数学建模案例分析-“航空公司的预订票策略” .pdf

主讲人 薛主讲人 薛主讲人 薛主讲人 薛 震震震震 e e mail nucmath mail nucmath 中北大学理学院中北大学理学院中北大学理学院中北大学理学院 大学数学建模竞赛系列讲座大学数学建模竞赛系列讲座 随机因素影响必须考虑 随机模型随机模型 随机性模型随机性模型 随机因素可以忽略 或随机因素影响 可以简单地以平均值的作用出现 确定性模型确定性模型 主要包括概 率模型 概 率模型 统计回归模型统计回归模型和马氏链模型马氏链模型 1 概率模型 1 概率模型 概率论的基本理论是建立随机性模型的基础 主要思 路是在随机变量的概率分布已知或已经被估计出来的情 况下 运用相关的定义和性质 计算某些事件的概率 或 者得到有用的数字特征 按照研究对象的目的以及客观 规律来建立模型 例如 报童的诀窍 随机存储策略等 2 统计回归模型 2 统计回归模型 如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程 度的限制 无法分析实际对象内在的因果关系 建立合乎 机理规律的模型 那么通常要搜集大量的数据大量的数据 通过对数 据的统计分析 找出与数据拟合最好的回归模型是用统 计分析方法建立的最常用的一类模型 例如 牙膏的销售量 基金或股票的投资等 3 马氏链模型 3 马氏链模型 随机过程研究客观世界中随机演变过程的规律性 马氏链是时间 状态均为离散的马氏过程 其特点为 系统在每个时期所处的状态是随机的 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 时期状态只取决于本时期状态和转移概率 马氏过程是一种特殊的随机过程 建模中应用非常广泛 它在数学 例如 健康与疾病 基因遗传等 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 主要内容 一 问题的提出 二 问题的分析和解决 三 模型的建立与求解 四 模型的推广应用 一 问题的提出 二 问题的分析和解决 三 模型的建立与求解 四 模型的推广应用 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 一 问题的提出一 问题的提出 在激烈的市场竞争中 航空公司为争取更多的客源 而开展的一个优质服务项目是预订票业务 公司承诺 预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机 可以乘坐 下一班机或退票 无需附加任何费用 当然也可以订票 时只订座 登机时才付款 这两种办法对于下面的讨论 是等价的 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 设某种型号的飞机容量为n 若公司限制预定n张机票 那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机 致 使飞机因不满员飞行而利润降低 甚至亏本 如果不限制 订票数量呢 那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机 容量时 必然会引起那些不能登机飞走的乘客 以下称被 挤掉者 的抱怨 试建立一个面对航空公司订票决策的数 学模型 使得航空公司的在不损声誉的情况下利润最大 一 问题的提出一 问题的提出 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 1 需要解决的问题1 需要解决的问题 二 问题的分析和解决二 问题的分析和解决 从题目要求出发 主要需要解决三个问题 航班利润表达式的确定 它会受到哪些因素的影响 如何确定误机的概率和预测误机乘客的人数 在考虑安排误机乘客费用的情况下 求出使得利润最 大的预售票数上限 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 2 模型的假设2 模型的假设 二 问题的分析和解决二 问题的分析和解决 假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的 假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个 随机变量 假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 二 问题的分析和解决二 问题的分析和解决 3 符号约定3 符号约定 f 维持航班的总费用 成本 n 乘坐航班的乘客数量 g 每名乘客支付的运费 机票票价 n 航班的满舱载客数量 k 误机的乘客数 k p k人误机的概率 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 二 问题的分析和解决二 