（基础数学专业论文）有限群上的特征标对应关系.pdf

摘要 摘要 有限群理论中研究局部子群和大群的结构之间的相互确定关系是很深刻和重要 的问题，它在有限群的特征标理论中表现为研究局部子群上的特征标理论与大群的 特征标理论之间的相互关联，集中反映在研究局部子群的不可约特征标集合和大群 的不可约特征标集合之间的相互关系，特别是考察它们在特征标的诱导，限制和扩 张下的动态和表现，其中一种表现具体而言就是特征标之间的对应关系 特征标的对应理论是有限群特征标理论中的个重要专题，目前关于特征标对 应已有大量的相关文献和众多结果本论文主要考虑了群作用环境下， 7 r 一可分群 上的特征标性质和对应关系，得到了如下主要结论： 设丌- 群s 作用于丌- 可分群g 上，日为g 的$ 不变的h a l l 丌子群， ( h ) h ( s ) = 1 若a l i n s ( h ) ，x i r r w , s ( c ) ，则存在特征标对应： ，：l i n s ( h ) 一i r r 7 i 1 , s ( c ) 入hx 其中【a ，x 日1 0 进一步，还存在对应厂7 ：i r r 。，s ( a r g f ，j ) 一i r r s f g ) ，0hx ：其 中和x h 有共同的g 不变的线性成份 而且在正规三元组环境下，本论文给出了如下的b r a u e r 特征标对应关系： 设g 为有限群，p 可解子群x c ，( x ：n ： ，) 为g 中互素正规三元组且 h 为其辛1 - t - 群，m 为- 群，模特征标对( ，妒) ( n ：) 若满足下列条件 之一： ( 1 ) c n m ( h ) = n m ； ( 2 ) hs 亿( 妒) n 如( 砂) ， 则有双射书：i b r ( 日i 砂) _ i b r ( x i 妒) ，fhf ，使得器= 黜 本学位论文的具体内容组织如下： 引言部分给出了有限群表示论中特征标理论的相关研究状况，详细全面的介绍 了本文的背景和研究思路 摘要 n 在第一章中，主要介绍有限群表示论和特征标的概念和联系，给出了特征标理 论中经常出现的平行四边形构型的定义和相关性质，并对其上的特征标对应关系进 行了讨论 在第二章中，我们在群作用环境下，讨论了丌- 可分群上的特征标性质和对应 关系，并给出了几个有意义的推论 在第三章中，主要在正规三元组条件下，讨论了其上的群论性质i 匿b r a u e r 特 征标的动态表现，以及其上的b r a u e r 特征标对应关系 关键词：有限群；特征标三元组；丌一可分群；正规三元组；b r a u e r 特征标 ab s t r a c t n l a b s tr a c t i nt h et h e o r yo ff i n i t eg r o u p s ：i tc o n t a i n sp r o f o u n da n di m p o r t a n ti n f o r m a t i o n t or e s e a r c ht h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eg l o b a la n dl o c a ls t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u p g t h i sr e l a t i o n s h i pr e p r e s e n t st h ec o n n e c t i o no fc h a r a c t e r sb e t w e e nt h eg r o u pg a n di t ss u b g r o u p si nt h et h e o r yo fc h a r a c t e r so ff i n i t eg r o u p s ，a n dt h i si sm a i n l y r e f l e c t e di nt h ec o n n e c t i o no fi r r e d u c i b l ec h a r a c t e r sb e t w e e nt h eg r o u pga n di t s s u b g r o u p s ，e s p e c i a l l yt h ed y n a m i ce x p r e s s i o n sa b o u tt h ei n d u c t i o n ，r e s t r i c t i o na n d e x t e n t i o no fc h a r a c t e r s o n eo ft h ee x p r e s s i o n si st h ec h a r a c t e rc o r r e s p o n d e n c e t h et h e o r yo fc h a r a c t e rc o r r e s p o n d e c e si sa ni m p o r t a n tt o p i ci nt h et h e o r yo f c h a r a c t e r so ff i n