（基础数学专业论文）粘性守恒律方程组解的渐近稳定性.pdf

粘性守恒律方程组解的渐近稳定性 摘要 n a v i e r s t o k e s 方程组是流体力学研究中基本的数学模型，当粘性趋于0 时， n a v i e r s t o k e s 方程组的解趋于相应e u l e r 方程组的解( 2 8 】) 通过一个坐标变换， 关于粘性消失时解的讨论可转化为固定粘性时n a v i e r s t o k e s 方程组解的大时间性态 的讨论。因此，粘性守恒律方程组整体解的大时间性态成为人们十分关心的问题 最近几十年里，已有许多工作研究了粘性守恒律方程组初值问题及初边值问题粘 性波解( 疏散波，粘性激波，驻波) 的渐近稳定性( 见【1 2 3 ，2 5 ，2 8 1 ) 本文主要研究一维粘性等熵e u l e r 方程组的一个初边值问题及带有人工粘性 的二维定常等熵无旋平面流方程组的初值问题及初一边值问题 下面对全文的结构作一简单的介绍。 在第一章中，我们回顾了相关问题的研究历史及现状，并介绍了本文所研究问 题的产生本文的结构、详细的结果以及证明的方法也包括在该章中 第二章研究一维粘性等熵e u l e r 方程组初边值问题粘性激波的渐近稳定性， 此问题可以看作不可渗透问题的一个扰动若相应的粘性守恒律方程组初值问题存 在粘性激波解，则在一定的假设条件下，此粘性激波是渐近稳定的 第三章考虑带有两种人工粘性的二维定常等熵无旋平面流方程组的初值问题 并分别证明了若初始值接近于常状态，且相应的无粘双曲守恒律方程组的r i e m a n n 问题存在一个弱疏散波解时，则当t 趋于无穷时。这两个守恒律方程组初值问题的 解都是趋于此弱疏散波的 第四章在第三章结果的基础上，考虑一带有人工粘性的二维定常等熵无旋平面 流方程组的初边值问题在一定的假设下，我们证明驻波解是渐近稳定的。 关键词：可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程组，e u l e 访程组，粘性守恒律方程组 疏散波，粘性激波，驻波，渐近稳定性，扰动，能量估计。 a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fs o l u t i o n t o s c o u sc o n s e r t a t i o nl a w s a b s t r a c t n a v i e r s t o k e s e q u a t i o n s i s t h e b a s i c m o d e l i n f l m d d y n a m i c s w h e n v i s c o s i t y t e n d s t o 0 ，t h es o l u t i o nt on a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s t e n d st ot h a to f c o r r e s p o n d i n ge u l e re q u a t i o n s ( 【2 8 ) b yac o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n ，t h ed i s c u s s i o no nt h eb e h a v i o ro fs o l u t i o n sa s v i s c o s i t yv a n i s h e sc a nb ec o n v e r t e dt ot h a to ft h el a r g et i m eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n s t on a v i e r - s t o k e se q u a t i o n sw i t h 在x e dv i s c o s i t y t h e r e f o r e t h el a r g et i m eb e h a v i o ro f t h eg l o b a ls o l u t i o nt ov i s c o u sc o n s e r v a t i o nl a w sh a sb e c o m eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n t t o p i c s i nf l u i dd y a m i c s i nt h ep a s td e c a d e s ，t h e r eh a v eb e e nal o to fw o r k so nt h e a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fv i s c o u