高考数学第一轮总复习 5.4 数列求和课件（含高考真题和模拟题）新人教A版.ppt

第四节数列求和 知识梳理 1 公式法 1 使用已知求和公式求和的方法 2 数列求和常用公式 n2 2 裂项相消法把数列的通项拆分为两项之差 使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法 3 错位相减法 1 适用的数列 anbn 其中数列 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比为q 1的等比数列 2 方法 设sn a1b1 a2b2 anbn 则qsn a1b2 a2b3 an 1bn anbn 1 得 1 q sn a1b1 d b2 b3 bn anbn 1 就转化为根据公式可求的和 4 其他求和方法 考点自测 1 思考 给出下列命题 如果已知等差数列的通项公式 则在求其前n项和时使用公式sn 较为合理 如果数列 an 为等比数列 且公比不等于1 则其前n项和sn 当n 2时 求sn a 2a2 3a3 nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 如果数列 an 是周期为k的周期数列 那么skm msk m k为大于1的正整数 其中正确的是 a b c d 解析 选c 正确 根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知 正确 根据等比数列的求和公式可知 正确 直接验证可知正确 错误 需要分a 0 a 1 以及a 0且a 1三种情况求和 正确 根据周期性可得 2 数列 an 的前n项和为sn 若an 则s5等于 解析 选b 因为所以s5 a1 a2 a5 3 2014 长沙模拟 等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 其前n项的和为sn 则数列的前10项的和为 a 120b 100c 75d 70 解析 选c 因为等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 所以故 4 等于 解析 选b 方法一 令 则 得 所以方法二 取n 1时 代入各选项验证可知选b 5 2014 襄阳模拟 数列 an 的前n项和sn n2 4n 2 则 a1 a2 a10 解析 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 5 所以an 令2n 5 0 得n 所以当n 2时 an0 所以 a1 a2 a10 a1 a2 a3 a4 a10 66 答案 66 6 已知 an 是公比为2的等比数列 若a3 a1 6 则a1 解析 因为 an 是公比为2的等比数列 且a3 a1 6 所以22a1 a1 6 解得a1 2 所以an 2 2n 1 2n 所以即数列是首项为 公比为的等比数列 所以答案 2 考点1公式法求和 典例1 1 2014 大连模拟 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则a1a2 a2a3 anan 1等于 a 16 1 4 n b 16 1 2 n c 1 4 n d 1 2 n 2 2013 重庆高考 设数列 an 满足 a1 1 an 1 3an n n 求 an 的通项公式及前n项和sn 已知 bn 是等差数列 tn为其前n项和 且b1 a2 b3 a1 a2 a3 求t20 解题视点 1 先利用等比数列的通项公式求出an 再证明数列 anan 1 成等比数列 最后利用等比数列的前n项和公式求解 2 先证明数列 an 成等比数列 再利用通项公式及前n项和公式 先解出等差数列 bn 的首项与公差 再利用前n项和公式求t20 规范解答 1 选c 设数列 an 的公比为q 因为a2 2 a5 a2 q3 所以q 所以a1 4 所以an 所以an an 1 即数列 anan 1 是以8为首项 以为公比的等比数列 所以a1a2 a2a3 anan 1 2 由题设知 an 是首项为1 公比为3的等比数列 所以an 3n 1 sn 3n 1 b1 a2 3 b3 1 3 9 13 b3 b1 10 2d 所以公差d 5 故t20 20 3 5 1010 互动探究 若本例第 2 小题的第 问中条件不变 求tn 解析 由本例 2 的第 问解析可知 等差数列 bn 的首项b1 3 公差d 5 所以tn 规律方法 几类可以使用公式求和的数列 1 等差数列 等比数列以及由等差数列 等比数列通过加 减构成的数列 它们可以使用等差数列 等比数列的求和公式求解 2 奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的 可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式 变式训练 2013 新课标全国卷 已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且a1 a11 a13成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 求a1 a4 a7 a3n 2 思路点拨 1 设出公差d 利用a1 a11 a13成等比数列 求得d 可得通项公式 2 发现 a3n 2 构成新的等差数列 确定新数列的公差与通项 然后利用公式求和 解析 1 设 an 的公差为d 由题意 a112 a1a13 即 a1 10d 2 a1 a1 12d 于是d 2a1 25d 0 又a1 25 所以d 0 舍去 d 2 故an 2n 27 2 令sn a1 a4 a7 a3n 2 由 1 知a3n 2 6n 31 故 a3n 2 是首项为25 公差为 6的等差数列 从而sn a1 a3n 2 6n 56 3n2 28n 加固训练 1 设f n 2 24 27 210 23n 10 n n 则f n 等于 a 8n 1 b 8n 1 1 c 8n 3 1 d 8n 4 1 解析 选d 由题意知f n 可看作以2为首项 23为公比的等比数列的前n 4项和 所以f n 8n 4 1 2 