v et h ec o r r e s p o n d i n ge u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n s ，t h r e ek i l l i n gv e c t o r f i e l d s ：p l ，p 2 ，p 3 ，w h e r ep i ， 2a r et r a n s l a t i o n a lv e c t o rf i e l d sa n dp 3i sr o t a t i o n a lo n e ，w e w i l l o b t a i nt h r e ec o n s t a n t sc fw h i c ha r ea l s of i r s ti n t e g r a lc o n s t a n t so fe u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n t h e nw ed e c r e a s et h ed e g r e e so ff r e e d o mo ft h ee u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n w ea l s ou s e dt h e r e l a t i o n sa m o n gp l ，b e ，bt os o l v et h em o t i o ne q u a t i o n s i fw es e tt h ep l a n eht ob es p a n n e d b yp la n dp 2 f u r t h e r m o r ei nt w oc a s e s ：r ii sd e g e n e r a t ea n d1 7i sn o n d e g e n e r a t e ，w eg i v e t h ec o r r e s p o n d i n gr e p r e s e n t so ft h em o t i o ne q u a t i o n sb yc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e s w ee x p r e s s t h ef i r s tc u r v a t u r ek 1o ft h ec r i t i c a lc u r v e sb yu s i n gj a c o b ie l l i p t i c a lf u n c t i o n sf o rt h ee l a s t i c f u n c t i o n a lf rr 2 d s f o rt h ee l a s t i cf u n c t i o n a lj ：a k l + b 9 2 d s ，w h e r ea ，ba r ea n yc o n s t a n t si n rw eg i v et h er e l a t i o no ft h ec u r v a t u r e s ：g l ，心，乜o ft h er e s p e c t i v ec r i t i c a lc u r v e s k e yw o r d s e u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n k i l l i n gv e c t o rf i e l d 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意 作者签名：齑尊! 落) 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于 非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编 入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解 密后适用本规定 学位论文作者签名：再娅 导师签名：讼嘭 导师签名：终生垦l ，竺一 日 期：2 翌逮：亟。