sw a v e ( r a r e f a c t i o nw a v e ，v i s c o u ss h o c kp r o f i l e ，s t a t i o n a r y w a v e ) t o t h ec a u c h y p r o b l e m sa n d i n i t i a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s o f v i s c o u sc o n s e r v a t i o n l a w s ( 1 2 3 ，2 5 2 s d i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rc a u c h yp r o b l e m sa n di n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so f o n e - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ce u l e rs y s t e ma n d2 ：d i m e n s i o n a ls t e a d yi s e n t r o p i ci r r o t a t i o n a l p l a n a rf l o ww i t h 矗】c e dv i s c u s i t y t h e p a p e r i so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ep r o g r e s si nh i s t o r ya n ds o m er e c e n tr e s u l t si n t h i sf i e l d ，a n dg i v et h eb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m s am o r ed e t a i l e da r r a n g e m e n to ft h e p a p e r ，t h ed e t a i l e dr e s u l t sa n dm e t h o d s i np r o o f sa r ea l s oi n c l u d e di nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r2 ，w es t u d ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ev i s c o u ss h o c kt ot h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fo n e - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ce u l e rs y s t e mw i t hv i s c o s i t y , w h i c h c a nb er e g a r d e da sap e r t u r b a t i o no f i m p e r m e a b l ep r o b l e m i ft h e r ee x i s t sav i s c o u ss h o c k p r o f i l et ot h ec o r r e s p o n d i n gc a u c h yp r o b l e mo fv i s c o u sc o n s e r v a t i o nl a w s ，w ep r o v et h a t t h ev i s c o u ss h o c ki sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l eu n d e rs o m ea s s u m p t i o n i n c h a p t e r3 ，w ec o n s i d e r t w o c a u c h y p r o b l e m s o f t h e 2 - d i m e u s i o n a l s t e a d y i s e n t r o p i c i r r o t a t i o n a lp l a n a rf l o ww i t ha r t i f i c i a lv i s c o s i t y i ft h ei n i t i a ld a t aa r es u i t a b l yc l o s et oa o ft h ec o r r e s p o n d i n gi n v i s c i dh