i t eg r o u p s t h e r ea r en u m e r o u sl i t e r a t u r ea n dr e s u l t sa b o u ti ta t p r e s e n t i nt h i sp a p e r ，w ef i r s t l yr e s e a r c hi nt h ep r o p e r t i e sa n dc o r r e s p o n d e n c e s o fc h a r a c t e r so f7 r s e p a r a b l eg r o u p su n d e rt h eg r o u pa c t i o n s ，a n dg e tt h ef o l l o w i n g r e s u l t ： l e ta7 r - g r o u psa c to na7 i - - s e p a r a b l eg r o u pg hb ea ns - i n v a r i a n th a l l 7 r - s u b g r o u po fg ，c g ( r a m ( s ) = 1 i fa l i n s ( h ) ，x i r r 丌，s ( g ) ，t h e nt h e r ee x i s t s ac h a r a c t e rc o r r e s p o n d e n c e ： 厂：l i n s ( h ) 一i r r s ( c ) 入h 、 w h e r e a ，x h 】0 m o r e o v e r ，t h e r ee x i s t sac o r r e s p o n d e n c e ，7 ：i r h ，s ( b ( ) ) 一 i r r 7 r ，s ( g ) ，0 。x ，w h e r eo na n dx h a v eac o m m o n5 - i n v a r i a n tl i n e a rc o n s t i t u e n t u n d e rt h ec o n d i t i o no fn o r m a lt r i p l e ，w ea l s og i v et h ef o l l o w i n gc o r r e s p o n d e n c e o fb r a u e rc h a r a c t e r s ： l e tgb eaf i n i t eg r o u p ! p - s o l v a b l es u b g r o u px g ( 、- 、1i ) b eac o p r i m e n o r m a lt r i p l ea n dhb ei t sc o m p l e m e n t ni 、fb eap - g r o u p m o d u l a rc h a r a c t e rp a i r ( m ：砂) s ( n ，妒) i fhs a t i s f i e so n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 ) c n m ( h ) = n m ； ( 2 ) h 肠( 妒) n ，6 ( 妒) ， t h e nt h e r ee 妇s t sab r a u e rc h a r a c t e r f f ，s u c ht h a t 器= 器 c o r r e s p o n d e n c e 木：i b r ( h i t p ) 一i b r ( x l 妒) ， t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ra r ea r r a n g e da sf o l l o w s ： i nt h ei n t r o d u c t i o n ，w ep r o v i d es o m er e s e a r c h i n gd e v e l o p m e n tr e l a t e dt ot h e t h e o r y o fc h a r a c t e r sa n dr e p r e s e n t a t i o no ff i n i t eg r o u p s ，a n de x p l a i nt h eb a c k g r o u d s a n dr e s e a r c hm e t h o d so ft h i sp a p e ri nd e t a i l i nc h a p t e ro n e ，w eg i v et h eb a s i cc o n c e p t so fr e p r e s e n t a t i o n sa n dc h a r a c t e r so f f i n i t eg r o u p sf i r s t l y m o r e o v e r ，w ep r o v i d et h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so