问题的分析和解决 3 符号约定3 符号约定 m 预定航班的乘客数量 s 航班的收支差额 利润 b 安置一名剩余乘客的费用 p 订票乘客登机的概率 q 订票乘客误机的概率 q 1 p north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 三 模型的建立与求解三 模型的建立与求解 1 初步建模1 初步建模 首先 摒除对所求利润带来复杂影响的参量 从利润 最根本的角度出发建立基本模型 利润利润 收入收入 成本成本 一趟航班运行成本基本与实际搭乘乘客数量无关 航班的成本包括了航空公司支付的薪水 燃料费用 以及一些其它费用 不管航班是否满舱 给飞行员等工作人员支付薪金 而相对于半舱的航班 航空公司都必需 舱航班所多消耗的燃料在总的燃料中所占比例不大 满 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 一趟航班运行的成本记为f sngf fngs max 收入取决于实际的乘客 人数 n 不同类型的乘客支付不同的运费 例如头等舱 公务舱 经济舱都有各自的定价 为了建模方便 假设所 有的乘客都支付同样的运费 如果一趟航班实际搭载了n 名乘客 则所得利润 其中g为每名乘客支付的运费 当乘客的数目增加时 利润也跟着增加 最大可得利 润是 其中n是航班的满舱载客量 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 nfg 当乘客所付的总运费恰好能维持航班的费用时 达到 一个临界人数当乘客人数少于它时 航班的经 营将会造成损失 容易看出 为了获得尽可能大的利润 航空公司应当 让每一趟航班达到满舱 误机者会影响满舱 因此 需要在基本模型上加入反 映 乘客误机 这一条件的参量 并考察其对利润的影响 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 mk gfmkn s ngfmkn 2 扩充模型2 扩充模型 考虑到发生乘客误机的情况 使得即使订票数为n时 也不一定能保证利润达到最大 则订票上限不应局限于n 假设订票的总人数是m m有可能超出n 当有k个人 误机时 航空公司的利润为 乘客没有搭乘航班属于偶然事件 要反映这一事件 则必须加进乘客误机的概率这一参量 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 k p 1 0 nm k m nmk kk fgkmpfngp m k k kmps 0 利润名乘客乘坐的航班所得有 设有k个人误机的概率是则所得利润的表达方式 只能是利润的数学期望值 s不妨用表示 则有 mn 如果则第一项和不存在 s仅由第二项和表 出 并且求和下限由0代替 k p s为研究对的影响 将上式改写为 0 mm kk kk m n sp ngfpmk gfngf 0 mm kk kk m n ngfpp mnk g north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 0 1 m k k p m k k m n sngfgp mnk 0 mm kk kk m n sngfpp mnk g k p根据 的定义知因此有 0 n m nj j ngfgj p sngf 而在和都为正数的条件下有则唯一能达 m nj p 到预期利润最大值的方法是降低所有的即当订票 数量m充分的大于n时 可以达到所要结果 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 在这个模型中 对订票的超额数量并没有任何限制 它甚至可能是航班载客量的好几倍 但是 一旦实行了超 额订票策略之后 除了对航班的利润带来保障外 也会带 来一些负面的影响 剩余乘客 人数为n m k 会造成航空公司两方面的 损失 一是滞留费用 机票签转的费用 二是来自乘客的 抱怨 影响公司形象的潜在费用 因此 需要在模型里加 进代表 剩余乘客所支出的费用 这一参量 并考察其对所 求利润的影响 以及它与m的相互关系 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 3 改进的模型3 改进的模型 若航空公司解决一名剩余乘客所需费用是b 则利润 m k k kmps 0 利润名乘客乘坐的航班所得有 1 0 nm k m nmk kk fgkmpbnkmfngp m k k m k k nm k k kpgpfmgbnkmgkmnp 00 1 0 0 m k k kkp 期望 表示预计的误机人数 其中 1 0 m n k k mgfkgbgp mnk 1 0 m n k k mk gfbgp mnk north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 1 0 m n k k