高三数学二轮总复习 常考问题16 立体几何中的向量方法 理.ppt

常考问题16立体几何中的向量方法 真题感悟 考题分析 1 直线与平面 平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量分别为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 则 1 线面平行l a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 线面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 3 二面角如图所示 二面角 l 平面 的法向量为n1 平面 的法向量为n2 n1 n2 则二面有 l 的大小为 或 3 用向量法证明平行 垂直问题的步骤 1 建立空间图形与空间向量的关系 可以建立空间直角坐标系 也可以不建系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 2 通过向量运算研究平行 垂直问题 3 根据运算结果解释相关问题 4 空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系 1 求线面角时 得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦 而不是线面角的余弦 2 求二面角时 两法向量的夹角有可能是二面角的补角 要注意从图中分析 热点与突破 热点一向量法证明平行与垂直 例1 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 abc为等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 求证 1 de 平面abc 2 b1f 平面aef 规律方法 证明平行 垂直关系时 若用传统的几何法 难以找出问题与条件的关系时 可采用向量法 但向量法要求计算必须准确无误 利用向量法的关键是正确求平面的法向量 训练1 如图 在直三棱柱ade bcf中 面abfe和面abcd都是正方形且互相垂直 m为ab的中点 o为df的中点 求证 1 om 平面bcf 2 平面mdf 平面efcd 规律方法 异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值 线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值 二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等 其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定 训练2 2013 新课标全国 卷 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 ca cb ab aa1 baa1 60 1 证明 ab a1c 2 若平面abc 平面aa1b1b ab cb 2 求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值 1 证明如图 取ab的中点o 连接co a1o a1b 因为ca cb 所以co ab 由于aa1 ab baa1 60 故 aa1b为等边三角形 所以ab a1o 因为oc oa1 o 所以ab 平面a1oc 故ab a1c 2 解由 1 知oc ab oa1 ab 又平面abc 平面aa1b1b 交线为ab 所以oc 平面aa1b1b 故oa oa1 oc两两相互垂直 以o为原点 oa所在直线为x轴 oa1所在直线为y轴 oc所在直线为z轴 热点三利用空间向量解决探索性问题 例3 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 3 若二面角a b1e a1的大小为30 求ab的长 规律方法 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论