fp a r a l l e l - o g r a mc o n f i g u r a t i o n s ，a n dd i s c u s st h ec h a r a c t e rc o r r e s p o n d e n c e sa b o u tt h i sc o n f i g o u r a t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w eg e tt h ep r o p e r t i e sa n dc o r r e s p o n d e n c eo fc h a r a c t e r so f 丌一 s e p a r a b l eg r o u p su n d e rt h eg r o u pa c t i o n s ，a n dd e r i v es e v e r a ls i g n i f i c a n tc o r o l l a r i e s i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so fn o r m a lt r i p l ea n dt h ed y n a m i c e x p r e s s i o n so fb r a u e rc h a r a c t e r s f u r t h e r m o r e ，w eg e tt h ec o r r e s p o n d e n c er e l a t i o n - s h i p so fb r a u e rc h a r a c t e r s k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ；c h a r a c t e rt r i p l e ；7 r s e p a r a b l eg r o u p ；n o r m a lt r i p l e ； b r a u e rc h a r a c t e r 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研 究成果，均在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦 f - j 大学研究生学术活动规范( 试行) 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验 室的资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号 内填写课题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容 的，可以不作特别声明。) 声明人( 签名) ：司每斌 1 d d 年月1 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实 施办法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指 定机构送交学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进 入厦门大学图书馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大 学将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进 行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印 或者其它方式合理复制学位沦文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位 论文，于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“ 或填上相应内容。保密学 位论文应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经 厦门大学保密委员会审定的学位论文均为公开学位沦文。此声 明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) ：习年拭 o t l 年6 月1 日 引言 引言 1 代数学是数学当中的个主要分支，又大致可分为初等代数学和抽象代数学两 部分，其中抽象代数学产生于1 9 世纪中叶，是研究各种抽象的公理化代数系统的 数学学科具体而言，它包含有群论，环论，域论，g a l o i s 理论等许多分支在群 论研究领域，比较重要的研究群结构的理论一个是群扩张理论，一个是1 9 8 1 年的 有限单群分类定理，而从研究方法上来说，有限群表示理论在研究有限群的群结构 方面是最为有效的外部工具之一 所谓有限群的表示，即指通过作用的观点，将待研究的抽象有限群映射到一个 具体的代数结构中去，从这个相较而言易于研究的代数结构的性质反馈出抽象有限 