q 1 7 日 期：翻匹迟= ：y 1引言 弹性曲线( e l a s t i cc u r v e s ) 问题的研究可以追溯到1 7 3 0 年左右，当时d a n i e l b e r n o u l l i 和e u l e r 所考虑的能量泛函为：f , c 2 d s ，变分曲线为欧氏空间萨或尺3 中的 曲线，即e u l e r - b e m o u l l i 模型( 详情参见 1 6 】) j l a n g e r 和d a s i n g e r 在_ d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y2 0 ( 1 9 8 4 ) ( 1 - 2 2 ) ”发表的题为“t h et o t a ls q u a r e dc u r v a t u r eo f c l o s e dc u r v e s ” 的文章，所考虑的曲线为具有常截面曲率的空间( 即：空间形式) 中的闭弹性曲线，考 虑全平方测地曲率：f ( x 2 + a ) d s ( 其中s 为弧长参数，戈为曲线的曲率，a 为l a g r a n g e 常 数，用以限制弧长) ，得到了e u l e r - l a g r a n g e 方程： 2 + p 一2 萨t 一肌+ 2 r g = 0 旷丁= c 其中c 为常数为解得到的e u l e r - l a g r a n g e 方程，引入了k i l l i n g 向量场若设y 为一条 弹性曲线，其速度v ，曲率k 和挠率r 满足： 祟= 祟= 塑= o _ _ i 一一_ - l 一! 挑伽o h v 。 其中兰为特殊的变分向量场，我们称满足上式的向量场w = 兰为k i l l i n g 向量场 在【2 】中，r h u a n g 把上述关于曲率足的函数：矿+ a 推广到任意依赖于曲率戈的多 项式p 取) 的情形，给出了两个k i l l i n g 向量场：平行的向量场以和旋转的向量场凰，并 用得到的k i l l i n g 向量场以柱面坐标的形式给出了对应的运动方程的解在【3 】中， n e v i ng u r b u z 在【2 】的基础上，把外围空间从欧式空间平移到l o r e n t z 空间，得到了 与【2 】平行的结果而在四维的时空中，a n e r s e s s i a n 在【4 】中利用对应的k i l l i n g 给 出了e u l e r - l a g r a n g e 方程的两个积分常数这两个常数与旋量和质量有着密切的关 系，【4 】给出了之间的关系 以上仅仅是对于依赖于曲率足的情形。面对于依赖于挠率了的泛函的求解。2 0 0 3 年 的文章 5 】对于线性依赖于曲率戈和挠率了的泛函：m + 瞅+ p r ( 其中m ，n ，p 为常 数) ，得到了所对应的临界曲线为l a u c r e t 曲线和螺旋线【6 】对于三维的伪黎曼空间形 式( 截面曲率为g ，指标为抄) 中的曲线，作者讨论了任意依赖于曲率戈和挠率丁的多项 式厂了) 的情形，给出了两个k l l i n g 向量场：只j ，并对于以下两种f ( r ，丁) 特殊的情形 在一定条件下给出了k f 的表示式： ( 1 ) f ( r ，r ) = g ( 砷+ a l ，其中g ) 为关于曲率鬈的多项式，a 为常数： 1引言 ( 2 ) ，化1 ) = g ( 1 - ) ，其中g ( 丁) 为关于挠率丁的多项式 但是在给出曲率鬈和挠率1 的表示式中。分别用到了以下条件： 以o 即g 为至少二次的多项式；啸0 ，即g ( 丁) 为至少二次的多项式而在 文章【7 】中，对于四维的以引力场为外围空间的l o r e n t z 空间中的零曲线( n u l lc u r v e s ) ， 作者对于确+ 五( 其中k i 为曲线的第一c a r t a n 曲率) 的情形，给出了三个k l l i n g 向量 场：p l ， 2 ，j ，其中 ，p 2 为沿l = y7 的常向量场即为平行移动的向量场，为平行向 量场和旋转向量场的复合，但不是沿l = y ，的常向量场；并利用h a m i l t