smk gfbgp mnk 在每一名订票的乘客都抵达了机场这种情况下 有 012 1 0 ppp 则上式简化为 smk gfbgmn ngfb mn 这个结果表明 如同预测的一样 此时 0k 若有 m名乘客预定了载客量为n的航班且他们都抵达了机场 那么利润将是满舱的收支差额 ng f 减去承担 m m 名剩 余乘客的费用 m m b north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 相对于基本模型 此时的模型已经考虑了 乘客误机 与 安排剩余乘客 两种情况 但 有k名乘客误机 这一偶然 还需进一步分解以方便估计与计算 事件的概率 k p 最简单地 假设任一乘客登机的概率为p 误机的概率 为q 1 p 并设乘客是否抵达机场两两无关 则由二项分布 得 kmkk mk pqcp 由此可知估计的误机人数为 0 m k k kkpmq 从而利润 1 0 m n k k spmgfbgp mnk north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 1 0 m n k k spmgfbgp mnk 上式中表达的平均利润依赖于g b f q m和n 但是 成本f 票价g和费用b则在航空公司短期控制范围之外 因 运费不是由个别的航空公司决定 q和n由客观因素约束 所以只有订票数目上限m是航空公司可以改变的参数 特别地 nm 当时 平均利润可化简为 0 m k k spmgfkg kk mgfpgkp mgfqmg pmgf 它是一个关于m的增函数 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 航空公司综合考虑大量的因素 于这个数就亏本 大约是航班载客量的60 通常取临界人数 少 即0 6 fng 则期望利润率 11 60 1 1 0 nm k k knmp g b pm nf s 对一个具体的航空公司而言 在n b g和p的值给定后 可用过数值模拟的方法确定m使 sf达到最大值 当m很大时 可以用泊松分布计算 k p另外 至少有j 个剩余乘客 的概率可以按照如下公式计算 0 m nj k k pjp 至少有 位剩余乘客 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 以波音737 300为例 在给定各数值的条件下进行计 得到的部分结果如下 算机模拟 取n 300 b g 0 8 在不同的p下 与 订票水平m的变化情况如图1所示 随着p的减小 最大期 望利润率减小 相应的订票水平 m显著升高 增多 被挤掉的人数k显著 图1 图1 p与平均利润的关系 sf期望利润率 p 1 m 300 max s f 0 53 p 0 95 m 311 max s f 0 49 p 0 9 m 323 max s f 0 45 s f m north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 取n 300 p 0 95 在不同的b g下 图2 图2 m与平均利润的关系 与 sf期望利润率 订票水平m的变化情况如图2所示 随着b g的增大 最大期 望利润率减小 相应的订票水平m有所减小 在最大期望利润率的订票水平m下 分别算得 至少有 5位剩余乘客 的概率分别为0 08 b g 0 2 0 15 b g 0 5 这表明被挤 掉的人数对b g的变化较为敏感 相反最大期望利润率对于这种 变化相对不敏感 和0 03 b g 0 8 s f m b g 0 2 m 314 max s f 0 494 b g 0 5 m 312 max s f 0 490 b g 0 8 m 311 max s f 0 487 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 在实际中 地估计b而犯错 其实要精确估计b这笔支出费用是相当 困难地 在降低平均利润的条件下 高估一个小数目虽然 也有益处 但要降低乘客座位冲撞概率到一个有意义的 数字的难度还是很大的 因此 航空公司的决策制定者很容易过高 所以 为了争取更多的客源 提高客座率 往往采取超额售票的方式来追求利润的最大化 同时 被挤掉的乘客进行经济补偿以减少由此造成的不利影响 航空公司 对 north university of china 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座 2012年4月6日星期五案例分析案例分析 机票预定策略主讲 薛震机票预定策略主讲 薛震 1 图书馆1 图书馆 四 模型的推广应用四 模型的推广应用 图书馆都有可能购买一些畅销书籍的多种版本 特别 是在学院或大学图书馆里 时常购买一系列课本 某些版 本极有可能仅限在图书馆内 以方便学生们的使用 可以 尝试建立书籍使用