群的若干群性质 有限群表示理论起源于1 9 世纪末，其中f g f r o b e n i u s 和w b u r n s i d e 于 1 8 9 6 年给出了相关的基础理论，他们所提出的特征标的正交关系和f r o b e n i u s 互反 律为有限群表示论打下了坚实的基础 1 9 0 2 年i s c h u r 使用s c h u r 引理简化了f r o b e n i u s 基于矩阵表示的相当复杂的 理论，并提出了射影表示理论，其间e n o e t h e r 等代数学家对代数研究发展的贡 献使得从环和模理论的观点上考虑群表示成为可能在此之后经历了将近3 0 年， i s c h u r 的学生r b r a u e r 在1 9 3 5 年和c n e s b i t t 发表了模表示研究的奠基性 论文( 可参看文献【1 0 5 0 ，该文可视为有限群表示论全方位研究的开始此后，t n a k a y a m a ，m o s i m a 等对表示论的发展也起了很大的推动作用，同时j a g r e e n 提出了模表示中的v e r t e x 理论，给模表示的研究注入了新的动力，使模表示的研究 更加活跃起来 有限群表示论不仅影响着代数学其它分支的发展，而且它在李群，图论，理论 物理，量子化学以及编码学理论等领域也有着广阔的应用背景 对于群表示来说有许多种研究方法，比如特征标理论、环理论、模理论等，每 种都有它自己的优势并且相互促进发展 使用特征标方法来研究有限群的理论，i m i s a a c s 在文献 8 3 】中称之为特征 标理论特征标理论的主要研究对象有常( 复) 特征标，b r a u e r 特征标，分解数( 可 参看文献f 4 9 ，5 2 ) 等等它主要考虑特征标自身的性质，以及这些性质和群结构是 引言 如何相互影响的( 例如有限群g 交换当且仅当群g 的所有不可约复特征标均为线 性特征标) ，而且通过计算特征标的取值可以得出相应群的许多重要信息 需要指出的是，特征标作为研究有限群的一个有效工具，群论中的一些重要结 果至今没有不依赖于特征标的纯群论证明例如，f r o b e n i u s 定理( 可参看文献【l l 】 中定理6 8 5 ) 目前只有使用特征标方法的证明，而b u r n s i d ep a q 6 阶群可解定理( 可 参看文献【3 2 】) 最初是由w b u r n s i d e 使用特征标技术给出证明的，此后经历了半 个世纪，在1 9 7 2 年才由h b e n d e r 给出了纯群论的证明( 可参看文献 6 6 0 在有限群的结构理论中，研究群与其子群结构的相互确定关系是最为深刻和重 要的问题，而这种关系在有限群的特征标理论中则体现为群与其子群的特征标之间 的关联通常情况下，大群的不可约特征标集合与其子群的不可约特征标集合之间 的关系较为复杂，但如果我们已知子群在大群中的某些具体结构信息，比如正规或 存在补子群等等，那么就可以得到上述两个集合之间的某些动态表现，其中一种表 现具体而言就是在大群不可约特征标集合的某个子集与某个子群不可约特征标集合 的某个子集之间建立一个双射，一般称之为特征标对应，这也是本文的主要研究对 象 特征标的对应理论是有限群特征标理论中的个重要专题，同时也是一种深刻 的技术工具，它在许多特征标问题中自然出现正如群作用具有强大的技术威力一 样，特征标的对应理论也具有相应的技术力量因此，在该课题上做系统而深入的 研究是值得的，特别是用之来解决其它的特征标问题 目前关于特征标对应已有大量的相关文献和众多结果( 可参看文献【5 4 ，6 8 ，7 7 ， 1 1 1 ，1 1 2 ，1 1 3 】等) 其中，最为基本和重要的结果为a h c l i f f o r d 给出的c l i f f o r d 对应定理，其特征标形式为： 设g 是有限群，n 塑g ，秽i r r ( n ) ，记t = ，g ( p ) 为p 在g 中的惯性群，则 按特征标的诱导关系有双射 ( ) g ：i r r ( t 0 ) 一i r r ( g 1 0 ) 妒h 妒g 特别地，若记a = i r r ( t 0 ) ，8 = i r r ( c i o ) ，如果a 满足p g = x 召，那么，是 属于a 中的胎的唯一的不可约分量，且有【妒，刎= 阪，外 引言 3 该特征标对应关系指出，当正规时，如果讨论上的不可约复特征标口与 群g 的；b - a 约复特征标子集i r r ( o l e ) 的关系，那么只需考虑0 与群g 的某个特定 子群t 上的不可约复特征标子集i r r ( t 1 0 ) 之间的关系即可，从而彰显出特征标对 应技术的约化处理功效 进步，如果在g 中还存在子群日，使得日= g ，那么此时g ，h ，n 日 构成了个平行四边形构型( 本文定义1 2 1 ) ，当我们考虑补子群日与大群g 上的 特征标关系时，在第一章给出了如下特征标对应： 设( g ，h ，m ) 为平行四边形构型，其中璺g ( m ，妒) ( n ，0 ) 且坛( 口) n h = 睹( 妒) ( 1 ) 若【妒，伊m 】= 1 ，则存在双射；i r r ( h 妒) 哼i r r ( g o ) ，妒卜一x ，使得眇，x 日】 0 且x ( 1 ) b ( 1 1 = 8 ( 1 ) q o ( 1 ) ； ( 2 ) 若妒= 0 ，则存在双射；i r r ( h l 妒) 斗i r r ( c l o ) ，妒卜斗妒g ； ( 3 ) 若o m = 妒，则存在双射：i r r ( c l o ) 啼i r r ( 日i 妒) ，x 卜一x h 另外，在上述平行四边形构型( g ， 日，n 日) 中，因为笪g ，所以h 可 按共轭作用于群上，自然可以作用于的不可约复特征标集合i r r ( n ) 上此 时，个自然的问题是：在群作用环境下，日是如何影响的不可约复特征标集 合i r r ( n ) 以及其上的特征标对应关系的? 