o n 可积系统 ( 关于h a m i l t o n 可积系统的问题详情参见【1 2 】 1 3 】) ，在特殊情形下把积分方程转化为 偏微分方程，并给出了方程一定形式下的解；给出了柱面坐标的相应表示【1 4 】则给出 了a n n 一d e s i t t e r 空间中零曲线( n u l lc u r v e s ) 对应粒子的闭轨道即闭曲线 我们在本文中考虑的变分曲线是以l o m n t z 空间k 为背景空间，且曲线为 非零( n o n n u f l ) 曲线，考虑的泛函为关于第一曲率确第二曲率屹的任意光滑函 数f ( r l ，j c 2 ) 我们首先把【l 】中的引理作了推广，得到了在后面计算证明中十分重要 的 1 ) ，w 沁) ，w ( k 3 ) 的表达式，特别是在g = 0 时的表达式 我们在第三部分利用引理l 和f r e n e t 公式，首先得到了边界项艿m 朋和e u 1 e r 项三我们根据所假设的曲线满足的边界条件得到了边界项在变分曲线上为常 数，又根据所变分向量场的性质得到了e = 0 。即e u l e r - l a g r a n g e 方程而且得到边界项 中与彬内积的项即为第一个k i l l i n g 向量场一，且只为常向量场，然后我们采用类似 于【1 l 】的方法，令w = yaz 1az 2 ，根据所定义的外积得到了第二个：p 2 ，且p 2 也是 常向量场我们用类似的办法得到了第三个k i l l i n g 向量场户3 ，但尸3 不是常向量场，而 是旋转的向量场我们给出了三个定理，即定理l ，2 ，3 我们把得到的k i l l i n g 向量场代 入边界项，得到了不变量c i “= 1 ，2 ，3 ) ，且为e u l e r - l a g r a n g e 方程的首次积分得到的常 数在一定程度上降低了e u l e r - l a g r a n g e 方程的自由度 在本文的第四部分，我们同样利用得到的k i l l i n g 向量场借助柱面坐标给出了运 动方程的解我们首先通过计算给出了p l ，p 2 ，p 3 鬟j 关系：俨l ，p 2 ) = 0 ，( p 3 ，p 2 = 0 ( p 3 ，p 1 ) + ( p 2 ，p 2 = 0 假设由p l ，p 2 张成的平面为，则可能为退化，也可能为非 退化的对于非退化的情形我们根据p ，如，p 3 的关系给出了运动方程解的柱面坐标 表示，得到了定理4 ；对于退化的情形我们分尸。为零向量场和尸2 为零向量场两种情 形，结合p 1 ，n ，岛的关系，给出了运动方程解的柱面坐标表示，得到了定理5 和定理6 在本文的第五部分，我们对于两种特殊的厂以1 ，哟) 作了讨论： 2 1 引言 ( 1 ) f ( k 1 ，晚) = 砰，得到特殊的e u l e r - l a g r a n g e 方程，根据句是否为零，借助j a c o b i 椭圆 函数，式给出了临界曲线的曲率戈l ，k 2 ，得到了定理7 和定理8 ； ( 2 ) f ( t q ，晚) = a k l + ( 其中a ，易为任意的实数) ，得到此时对应的e u l e r - l a g r a n g e 方 程，根据妁是否为常数，给出了临界曲线的曲率鬣l ，k 2 ，k 3 满足的关系式，降低 了e u l e r - l a g r a n g e 方程的自由度 3 2 粒子模型及运动方程 2 粒子模型及运动方程 我们首先引入伪黎曼流形和空间形式的定义【1 5 】 定义1 我们称光滑流形肘为伪黎曼流形，若m 上的度量 为非退化的( 0 ，2 ) 型张 量场，且其指标u 为常数 定义2 我们称伪r i e m a n 流形m 为空间形式若肘满足： ( 1 ) m 是完备的；( 2 ) m 是连通的；( 3 ) m 的截面曲率为常数 设m 为四维的空间形式，其截面曲率为常数g ， 为肘的度量，尺为曲率算 子，d 为l e v i c i v i t a 联络，对于m 上的向量场墨y , z 满足如下结构方程： d x y d r x i x , y 】= 0( 1 ) r y ) z = d x d y z d y d x z d x , 】q