y p e r b o l i cs y s t e ma d m i t saw e a kr a r e f a c t i o nw a v e ，t h e nt h e s o l u t i o n st ot h et w op r o b l e m so ft h ev i s c o u sc o n s e r v a t i o nl a w st e n dt ot h i sw e a kr a r e f a c t i o n w a v ea stt e n d st oi n f i n i t y b a s e do nt h er e s u l t si nc h a p t e r3 ，c h a p t e r4i sd e v o t e dt ot h ea s y m p t o t i c s t a b i l i t yo f t h e s t a t i o n a r yw a v et ot h ei n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e m o ft h e2 - d i m e n s i o n a l s t e a d yi s e n t r o p i c i r r o t a t i o n a lp l a n a rf l o ww i t ha r t i f i c i a lv i s c o s i t 弘 k e y w o r d s ：c o m p r e s s i b l en a v i e r s t o k e se q u a t i o n s ，e u l e re q u a t i o n s ，v i s c o u sc o n s e r v a t i o nl a w s ，r a r e f a c t i o nw a v e ，v i s c o u ss h o c k ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , p e r t u r b a t i o n ，e n e r g ye s t i m a t e s 第一章引言 连续介质力学以及自然科学中其它各种分支理论中最基本的现象是由下面的非 线性守恒律方程组来描述的 a u4 - v 。f ( u ) = c a ( u ) ，碾“，z 妒， ( 1 1 1 ) 其中s 0 ，a 表示椭圆算子，f ( “) = ( ，l ( u ) ，m ( “) ) 是光滑的非线性映射。假 设当= 0 时方程组是双曲的，即对任意的向量豫” 0 ，矩阵f ，v 。f ( u ) 有r 个实根。若考虑其它附加的物理影响，如耗散、松弛、化学反应等等，则a ( u ) 的取 法也不同，比如说可压缩和不可压缩的e u l e r 方程组、n a v i e r - s t o k e s 方程组，弹性 力学方程组，燃烧模型等等，而其中e u l e r 方程组及n a v i e r s t o k e s 方程组是最重要 的模型之一。由方程组( 1 1 1 ) 的非线性可知，( 1 1 1 ) 的最重要的特点就是波速依 赖于波的本身，这就导致了方程组( 1 1 1 ) 的解的复杂性，并由此产生各种丰富的现 象，如激波、疏散波、耗散波以及它们之间的相互作用等等研究方程组( 1 1 1 ) 的 解的性质在流体力学、气象学及工程化学等方面具有很重要的作用。 n a v i e r s t o k e s 方程组是流体力学研究中基本的数学模型，当粘性趋于0 时， n a v i e r s t o k e s 方程组的解趋于相应e u l e r 方程组的解( 1 2 8 j ) 通过一个坐标变换， 关于粘性消失时解的讨论可转化为固定粘性时n a v i e r s t o k e s 方程组解的大时间性态 的讨论因此，粘性守恒律方程组整体解的大时间性态成为人们十分关心的问题 在最近几十年里，这一邻域的研究已经取得了很大的进展事实上，对于一维粘性 守恒律方程组初值问题粘性波( 激波、疏散波) 解的渐近性态已经建立了比较完整 的理论这些结果甚至可以推广到高维单个粘性方程上去首先，1 1 i n 和o l e i n i k ( 4 】， 5 ) 在这方面做了开创性的研究在2 0 世纪6 0 年代，她们用最大模的方法对 一维单个粘性方程证明了疏散波及行波解的渐近稳定性，并得到了行波解的衰减估 计后来，n i s h i h a r a ( 【2 3 ) 则对行波解的衰减估计做了更加细致的工作但是对于 方程组的情形，直到2 0 世纪8 0 年代中期，引入了能量估计方法以后，关于这方面 的研究才有了实质性的进展能量估计方法是由m a t s u m u r a 和n i s h i h a x a ( f 1 6 1 ) 1 与g o o d m a n ( 2 1 ) 同时独立地引入的。