1 9 6 8 年，g g l a u b e r m a n 在文献【6 4 】中给出了群互素作用环境下的一个特征 标对应关系，即在不动点子群的不可约复特征标集合与大群的群作用不变复特征标 集合之间建立了个典范双射； 设可解群s 互素地作用在有限群g 上，则存在双射7 r ( g ，s ) ：i r r s ( g ) 一 i r r ( c g ( s ) ) ，其中7 r ( g ，s ) 满足性质： ( 1 ) 若t 塑s ，b = c g ( t ) ，则7 r ( g ，t ) ：i r r s ( g ) _ i r r s ( b ) 为满射，此时 7 r ( g ：s ) = 7 r ( g ，t f i r ( b ，s t ) ； ( 2 ) 若s 为p 群，c = ( s ) ，x i r r s ( g ) ，妒= 丌( g ，s ) ( x ) ，则妒为i r r ( x c ) 中唯一满足pf 【x c ，纠的不可约成份 事实上，该特征标对应还可视为b r a u e r 第一主定理的推论( 可参看文献f 6 7 1 ) 当被作用的群的阶是奇数时，i m i s a a e s 于1 9 7 3 年在上述两个集合之间给出 引言 4 了个完全不同的特征标对应( 见文献 8 0 】) 需要指出的是，上述两种对应关系的 定义都相当复杂，均是逐步归纳构作出来的，并且在实际问题中非常难以计算其 后， 1 9 7 8 年t r w o l f 在文献【11 0 】中进一步指出上述两个映射在有定义时是一 致的特别的，当这两种对应关系均存在时，个非常有用的推论是算子群在被作 用群的不可约特征标集合和共轭类集合上作用置换同构 此时，自然产生了新的问题；互素条件在上述g l a u b e r m a n i s a a c s 对应中是否 不可或缺? 在非互素条件下g l a u b e r m a n - i s a a c s 对应是否成立? g n a v a r r o 在文 献 6 9 】中指出般情形下上述映射并不成立，但这并不意味着在非互素情形下没有 其它的特征标对应 在非互素情形下，h n a g a o 在1 9 9 ：1 年证明了当算子群s 是少群时，在g 的 g 不变p - 亏零复特征标集合和某些子群的p 亏零复特征标集合之间存在自然的 特征标对应( 可参看文献【4 1 】) 2 0 0 3 年， 即如果矿群s 作用在p 可解群g 上， g n a v a r r o 又找到了另外的对应关系， g 的s y l o wp - 子群尸为s 一不变的且 c n g ( p ) p ( s ) = 1 ，那么在p 的s - 不变复线性特征标集合与g 的9 不变一次数 不可约复特征标集合之间存在一个自然的特征标对应( 可参看文献【7 6 1 ) 本文第二章对于卅可分群，同样在非互素群作用环境下，利用g n a v a r r o 的 方法得到了其上的特征标性质： 定理a 设丌群s 作用于7 1 一可分群g 上， 日为g 的孓不变的h a l l7 r 一子 群，c g ( h ) h ( s ) = 1 若a l i n s ( h ) ，则舻= x a 其中、( i r r 。, ，s ( g ) 且 0 时，对于的任意不可约成份a ：均有q 芒i r r s t c ) 即对于满足定理a 条件的h a l l 子群上的复线性特征标而言，其诱导的不可约 成份中存在典范者与其呼应与定理a 对偶的结果是： 定理b 设7 r 一群s 作用于丌可分群g 上，盯为g 的s 不变的h a l l7 r - 子 群，c o v g ( h ) h ( s ) = 1 若x i r r 。，s ( g ) ，则x 日= 入+ q ，其中入l i n s ( ) 且 q 0 时，对于q 的任意不可约成份p ，均有p 隹i r r 。