z = g ( x 一 功 ( 2 ) 令y ：i m 为m 中的一条浸入非零曲线( n o n n u l lc u r v e s ) ，v = y ( d = y ( 力为曲 线y 的切向量，则有： 0 若设t = t ( t ) 为曲线y 的单位切向量，曲线，的 速度为v ( 力= i i ，即：v ( t ) = v ( t ) t 我们假设变分曲线均为非零曲线( n o n - n u uc u r v e s ) ，变分曲线y = ( 力= y ( w ，力： ( - 8 ，功i 叫m 仍然用y 来表示，其中y ( o ，f ) = y ( 力我们选取一个沿曲线y ( 力的变分 向量场w - - w ( 力= ( 孚) ( o ，力，对于以下符号我们均采用简单记法：t = t ( w ，力，n 1 = o w m ， l ( w ，f ) ，2 = 2 ，力，n 3 = n 3 ( w , 力，v = ( 芸) ( o ，力对于上述定义的变分曲线选取适当 的参数s ，s 为弧长参数且有j 【o ，纠( l 为y ( d 的长度) ，y ( s ) ，k i ( w ，s ) ( f = 1 ，2 ，3 ) 表示 相应的意义，瓦l ，2 ，3 为m 的f r e n e t 标架，满足如下的运动方程即：f r e n e t 方程： d t t - - 6 1 k 1 1 d t n i = - - 6 0 k 1 t + 眈屹2 ( 3 ) d t n ：= - - s l k ：n i + 句乜飓 d t n 3 = 一眈幻2 其中勖= ，8 i = ，表 示由向量场蜀，局，为，甄张成的多面体的体积特别地，对于正交的f r e n e t 标架，其外 积定义如下： 1an 2a 3 = 一琊r r n 2a 3 = 8 1 1 ta 1a 3 = 一现2 ta 1a 2 = 旬3 类似于【1 】中的引理，下面我们给出在本文中一个重要的引理： ( 1 ) 【y 朋= o ( 2 ) 未= e o ( d r 职t ) 1 2 - - 勖其中g = - ( d r 眦r ( 5 ) w ( 砰) = 拟l ( 珥w + 翮g wn 1 ) + 勖铅砰 w ( x 1 ) = 珥+ 6 0 g w , 1 ) + e 0 2 9 r l ( 6 ) w 镌) = 啦 所( 卺( 珥w + e o g w ) ) + 躺所wn 2 ) 一言2 k 2 珥, , + 勖g 暇1 ) + e 0 2 9 砭 w ( 吃) = ( d r ( 罟( 群w + e , o g w ) ) + 蹦1 d r wn 2 ) 一鲁 珥w + e o g w , 1 ) + 勖雕2 ( 7 ) w 沁) = 所( 老( 所( 卺珥聊+ 蹦l 研聊) + 石( 2 珥wn 3 ) + s 0 4 9 9 3 一戈2 w ( r 2 ) 一鲁脚，) 证明由上述昀叙述v = v t ，摹中v = i vv ) l i = ( 勖 v ) m k a 由t , s - t 于y = ( 害) ( o ，d ，= ( 关) ( 0 ，力 故有i v , 朋4 = 舔，c 鳊o w 删圳c o t 州o w 卅。 故有 朋4 = ( 害) ( o ，f ) ，( 字) ( o ，明= 州( 昙) ( o ，d ，( 昙) ( o ，明= o d f 5 ( 4 ) 2 粒子模型及运动方程 ( 2 ) ( v ) = w ( ( 劢 v ) ) = 去( 翮 vy ) ) 耿岛 v ) = s 0 ( s o vy ) ) 一 d 形v = 翮( 岛( v ”) 一( d v w + 【m ， = 8 0 ( 勖 = w 孵) = 2 ( d w d t lk i 1 ) = 拟l ( 尺( 眦r ) l l + 2 t c i = 2 园o r , g ( 眦m + 她 = 款1 + s 0 4 9 砰 所以 叭1 ) = ( d w + 8 0 g w , n 1 + 6 0 2 9 k l 当g = 0 时有： w 1 ) = + e 0 2 9 r l ( 6 ) f l ：l f r e n e t 蝴：= 龟 = d t d w n i + d 