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文档简介

第3课时函数的奇偶性与周期性 一 考纲点击1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 最小正周期的含义 会判断 应用简单函数的周期性 二 命题趋势1 本节内容是高考的热点之一 考查时 常将奇偶性 周期性与单调性综合在一起 周期与三角函数结合比较明显 也常出现在抽象函数中 多为求值问题 2 题型多以客观题为主 一般为容易题 但有时难度也会很大 1 函数的奇偶性 f x f x y轴 f x f x 原点 3 设函数f x x3cosx 1 若f a 11 则f a 解析 观察可知 y x3cosx为奇函数 且f a a3cosa 1 11 故a3cosa 10 则f a a3 cosa 1 10 1 9 答案 9 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个的正数 那么这个正数就叫做f x 的最小正周期 f x 最小 对点演练 教材习题改编 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 则f 8 的值为 a 1b 0c 1d 2解析 f x 为奇函数且f x 4 f x f 0 0 t 4 f 8 f 0 0 答案 b 1 非零的常函数都是 函数f x 0 x r 或x a a 等 既是 又是 定义域不关于原点对称的函数是 2 判断 或证明 函数奇偶性的步骤 1 求函数f x 的定义域 并判断其是否关于原点对称 2 判断f x f x 是否成立 偶函数 奇函数 偶函数 既不是奇函数也不是偶函数 3 函数奇偶性的性质 1 若奇函数f x 在x 0处有定义 则f 0 0 若f x 为偶函数 f x f x 2 设f x g x 的定义域分别是d1 d2 那么在它们的公共定义域上 奇 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 特别地 若f x g x 都不是常函数0 且f x g x 中一奇一偶 则f x g x 不具有奇偶性 相同 原点 相反 相同 2a 2 若f x 同时关于x a与x b对称 a b 则f x 是周期函数 是它的一个周期 若f x 关于x a对称同时关于点 b 0 对称 b a 则是它的一个周期 若f x 关于点 a 0 对称 同时关于点 b 0 对称 则f x 为周期函数 且是它的一个周期 2 b a 4 a b 2 a b 归纳提升 1 奇偶函数的性质 1 若奇函数在原点处有意义 一定有f 0 0 2 f x 是偶函数 f x f x f x 2 奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 题型三函数的周期性及其应用设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x
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