，s ( ) 在特征标的诱导和限制这两大基本技术下，由定理a 和定理b 可得下述万一可 分群上的特征标对应关系 定理c 设7 r 一群s 作用于丌可分群g 上，h 为g 的s 不变的h a l l 万子 引言 5 群，( 日) 伊( s ) = 1 若入l i n s ( h ) ，x h r 霄，s ( g ) ，则存在特征标对应： ，：l i n s ( h ) 叫i r r , ，s ( a ) ah x 其中队，x 日l 0 进一步，还存在对应，7 ：i r 印，s ( ，g ( 何) ) 一i r r 霄, ，s ( g ) ，0hx ，其 中铅和x 有共同的g 不变的线性成份 1 9 8 3 年，r g o w 证明了当g 是有限可解群时，在g 的h a l l 丌- 子群的复线 性特征标集合和g 的不可约复特征标集合的某个子集间存在一个自然的特征标对 应( 可参看文献【1 0 9 ) 进步，当g 是丌- 可分群时，在定理c 中去除群作用条件 即可得到同样的特征标对应关系： 定理d 设g 为丌- 可分群，日为g 的h a l l7 r 一子群且h = n c ( 日) ，则有 ( 1 ) 若入l i n ( h ) ，则舻= x + a ，其中x i r 聊( g ) 且a 0 时，对于特征 标的任意的不可约成份a ，均有n 盛i n ：。，( g ) ( 2 ) 若x i r r 丌，( g ) ，则x 日= a + q ，其中入l i n ( h ) 且q 0 时，对于特征 标q 的任意的不可约成份p ，均有p 萑i n ：。，( 日) ( 3 ) 存在特征标对应l i n ( h ) _ i r r 。，( g ) ，入hx ，其中【入，x 何】0 利用定理d 我们还可以得到如下推论： 推论e 设g 为丌- 可分群， 日为g 的h a l l7 r 一子群且h = g c ( 日) ，子群 k 日，则存在特征标对应z 口：i r r 。，( k ) 呻i r r 丌，( g ) ”x 其中妒h 和x h 有共同的线性成份 在特征标理论中，与特征标对应关系相关的还有b r a u e r 特征标的对应关系 有限群的线性表示芏：g - - - - - - 4c l ( n ，f ) 大致可分为两种：若c h a rffi g i 则称 表示芏为常表示，其提供的特征标为常特征标；若c h a rf ii c l ：则称表示王为模表 示，其提供的特征标为模特征标( 可参看文献【1 0 ，2 9 ，3 3 1 ) 引言 6 r b r a u e r 敏锐的发现可以把模特征标提升为相应的b r a u e r 特征标，而且提升 后不会散失由模特征标提供的任何信息，同时b r a u e r 特征标与常特征标有着许多 内在的联系，使得b r a u e r 特征标成为了模特征标和常特征标之间的纽带和桥梁， 尤其是少块的引入，使人们获得了块论与群的p 局部约化理论之间的内在联系， 从而能在更深的层次上描述出群的各个p i 局部结构与其整体构造的相互作用和相 互影响 但b r a u e r 特征标与常特征标的差别也是明显的，常特征标中的性质和对应关 系不一定可以遗传至b r a u e r 特征标上例如，不可约b r a u e r 特征标的次数未必能 整除群的阶；b r a u e r 特征标的g a l o i s 共轭未必还是b r a u e r 特征标；常表示中的 f r o b e n i u s 互反律对b r a u e r 特征标也不一定成立了，即虽然q 为9 的不可约成 份，但妒可能不是q g 的不可约成份，或者p 为q g 的不可约成份，但可能q 不是 妒h 的不可约成份 由此可见，作为更深刻的观念和技术，研究b r a u e r 特征标诱导和限制的不可约 成份的变化以及b r a u e r 特征标的对应关系也是有限群特征标理论中的重要课题 本文第三章利用m l l e w i s 在1 9 9 6 年提出的正规三元组这一技术性概念， 对b r a u e r 特征标诱导和限制的不可约成份的不变性和唯一性进行了讨论，并且给 出了平行四边形构型中b r a u e r 特征标的一个对应关系： 定理f 设( g ，：日，n 日) 为平行四边形构型，其中g 为矿可解群，j vg g 且f g ：h l 为p 数对于p i b r ( n ) 若有v n h i b r ( nn 日) ，则按限制关系有 双射： ( ) h ：i b r ( c l p ) 一i b r ( h 1 9 , v n h ) xh 入h 在群的正规三元组理论中，正规三元组的补子群的存在性以及它们的不可约特 征标之间的对应关系是其上研究的基本问题，我们在互素正规三元组条件下给出了 其上的b r a u e r 特征标对应关系 定理g 设g 为有限群，p 可解子群x g ( n 、，) 为g 中互素正规三 元组且日为其补子群，州a ，为一群，模特征标对( 、，c ) f - 、，) 若满足 下列条件之一； 引言 ( 1 ) c n m ( h ) = n m ； ( 2 ) h i g ( 妒) n 坛( 妒) ， 则有双射木：i b r ( h i b ) _ i b r ( x l 妒) ，h 专，使得器= 黜 利用定理f ，在互素正规三元组条件下我们还得到了如下的推论： 推论h 设g 为有限群，少可解子群xsg ，n 璺g ，( x ，、，：1 i ) 为g 中互 素正规三元组且h 为其补子群若n m 为p 群，妒i b r ( n ) 且咖，i b r ( m ) ： 如( 妒) x ，则有双射： 盯：i b r ( c 1 ，o ) 叫i b r ( h c ，o m ) x f 使得存在唯一的，7 i