他们分别对粘性p 方程组和带有正定粘性 矩阵的守恒律方程组证明了行波解的存在性。在此基础上，m a t s u m u r a 和n i s h i h a r a ( 1 7 ) 与x i n ( 2 0 1 ，【2 6 】) 则分别考虑了上述两个方程组疏散波的情形，证明了疏 散波是渐近稳定的。后来，k a w a s h i m a 和m a t s u m u r a ( 6 ) 又对能量估计的方法加 以改进，将m a t s u m u r a 和n i s h i h a x a ( 1 6 】) 的结果推广到粘性热传导多方气体方程 组。利用此方法或改进的能量估计的方法，人们考虑了各种方程及方程组的情形， 如m a t s u m u r a 和n i s h i h a r a ( 【1 9 ) 考虑了非凸单个粘性守恒律方程，k a w a s h i m a 和 m a t s u m u r a 7 1 ) 考虑了非凸的粘弹性守恒律方程组，x i n ( 2 7 ) ，g o o d m a n ( 3 】) 等则考虑了高维单个粘性方程情形，并得到了相应粘性波解的渐近稳定性。 物理上和数学上又都要求人们考虑粘性守恒律方程组初边值问题解的渐近性 态鉴于此，l i u 和y u ( 1 3 ) 最早用逐点估计的方法对粘性b u r g e r s 方程粘性激 波进行了研究随后，l i u ，n i s h i h a r a ，m a t s u m u r a ( 1 1 1 ，f 1 2 】) 则叉用能量估计 的方法更加深入地研究了一般单个粘性方程行波，疏散波及驻波的情形对于带有 粘性的e u l e r 方程组，m a t s u m u r a ( 1 4 】) 根据速度在边界上取值的正负将初一边 值问题分为不可渗透问题，外流问题及内流问题对于不可渗透问题，m a t s u m u r a 和m e i ( 【1 5 ) 证明了当粘性激波在初始时刻远离边界时，它是渐近稳定的随后， m a t s u m u r a 和n i s h i h a r a ( 2 0 ) 又证明了强疏散波是渐近稳定的。最近。n i s h i b a t a ， k a w a s h i m a 和z h u ( f 2 2 1 ) ，k a w a s h i m a 和z h u ( 8 】8 ) 则考虑了外流问题中驻波， 疏散波的情形m a t s u m u r a 和n i s h i h a r a ( 2 1 】) 等则研究了有关内流问题粘性波解 的渐近稳定性 本文第二章考虑一维粘性等熵e u l e r 方程组的一个初边值问题这个问题可 以看作是不可渗透问题的一个扰动问题，这将有助于研究外流问题中粘性激波的渐 近稳定性 在流体力学中，另一个重要的模型是二维定常等熵无旋平面流 驴= 0 ( 1 1 2 ) 【( p t ) z + ( ) ，= 0 ， 其中u 和u 分别表示流体在z 方向及方向上的速度，p 表示流体的密度，满足 2 下面的b e r n o u l l i 关系式 妒- 1 - v 2 ) + 鲁一， ( 1 1 3 ) 其中c 是一正常数，1 ( 1 ，2 是绝热指数，声速。( p ) 定义为n 2 ( p ) = 塞，p 表示流 体的压强，满足p = p r 。 若来流是超音速的，则方程组( 1 1 2 ) 关于z 方向是双曲的，若将双曲方向的变 量z 改写为时间变量t ，改写为空间变量。，则方程组( 1 1 2 ) - ( 1 1 3 ) 就变为 f 仇一z = o ， i 茹二蒜凳一 。1 4 我们关心的是( 1 1 4 ) 带有粘性项的方程组解的大时间性态首先，考虑如何在 方程组( 1 14 ) 上加粘性项从物理上来说，我们需要具有物理意义的粘性的加法，但 由于物理粘性项带来的数学上分析及计算的困难，我们不考虑物理上的加法，而是 考虑一种人工粘性的加法。而人工粘性的选取需要满足一定的条件，能部分地反映 真实的物理系统的某些性质，比如说会产生耗散，使粘性守恒律方程组初值问题或 初边值问题是适定的一般来说，我们需要加的粘性使得方程组是一致抛物的， 或是双曲抛物耦合的鉴于此，本文考虑方程组( 1 1 4 ) 两种粘性的加法一种是在 无旋方程右端加粘性项肛”。 i 毗一t b = p $ 2 ， 黜“黧 ( 1 ) 【护) + 鲁一 另一种加法是在b e r n o u l l i 关系式的右端加粘性项p ”。 f 吨一“z = o ， ( p t ) t - 4 - ( ) 。= 0 ， ( 1 1 6 ) 【 ( t 2 + u 2 ) + 番= c + p 锄。 比较而言，第二种粘性的加法更加接近于物理上的加法，第一种则较易证明 本文第三章分别研究方程组( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) 的初值问题疏散波解的渐近稳定 性。