邱n 1 ，2 ) = 6 2 粒子模型及运动方程 丝w ( 的) + + 勖2 9 x 2 二2 三张一鲁w 沁) + ( d r ( 署( 勖g w + 珥聊) ，2 所以有： w ( ) = 她 + e , 0 6 9 一i 2 9 2 w 1 ) 镌) = 趣 + 岛6 鲥一鲁( 珥w + 勖g 磁m 一翮4 鲥 = 2 x 2 一老 + 勖北 ( 7 ) 由f r 即e t 公式得： 砖= 8 3 = h ，( 砖) = 2 ( d ( d 7 _ n 2 + 8 1 x 2 n i ) ，x 3 n 3 = 2 k 3 = 2 x 3 ( 屹。l ，3 = 8 l = l k 2 肠 = s 1 者但( 眦t ) t + d r d w t + d f 磁7 1 l 3 = 翻垒酌 = 8 l 鲁( 印g w + 珥w 3 7 型型雌 ( d w d r 2 ，3 = 僻( 睨t ) n 2 + d r d w 2 + d t r a i n 2 ，3 = ( d r d w ( 薏d 丁1 + 半挚r ) ，3 + 勖3 = ( 蹦w ( 耖+ 急咿) ，3 = 8 0 e 2 ( d r ( 薏d w t ) ，飓 = 8 0 e 2 ( d r 乏k 1 。丁w + 硒急扪，3 e o e 2 ( d r ( 鱼d t 聊，飓 r ( 云 w ) ，3 ( d r d w ( 薏所w = s 2 ( d r ( w ( 去) d r 1 + 眈i 里- d w d t n t ) ，3 唰蹦职；蚍2 ) + i i 乜) d w d t 1 + 砌3 ， = w ( k 恚) k 2 k 3 + k 2 2 ( 恚) ， + 龟( 忐) ，( 。r 。w 1 + 勖g 。r 1 3 e-竺2(dr，露似t)nl+drdwnl+eogdtno-，3r = 一挚一1 - - x 州 如。r d w n i ，3 + - - - 2 ( d r ( - g ( w , n 1 ) t + d r d w ( e k a l 所 = + 一e 。o ，e 2 9 r 2 n ，+ 2 - - 眈g 。r 去i t ) , n 3 ) 6 - 塑1d t t ) , n 3 ) + 薏c 。；c w c 击m + 皇k 1 垒w ( k 2) ( d t d w ( - 暑i c 1 。w 。r 。 = 一h) + 眈( 忐 薏d ；w 吉1 + 一d w 。一 = 一鲁w ) + 现( 恚) ，( d r ( w ( 击弦1 l + 旦k 1 d w 所乃 3 + 印的 +奏竺：麓篡篡：黑=竺=翻=纛f = 一鬟w 沁) + - , 2 ( 扣蹦静o w _ r 汀卜即+ 2 s o s 彬d x 3 = 二嚣黎葛鬻磊一砖w ) + e 如0 2 9 n i ) , n 3 ) + e 鹚o g k a = 一瓮) 州趣蹦嚣( 郇w + 即”川一i 郴” 喇“3 + 垒( 磷( 里( s o g w + d 孚) ，飓 + 8 0 9 k 3 = 鱼w ( k s l 一譬w 代) + e 0 3 9 r 3 + ( d r ( 薏d r ( 融g w + 砩删 3 = 一垒w ( k 2 ) 一譬w ( k 1 ) + + 2 r a ( e 0 4 9 k 3 一薏w 心) 一乏r a l w ( r 1 ) ) w ( r 3 ) = ( 所( e 2 ( d r ( 旦( 勖g w + 珥w ) ) + 蹦1 d r 聊) + 垒( 勖g w + d 孚，n 3 ) 幻 k i 鬈1 当g = 0 时，有： 垒耿屹) 一r a w ( r 1 ) 屹必l w ( x 3 ) = + 6 0 4 9 x 3 9 l一笔毗) 一 勋 戈l 髓 我们对引理1 进行了简单计算证明在下一部分我们将利用引理1 得到e u l e r - 9 ) 口 垒q 3e 【7 i 。