b r ( x k o ) ，满足叼g = x 且彻= + 需要说明的是，本文中所讨论的群均为有限群，所使用的符号和术语都足标准 的，可参考文献【4 l ，2 7 ，2 8 ，3 7 等 第一章有限群表示和特征标对应关系 第一章有限群表示和特征标对应关系 本章主要分为两部分，第一节介绍了有限群的线性表示的定义及相应特征标的 基本性质，并且就特征标理论中的重要专题一特征标对应做了概括说明在第二节 中主要介绍特征标理论中经常出现的数学环境一平行四边形构型，该构型在有限群 论中也是经常使用的技术手段，我们给出了这一构型的性质和其上的一些重要的特 征标对应 1 1 有限群的线性表示和特征标 作为研究有限群论的行之有效的外部工具，我们先行给出有限群的线性表示的 定义 定义1 1 1 设g 为有限群，f 为域，称群同态 笺：g ，g l ( n ，f ) gh 笺( 9 ) 为群g 的一个f 表示( 或f 线性表示) ：其中正整数n 称为表示芏的次数 如果已知王为有限群g 的一个b 表示，通过线性扩张可以得到群代数f g 上的一个代数表示芏即定义芏( a g g ) = a g 戈( 9 ) ；反之，如果已知群代数f g 、， g e g g e g 、， 上的个代数表示芏：f g 一、i 。( f ) ? 将表示笺限制在gc f g 上，就得到了群 g 的一个f 表示芏即定义芏( 9 ) = 芏( 9 ) ：其中9 g 从而可以看出有限群g 的 f 表示和群代数f g 的代数表示可以相互唯一确定得到在下面的讨论中，我们 将不再区分群g 的f 表示和群代数f g 的代数表示( 关于代数表示可参看文献 1 8 ，9 ，2 0 ，2 4 i ) 有限群表示理论的困难之处在于g l ( n 厂) 中包含了太多干扰信息，即对于群 g 中的每个元素g ，在与之对应的矩阵王( 91 中含有f 中的n 2 个元素显然在相似 的表示中，这些元素中的一部分是多余的有限群特征标理论的指导思想是抛弃其 中的大部分信息，仅保留其中有用的部分，主要手法便是计算线性表示中矩阵芏( 9 ) 的迹 8 第一章有限群表示和特征标对应关系 9 定义1 1 2 设芏：g _ g l ( n ：f ) 是有限群g 的一个b 表示，定义g 上函数 x ，使得x ( g ) = t r y ( g ) ，其中g g ，则称x 是由表示芏提供的g 上的一个b 特 征标此时称n 为特征标x ( 或表示芏) 的次数，记为、f 1 ) = n 如果x ( 1 ) = l ，那 么称x 为g 上的线性特征标 可参看文献【2 6 ，3 4 ，3 6 ，3 8 ，3 9 定义1 1 3 设x 是由表示芏提供的g 上的一个f 一特征标如果芏为g 上 的不可约b 表示，那么称x 是g 上的一个不可约n 特征标 性质1 1 4 对于有限群g ，有下列结论成立： ( 1 ) 有限群g 的相似的f - 表示提供相同的特征标； ( 2 ) 有限群g 的特征标是群g 上的类函数 ( 3 ) 每个b 特征标均可以唯一的表示成一些不可约f - 特征标的非负整系数线 性组合 根据域f 的特征是否整除群g 的阶，有限群的线性表示芏大致可分为两种： 如果c h a rfti g i ，那么一般称群g 的表示笺为常表示；如果c h a rf l l c l ，那么一般 称群g 的表示笺为模表示 模表示理论是有限群表示论的核一t ：- 内容，常表示理论中的许多结论可视为模表 示论中相应结果的特例例如，模表示论中的一个重要结果为：若c h a rf = p ，则群 g 上的不可约凡表示相似类的个数等于g 中p - 正则元共轭类的个数特别的，如 果p 十l g l ，则群g 上的不可约f - 表示相似类的个数恰好等于g 中所有共轭类的个 数，而该结论为常表示理论中的一个基本和重要的结果( 可参看文献 3 7 如4 3 】) 但是需要指出的是，模表示理论并不能完全取代常表示理论，因为常表示理论 的某些结果至今在模表示论中还没有找到相应的推广形式，而且它在刻画有限群的 性质，群与其子群的关系等方面比模表示更加细腻和深刻 我们下面着重讨论常表示，尤其是复数域c 上的表示，并给出其上的一些符号 记法和重要结果如果不特别指出，下述特征标均指复特征标，而对于一般域上的 表示，我们在第三章再给予讨论 当域f 为复数域c 时，我们通常记c h a r ( g ) i r r ( g ) l i n f gj 分别表示g 的所 有特征标，不可约特征标，线性特征标所构成的集合显然有c h a r g ) i r r i g ) 2 第一章有限群表示和特征标对应关系 l m ( g ) 性质1 1 5 设g 为有限群，i r r ( g ) = x 1 ，x ，) ，则有： ( 1 ) g 中共轭类个数为r ； ( 2 ) i g i = x l ( 1 ) 2 + + x r ( 1 ) 2 ； f 3 ) g 为交换群当且仅当l i n ( g ) = i r r ( g ) ； ( 4 ) 两个复表示相似当且仅当它们所提供的特征标相同 可见文献f 2 7 ，4 1 ，4 2 1 对于f ，叼c h a r ( g ) ，我们通常记陲，剜= 南 ( 9 ) 巩9 ) 为，7 7 在g 上的内 积特别的，当n ，p i r r ( g ) 时，有 q ，纠= 以口，即群g 的不可约特征标在内积 下有正交关系 在有限群的结构理论中，研究群与其子群结构的相互影响是深刻和重要的课 题，而这种影响在有限群表示论中则表现为群与其子群的特征标之间的关联限制 和诱导即是考察这种关联时常用的基本手法 限制即指特征标定义域的缩小，而与特征标限制对偶的概念是特征标的诱导， 即对于h g ，妒c h a r ( h ) ，记特征标妒的诱导特征标为妒g ，使得妒g ( 夕) = 南( ，g z _ 1 ) 其中g g ，若h h ，则( ) = 妒( 危) ，否则驴( h ) = 0 在特征标诱导和限制关系中有如下基本且重要的定理，它与特征标的正交关系 一起构成了有限群常表示理论的基石 引理1 1 6 ( f r o b e n i u s 互反律) 设h g ，妒c h a r ( 日) ，x c h a r ( g ) ，则有 bx h 】= 【g ：嬉 即文献 2 一】中引理5 2 在上述引理中，若协日】0 ，我们通常称妒在x 的下方( 或x 在妒的上方) 般地，子群的不可约特征标集合i r r ( h ) 与群g 的不可约特征标集合i r r ( g ) 之间的关系错综复杂，但如果我们得到了日在g 中的某些具体结构信息，比如正 规或存在补子群等等，那么就可以得到i r r ( h ) 和i r r ( g ) 的某些动态表现，尤其是 它们在限制、诱导、扩张情形下的相互关联例如，当日正规于g 时，有如下基 本定理： 引理1 1 7 c l i f f o r d 定理) 设g 是有限群，n 里g j 口为x n 的不可约成份， 1 0 第一章有限群表示和特征标对应关系 p = p l ，0 2 ，巩为秽的所有不同的g 共轭，则有x = e 仇，其中e = 【x ，0 1 i - - - - i 即文献【2 7 】中定理6 2 另外，上述特征标之间的其中一种关联具体而言就是在i r r ( c ) 的某个子集 与i r r ( h ) 的某个子集留间建立一个双射，通常称之为特征标对应( 可参看文献 【1 0 1 1 ) 我们下面列举出一些基本但重要的特征标对应定理 对于n 塑g ，p i r r c n ) ，记，g ( p ) = 夕g 伊= 口) ，称为p 在g 中的惯性 群( 或稳定子群) ，而记i r r ( v l o ) 表示g 的那些在p 上方的不可约特征标集合，即 i r r ( e 1 0 ) = x i r r ( c ) i x , r ：卅o ，记e x t ( c 0 ) 表示p 到g 上的扩张集合，即 e x t ( e 1 0 ) = 【x i r r ( g ) j x , v = 9 引理1 1 8 ( c l i f f o r d 对应定理) 设g 是有限群，塑g ，p i n ( n ) ，记t = 如( 护) ，则按特征标的诱导关系有双射： ( ) g ：i r r ( tj o ) 一i r r ( g 1 0 ) 妒h 妒g 特别地，若记a = i r r ( t 1 0 ) 召= i n ( g 1 0 ) 如果妒a 满足妒g = x b ，那么妒是 属于4 中的x r 的唯一的不可约分量，且有 f ? 0 】= x ，0 1 即文献 2 7 】中定理6 5 利用引理1 1 8 ，我们在讨论正规子群n 上的不可约特征标p 与群g 的不可约 特征标之间的关系时，只需考虑0 与其惯性群上的不可约特征标之间的关系即可， 即一般情况下可设口为g - 不变的，从而i m i s a a c s 在文献【8 5 】中给出了下述记 法： 设n 翼g p i r r ( n ) 且口为g 一不变的，即，g ( 们= c ，则称( g ：n ，口) 为一个 特征标三元组 引理1 1 9 ( g a l l a g h e r 对应) 设( g n p ) 为特征标三元组，x i r r ( c ) ( 1 ) 若x a ，伊i r r ( n ) 则有双射i r r ( ( _ , 1 0 一i r r ( g j p ) ，hy 走 ( 2 ) 若x n = 口，则有双射i r r ( g 、) 一i r r l g l p j ? 一7 即为文献【2 7 】中的定理6 1 6 和推论6 1 7 1 1 箜二主有限群表示和特征标对应关系 由此我们可以进步得到上述引理的推广形式 定理1 1 1 0 ( 广义g a h a g h e r 对应) 设n 塑g ，x i r r ( g ) 且妒i r r ( ) 若 y 、i r r ( n ) 且i a ( 妒x ) 坛( 妒) ，则有双射； 厶：i r r ( c k o ) 一i r r ( c k o x n ) 1 3h 8 x 证明因为，g ( 妒) 亿( 妒x v ) ，所以可设t = ，g ( 妒) = 坫( 似) 由引理1 1 8 知，按特征标的诱导关系有双射： ( ) g ：i r r ( t m ) 一h r ( g i 妒) ，一g ， ( ) g ：i r r ( t , x ) 叫i r r ( a k o x ) ，r lh