第四章则研究方程组( 1 1 6 ) 的初一边值问题驻波解的渐近稳定性希望通过这 些问题的研究来提高对能量积分方法的认识，从而为可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程定常 绕流问题的研究提供启示，并有助于研究流体力学中一般的粘性守恒律方程组解的 渐近稳定性。 下面将本文的主要结果及证明方法作一简单介绍。 第二章，考虑一维粘性等熵e u l e r 方程组初一边值问题粘性激波的渐近稳定性。 在欧拉坐标下，一维可压粘性等熵流气体在上半平面的运动可描述为 箔。裂p 。u i m 。 0 ，t 0 ， ， i ( p u ) + (2 + p ( p ) ) 。= p u 。， 。 ， ， r 其中p ( 0 ) ，“和p ( 0 ) 分别表示气体的密度，速度及压强，满足p = a p r ，系数 p ( 0 ) ，a ( 0 ) 和7 ( 1 ) 均是常数，分别表示气体的粘性系数，气体常数及绝热 指数。 考虑方程组( 1 1 7 ) 的初边值问题 i ( 刖) ( o ，。) = ( p o ，i t o ) ( z ) ，z o ，器p o ( z ) o ， 。+ l i m 十。( p ，“) ( t 。) = ( p + ，u + ) ，t o ， ( 1 1 8 ) l ( t ，0 ) = 一叼( t ) ，t 0 ， 其中a 为充分小的正常数，9 ( t ) 满足 lg ( t ) 0 ，对所有的t 0 ， f o + 。9 ( t ) 出 o ) 为常数，满足r - h 条件，o l e i n i k 熵条件及一“7 石；玎 o 训：坐型掣+ 垫堂掣 其中e o ，q ，是一常数，满足铲( 1 + 9 2 ) 一。d y 由特征线方法，初值问题( 1 1 1 7 ) 一( 1 1 1 8 ) 的解为 ( 1 1 1 7 ) 一。z 。( 1 + 2 ) 一9 d g ，( 1 i 1 8 ) 1 u ( z ，t ) = 啪( 。o ( z ，t ) ) ，= x o ( x ，t ) + u o ( z o 扛，) ) t 定义( v u ) ( z ，t ) ( k 矿) ( z ，t ) r ( u 一，u 一) ，九( ( h u ) ( z ，t ) ) = u ( z ，t ) 由于v 和v 线性无关( 【2 4 ) ，故可以唯一确定( k u ) ( z ，t ) 满足下面的 7 引理i i 令j = i ”+ 一 一l + i “+ 一“一l ，光滑函数( k u ) ( 。，t ) 具有以下性质 ( 1 ) 0 ，巩 0 ，v ( k u ) ( z ，t ) s z l ， k 0 ， 0 使得对任意的t 0 i i 昙( v , u ) i i l , g ，t m i ( 6 , ( 1 + t ) 一1 ) ， i i 矗 g ， ( 1 + 。) 。1 ) ， ( 5 ) t l ，i + r a 。s u r p 。i ( v - ：, u - u 7 ) ( 。，。) i 2 o ， ( 6 ) ( k 矿) ( 。，t ) 满足 ik 一玩= 0 ， j ( 兄u ) t + ( r v ) 。= 0 ， 【妒+ 俨，+ 鲁一c ， 其中r = p ( v u ) ，a 2 = 7 月7 由引理1 1 可知，为了证明结论，只需证明当t 趋于无穷时，初值问题( 1 1 5 ) 和( 1 1 1 3 ) 的解趋于光滑函数u ) ( $ ，t ) 第二步，将初值问题( 1 1 5 ) 和( i i 1 3 ) 化为一个关于扰动函数( ，妒) ( 茹，t ) 的初 值问题 令( 毋，妒) ( z ，t ) = 扣一k t 一u ) ( $ ，t ) ，则初值问题( 1 1 5 ) 和( 1 1 1 3 ) 化为 i也一如= u v , 。+ p 也z ， ( 一警币+ 钙产妒) 。+ ( 一可r v 妒+ 嘴芦曲) 。= t + k ( 1 1 2 0 ) 【( 也妒) 0 ，0 ) = ( 如，咖) ( $ ) = ( v o ( z ) 一v ( x ，o ) ，u o ( x ) 一u ( x ，o ) ) 日2 ( r 1 ) h 2 ( r 1 ) ， 其中 ，1 一( b u + b e + 卜警妒一万r u 鳓) ， y 2 一( b y4 - 日州一警曲一万r u 蝴 b = 妻( p 。( y + 口曲，u + 口妒) 2 + 2 p v 。( y + 日咖，u + 口妒) 币砂+ p 讹( y + 目，u + 口咖) 币2 ) 故只需证明初值问题( 1 1 ，2 0 ) 存在唯一的整体解妒) ( z ，t ) ，且当t 趋于无穷时， 此解是趋于0 的为此，我们只需建立初值问题( 11 2 0 ) 关于( ，妒) ( z ，t ) 的能量估 计。