高考数学 选修45 第三节柯西不等式课件 理.ppt

第三节柯西不等式 柯西不等式 1 代数形式若a b c d都是实数 则 a2 b2 c2 d2 当且仅当 时 等号成立 2 向量形式设 是两个向量 则 当且仅当 或 时 等号成立 ad bc ac bd 2 3 三角形式设x1 y1 x2 y2 x3 y3 r 那么 4 一般情形设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn是实数 则 当且仅当 或 时 等号成立 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 2 bi 0 i 1 2 3 n 存在一个数k 使得ai kbi i 1 2 3 n 即时应用 1 思考 在柯西不等式的代数形式中 取等号的条件可以写成吗 提示 不可以 当b d 0时 柯西不等式成立 但不成立 2 已知x y z均为正数且x y z 1 若 则 x y z 解析 4 3 当且仅当 即x y z 时 上式取到等号 由已知 x y z 答案 3 设a b r 若a2 b2 5 则a 2b的最大值为 最小值为 解析 由柯西不等式知 a2 b2 12 22 a 2b 2 a 2b 2 5 5 25 5 a 2b 5 即a 2b的最大值为5 最小值为 5 答案 5 5 热点考向1利用柯西不等式证明不等式 方法点睛 应用柯西不等式应注意的问题 1 柯西不等式的一般结构为 在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组 从而利用题目的条件正确解题 2 使用柯西不等式时 既要注意它的数学意义 又要注意它的外在形式 当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致形式时 就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩小 例1 2012 福建高考 已知函数f x m x 2 m r 且f x 2 0的解集为 1 1 1 求m的值 2 若a b c均为正数且 m 求证 a 2b 3c 9 规范解答 1 因为f x 2 m x f x 2 0等价于 x m 由 x m有解 得m 0 且其解集为 x m x m 又f x 2 0的解集为 1 1 故m 1 2 由 1 得 1 由柯西不等式得a 2b 3c a 2b 3c 变式备选 1 已知正数a b c满足a b c 1 证明 a3 b3 c3 证明 利用柯西不等式 a3 b3 c3 a b c 2 a b c 1 又因为a2 b2 c2 ab bc ca 在此不等式两边同乘以2 再加上a2 b2 c2得 a b c 2 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 a3 b3 c3 a b c 2 a3 b3 c3 3 a2 b2 c2 故a3 b3 c3 当且仅当a b c 时 等号成立 2 设 abc的三边长分别为a b c 1 判定b c a a b c c a b的符号 2 求证 解析 1 因为a b c为三角形的三边 所以b c a 0 c a b 0 a b c 0 2 a b c 热点考向2利用柯西不等式求最值 方法点睛 利用柯西不等式求最值应注意的问题在利用柯西不等式求最值时 要注意将结构式与柯西不等式的一般形式比较 根据需要 结合已知条件 构造 积和方 或 方和积 利用柯西不等式求最值时 一般右边为常数 且应注意等号成立的条件 例2 2012 南平模拟 已知x y z为正实数 且 1 求x 4y 9z的最小值及取得最小值时x y z的值 解题指南 因为 1 所以可以构造x 4y 9z 然后利用柯西不等式求解 规范解答 由柯西不等式得x 4y 9z 当且仅当x 2y 3z时等号成立 此时x 6 y 3 z 2 所以当x 6 y 3 z 2时 x 4y 9z取得最小值36 反思 感悟 1 解答本题时 关键是利用 1构造能利用柯西不等式的 方和积 2 利用柯西不等式求最值的一般结构为 变式训练 已知正数x y z满足5x 4y 3z 10 1 求证 2 求的最小值 解析 1 根据柯西不等式 得 4y 3z 3z 5x 5x 4y 5x 4y 3z 2 因为5x 4y 3z 10 所以当且仅当时取等号 2 根据基本不等式 得当且仅当x2 y2 z2时 等号成立 根据柯西不等式 得 x2 y2 z2 52 42 32 5x 4y 3z 2 100即 x2 y2 z2 2