e r - l a a m n g e 方程及k l l n g 向量场 3e u l e r l a g r a n g e 方程及k i l l i n g 向量场 在本章中我们考虑的变分曲线为四维l o r e n t z 空间l 4 中的曲线，且曲线为非零曲 线( n o n n u l lc u r v e s ) ，关于零曲线( n u l lc u r v e s ) 的相关问题参见【6 】我们考虑舀作用的 曲线为闭曲线或者沿曲线满足如下边界条件： w ( o ，o ) = w ( o ，dd r w ( o ，o ) = d r w ( o ，dd ；w ( o ，o ) = 讲w ( o ，d 即在变分曲线的端点处具有相同的f r e n e t 标架l 4 的截面曲率g = 0 ，我们可以把引 理1 中g 换为0 3 1 e u l e r - l a g r a n g e 方程 现在我们来考虑单参数的泛函族： 讹w ) = f 弛t ，州s 其中f ( r 1 ，乜) 为关于第一曲率k i ( w ，s ) 和第二曲率吃( w ，j ) 的任意光滑函数 利用引理1 可得： ( 5 ) 面dl 脚j 0 l ，乜) 出 m = i 五l w ( r 1 ) + 丘w ( r 2 ) 一8 0 f g d s = ， 一丛k i 晤+ 厂一e k l f 。, , ；( d 2 t w , n 2 ) 一警 d s = 警c 辟w 划苦+ 厂c 珥w 警 警地飞旬警心s 1 0 则( 7 ) 式可以写为： 警 晤+ j r ( 辟w 五。l 一警2 一s 岛警3 + 蹦厶 ( + ) 晤+ 小。r w ，勖( 厂一戈，五。一吮五：) r 吲十警) 1 + ( 躺如一眈蛎怕( 争咱柏警) 2 柏旬警怕句( 警) ，) 3 ) d s v 南下吉 厂 。丁w 勖( f - - k 1 五，一屹厶) 丁一瓴：+ 警) 1 + ( 蹦，厶一眈k 2 五。+ g 。( 鲁) 咱龟句警) 2 + 0 。句警怕句( 警) ，) 3 ) d s 州勖( 厂咱矗- 喇r 叫+ 等) l + ( 刚l 庀一咣”“。) - - 8 1 e 2 e 3 警) 2 向警怕旬( 警) ，) n 3 蟠+ j r 嘲( 勖u 叫肝峨) ，+ 蹦- 粤+ 等归 + ( f - - 0 e i k l ( 厂一q 五。一住如) 一 ：+ 等等) t - - e l k 2 ( 蹦。庀一龟乜五，+ s ，( 鲁) 7 飞龟句垫k 1 ) ) n 1 + ( - - e 2 k 2 ( f r ：+ 丛k 1 ) + ( 躺厶- - 8 2 k 2 f r , + e l t - l 石- 1 ) 7 咱s 2 句警) ， 一龟咖旬等悯旬c 警n ，飓柏的丘一跳”s 。c 争咱现酌警， 柏句警悯旬( 警) ，) ，) 3 灿 1 1 3e u l e r - l a g r a n g e 方程及k i l l i n g 向量场 b m 朋告+ 厂一 w ：u 一鬈，五。一鲍丘) + 蹦瓴：+ 等2 f r 2 ) ) 丁+ 8 内( 厂一必- 工。一足2 五：) 一蟛+ 譬) ，_ 8 似躺丘- e 2 r 2 f t , + 8 1 ( 丛k i ) ，s m 警) ) 1 + ( - 晓眈伉：+ 等) 柏慨二晓砺悯( 鲁) - - 8 1 8 2 e 3 譬l r 2 ) - - 8 2 9 3 t 7 e l e 3 警- - 均旬( 警) ，) ) 2 柏的。厶- e 2 k 2 f 鼻, 恂( 丝k i ) ，- 8 m 警) 柏句警+ s 1 旬( 警) ，) 嘲山 ( 珥we 确l f x 2 2 ) + 吣+ 丛k i ) l + + + + 饥。r 1az ，7 - , 2 ) + ( 一譬r 2 人z 1 ，汤 + i s 1 岛g 3 f * 2t an 3 z i ，7 - 2 ) + = = 慨g 峨一岛g l g o ) ， e a k r 2 l ( e 2 p 3 ，飓 = l 奶恐g 2 一g 。) ( d r ( 罢2 2d 丁( g 署d 2 t p 3 ) + 勖誓t 珥p s ) + 鬈k 2 ，、t ，n 舳2 d m = ( g o g l g 1 9 0 ) + e l x 2 ( g o g 2 一9 2 g o ) = g 苫g l + g ；g o g ( g o g o g l + t r 2 9 0 g 2 一e l r 2 9 2 g o = 0 1 7 3