注意到方程组( 1 12 0 ) 的第二个方程关于p u 是守恒的，而p 又是“和”的函 数，将p ( 。，n ) 在( ku ) 处泰勒展开后，必然会产生高阶余项五t ，难以被控制，我们 将反复利用( 1 12 0 ) 的两个方程、分部积分及s o b o l e v 不等式来估计这些高阶项另 外，按照常规的做法，高阶能量的估计是依赖于a 2 一y 2 的正负，若a 2 一v 2 0 ， 则很容易得到高阶能量估计，但是对于一v 2 2 ( 7 1 ) c ， 瓴士” 2 ( 7 1 ) c ，u 0 ，士 0 ) r 其中i = 1 ，2 分别对应于+ ，存在正常数6 使得当( u + ，u + ) r ；扣一，“一) 0 = l ，2 ) 以及f t ( v o 一口5 ，“o 一“5 ) f f l 2 + i f “o 。i l h ：+ l k o 。f 1 日3 + f ( + - - u 一，+ 一“) fs e 时，初值问题n 1 和r z s ) 存在唯一的整体解( ，) ( z ，t ) 满足 ( 一 5 ，“一u ：) c o ( o ，+ o o ) ；l 2 ) ， g o ( o ，+ o o ) ；h 3 ) ， 。c o ( 【o ，+ o 。) ；日2 ) 及 l i m s u p j 扣一矿，u u 7 ) ( z ，t ) = 0 - 十o r 1 第四章，研究方程组( 1 i 6 ) 的初边值问题驻波解的渐近稳定性 对方程组( 1 1 ，6 ) ，给定初值 ( 口，u ) ( z ，0 ) = ( u o ，“o ) ( z ) ，。r + ，( 1 1 2 1 ) 及边值 ( u ，乱) ( 0 ，t ) = u 一 0 ， 2 n 一1 ) c ) 中，我们只得到了1 一疏散波( a 1 0 ) 的渐近稳定性，由于a l 0 ，即 波是以负速度向前传播，必然会在某一时刻t 与边界。= 0 相互作用产生反射。因 此，不可能有单独的1 疏散波( a l o ， 0 ) ，贝1 】 存在正常数j 1 ，口和c 使得当l + 一u l 0 ，v ： e 1 + 一l e 一4 。，i a ! ( y ( z ) 一 + ) i g l u + 一口一l e 一4 。 贝l | i v = l 0 ，1 名 2 ( 7 - 1 ) c ，u 0 ，u 0 ， ， 【( 卢吡) t + (2 + p ( p ) ) z = p “。， ， ， 、。1 其中p ( o ) ，u 和p ( o ) 分别表示气体的密度，速度及压强，满足p = a ，系数 肛( o ) ，a ( 0 ) 和7 ( 1 ) 均为常数，分别表示气体的粘性系数，气体常数及绝热 指数。 考虑方程组( 2 1 1 ) 的初边值问题 i ( 舢) ( o ，。) = ( p 0 ，“o ) ( 2 ) ，z o ，瓣p 0 ( o 。墨( 刖) ( t ，。) = ( 阳t + ) ， o ， ( 2 1 2 ) 【u ( ，o ) = 一0 9 ( ) ， t 20 ， 其中。为充分小的正常数，9 ( ) 满足 f9 ( o ) = 0 ，9 ( t ) 0 ，对所有的t 0 ， 对”e ( t ) d t 0 ) 为满足俾j 砂和偿j 列的常数，则存在唯一的一 个连接状态( p 一，u 一) 和( p + ，“+ ) 的粘性激波( 芦，i ) 扛一s t ) ，满足 j 卢f 0 ，西f 0 ，p + 芦 p 一，札+ 面 o ) 为常数，满足偿i 印偿j 刀及一“歹丽 “+ 0 使得当l l ( w o ，o ) + o + 卢一1 + 6 e o 时，初一边值问题偿jj ，俾j 纠存在唯一的整体解( p ，u ) ( t ，z ) 满足 p 0 ，z ) 一芦( z 一时- i - a 一卢) c o ( o ，+ ) ；丑1 ) n 工2 ( o ，+ 。；丑。1 ) t 工( t ，工) 一云扛一时- i - o t 一卢) i ( 【o ，+ o o ) ；日1 ) n 工2 ( o ，+ ；日2 ) s u pi ( p ，t ) ( t ，o ) 一( 卢，面) ( 一鲥+ a 一卢) i + 0 ，当t - + + o 。 r + 2 2定理2 1 的证明 设( 反面) 扛一s t + a 一卢) 是方程组( 2 1 1 ) 的行波解，令 艟塞爱黝篙：蕊紫剐吲卅吲纠妣亿z m【皿。( 。) = j 罩( p d ( 暑，) ( u o ( 掣) 一豇( f + 口一卢) ) 一吗( 暑f + 口一芦) 西o ( f ) ) 由 、“7 由引理2 2 ，可得 引理2 3 在俾j j 印- 俾j 剀的假设之下，初始扰动( 西o ，雪o ) 日2 ，且当o _ 0 ，卢_ + + 0 0 ，j l ( w o ，舀) 1 1 2 - + 0 时，i i ( 圣o ，皿o ) 眩- + 0 证明类似于文【1 6 】的证明 定义 ( 妒，妒) ( t ，$ ) = ( p ，“) ( t ，) 一( 芦，矗) ( 。一s t - i - a 一卢) ( 2 2 2 ) 1 7 孵缈- 缸2 + 黧十2 w p ，( 御纠。叫一f l a ( 2 2 3 ) i ( ，妒) ( o ，z ) = ( 如，妒o ) ( 。) ， 、。 i 币( t ，0 ) = 一o g ( t ) 一矗( 一s t + a 一卢) ， 妒= 瓮竺 ( 2 2 _ 7 ) 。 西+ 虬 、_ l 圣t + 皿+ ( 缸圣) = 0 ， 熙罂h - 0 翌2 训虬“扣) 叫( 觜) ；- ，1 ， ( 2 2 8 ) i ( 圣，皿) ( o ，) = ( 雪o ，皿o ) ( z ) ， i 圣( t ，0 ) = j 。0 ( 一口9 ( t ) p ( t ，0 ) 一面( g 一时+ a 一卢) ) d | ， 令n ( t ) = s u p1 1 1 ( + ，皿) ( r 川+ 8 ( 红妒) ( r ) | l l ，= ( o ) ，印= 8 + e - c - 口 0 f 0 ，( 圣，皿) x ( o ，t ) 是初边值问题俾，2 ，酬的 解，则存在正常数f - 2 和g ，使得当n ( t ) + j e 2 时，( 圣，皿) ( c 】z ) 满足 2 ( ) + ( | | j 良j ( 垂，皿) ( r ) | | 2 十1 1 ( ，- ) 1 1 ；+ i l c b ) l l ；) d r c ( 、7 i + 口) ( 2 2 。l 。) 2 3 先验估计的证明 在证明先验估计之前，我们先对扰动函数在边界上的值作一些估计 g i 理2 5 设( 垂，雪) x ( o ，t ) ，对0 t 曼t ，记f ( r ) 为( 圣皿) ( r ) i 。：o ，( 圣皿) ( t ) i 。：o 西2 ( r ) i 。：0 ，( 虬) ( r ) i 。：o ，( 圣霍。) ( r ) k ；o 和( 毋妒) ( 丁- ) f ：o 中任何一个，则有 】厂。f ( r ) 出i g q ( t ) j 0 证明利用( 2 1 3 ) ，( 2 1 1 4 ) 及s o b o l e v 不等式，易得上述结论 ( 2 3 1 ) 为了证明先验估计，首先在下面的引理中给出( 西，雪) ( z ，t ) 的l 2 一模估计 引理2 6存在正常数e 及c 3 ，使得当( t ) + 6 幻时，有 ( 西，雪) ( t ) l j 2 + e ( i i i , 6 。i 皿盯) 1 1 2 + i i 中。( r ) 1 1 2 + 霍2 ( o ，t ) ) d r c c i i ( o ，皿o ) | | 2 + 口 ju + j ( 1j 妒( 下) 0 2 + i | i 忍i 圣( r ) 1 1 2 ) d r + ( t ) _ 厂。l l ( 庐，妒) ( ，) l i e d r ) ( 23 2 ) j 0j 0 1 9 证明将( 2 2 8 ) 化衙为 f 垂t + 皿。+ ( 矗垂k = 0 ， 卜一( 学+ ( 净胁一譬) 垂x + f i q z - ( 譬b ，2 ， 其中 ，2 = 一( 弘( 警) z + ( 声+ 簪) 审2 + p ( 五+ 铹一p ( 芦) 一p ，( 声) 鳓， 用 圣和赤m 分别乘( 2 3 3 ) 第一、二式，再将它们相加，则有 蜀( 垂，皿) t + j 免( 霍z ) + 马( ) + e 4 ( 圣，皿，皿z ) 。+ g ( 圣，圣。，m ，皿。) = 考去= 皿 掣p ) p 其中 剐蛐) = 专壬2 + 瓣1 屺岛( 蚴= 赤皿毛 马( 雪) = “而1 ) 州志m 屺 风( 啪沌) = 历v 2 + 石1 衄+ 赢妒一寿嘁， g ( 帅一，蚴一番叫一患( 扣皿+ ；( 去) 舢。 由于( 可丽1 ) t + ( ，f i 、雨) 。 0 ，存在正常数。使得 g ( 雪，圣z ，皿，皿。) i p i 以i 皿2 + l 乃d ( i 忍l 圣2 + 由：+ 雪：) 由( 2 3 4 ) 及s o b o l e v 不等式得 ，十 r + o o 上i ，2 皿i 如s 裟上 ( 扩+ 磋+ 妒2 + 键) 出兰c 口) ( 恻曙+ 1 1 妒1 1 2 ) ， 其中口为正常数 取p = 鲁，6 = 赫，对( 2 3 5 ) 在【0 ，胡【o ，+ o o ) 上积分，并由( 2 3 1 ) 可得( 2 3 ，2 ) 注意到引理2 6 右端出现了詹( i | i 忍降圣盯) 1 1 2 + 0 ( r ) 俨) d r 和眉i i ( ，妒) ( r ) 腑打， 下面我们就逐一来估计这几项 筇 9 印 3 3 3 沼 啦 引理2 7存在正常数c 及e 4 ，使得当( t ) + d e 4 时，有 ，( j j 压j