已知数列 an 的通项公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 则其前n项和sn 思路点拨 由于存在 1 n 按照n为奇数和偶数分别求解 解析 sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以当n为偶数时 当n为奇数时 综上所述 sn 答案 3 数列 an 的前n项和为sn 且sn n n 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 cn 满足cn 且 cn 的前n项和为tn 求t2n n n 解析 1 a1 s1 2 n 2时 an sn sn 1又a1 2适合上式 所以an n 1 2 因为cn 所以cn 所以t2n c1 c3 c2n 1 c2 c4 c2n 2 4 6 2n 22 24 26 22n n n 1 n2 n 考点2裂项相消法求和 典例2 1 已知数列 4n 2n n n 的前n项和为sn bn 则数列 bn 的前n项和tn 2 2013 江西高考 正项数列 an 满足an2 2n 1 an 2n 0 求数列 an 的通项公式an 令bn 求数列 bn 的前n项和tn 解题视点 1 先求出sn 并对sn进行分解 再对bn进行裂项求和 2 借助二次三项式的因式分解来求an 分析 bn 通项公式的特点选择正确的求和方法 规范解答 1 根据等比数列求和公式得sn 22n 1 2 2n 1 2 2n 1 2n 1 3 2n 1 2n 1 1 2n 1 所以 所以答案 2 由an2 2n 1 an 2n 0 得 an 2n an 1 0 由于 an 是正项数列 所以an 2n 由an 2n bn 得 易错警示 使用裂项相消法的易错点使用裂项相消法求和时 要注意正负项相消时消去了哪些项 保留了哪些项 切不可漏写或写错未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上造成正负相消是此法的根源与目的 如求的前n项和时 剩下的是 规律方法 常见的裂项方法 其中n为正整数 变式训练 2014 海口模拟 已知正项数列 an 满足 an2 nan n 1 0 数列 bn 的前n项和为sn 且sn 2bn 2 1 求数列 an bn 的通项公式 2 求数列的前n项和tn 解析 1 由an2 nan n 1 0得an n 1 或an 1 舍去 又因为sn 2bn 2 所以n 2时 sn 1 2bn 1 2 所以n 2时 bn sn sn 1 2bn 2bn 1 所以bn 2bn 1 n 2 又因为s1 b1 2b1 2 所以b1 2 即数列 bn 是以2为首项 以2为公比的等比数列 所以bn 2 2n 1 2n 2 由 1 知an n 1 bn 2n 加固训练 1 数列 的前n项和为 解析 选b 因为所以 2 记数列 an 的前n项和为sn 且sn c为常数 n n 且a1 a2 a5成公比不等于1的等比数列 1 求c的值 2 设bn 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 由sn n 1 a1 s1 1 n 2 an sn sn 1 1 n 1 c 故an 1 n 1 c 而a1 a2 a5成公比不等于1的等比数列 即 1 c 2 1 4c且c 0 所以c 2 2 由 1 知 an 2n 1 所以所以tn b1 b2 bn 3 已知等差数列 an 的前六项和为60 且a1 5 1 求数列 an 的通项公式an及前n项和sn 2 若数列 bn 满足bn 1 bn an n n 且b1 3 求数列的前n项和tn 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 则6a1 15d 60 由a1 5 解得d 2 所以an 2n 3 sn n n 4 2 由bn 1 bn an 所以bn bn 1 an 1 n 2 n n 当n 2时 bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1 an 1 an 2 a1 b1 n 1 n 1 4 3 n n 2 对b1 3也适合 所以bn n n 2 n n 考点3错位相减法求和 考情 数列求和是高考的热点 特别是用错位相减法求和 在高考中的三种题型都会出现 一般以选择题 填空题考查基础知识 在解答题中综合考查 既与等差 等比数列混合考查 也与三角函数 不等式 解析几何等知识交汇考查 高频考点通关 典例3 1 2014 焦作模拟 化简sn n n 1 2 n 2 22 2 2n 2 2n 1的结果是 a 2n 1 n 2b 2n 1 n 2c 2n n 2d 2n 1 n 2 2 2013 山东高考 设等差数列 an 的前n项和为sn 且s4 4s2 a2n 2an 1 求数列 an 的通项公式 设数列 bn 满足n n 求 bn 的前n项和tn 解题视点 1 利用错位相减法求和 2 先设出等差数列的首项和公差 然后根据s4 4s2 a2n 2an 1可列方程组求得数列的通项公式 先根据n n 求出 bn 的通项公式 再利用错位相减法求出tn 规范解答 1 选d 因为sn n n 1 2 n 2 22 2 2n 2 2n 1 2sn n 2 n 1 22 n 2 23 2 2n 1 2n 所以 式得 sn n 2 22 23 2n n 2 2n 1 所以sn 2n 1 n 2 2 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 由s4 4s2 a2n 2an 1得解得a1 1 d 2 因此an 2n 1 n n 由已知当n 1时 当n 2时 验证知n 1时 也符合该式 所以 由 知an 2n 1 n n 所以bn n n 所以两式相减得所以 通关锦囊 特别提醒 求和过程中 要对项数进行准确判断 含有字母的数列求和 常伴随着分类讨论 通关题组 1 2014 咸宁模拟 设等差数列 an 的前n项和为sn 且a3 6 s10 110 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 的前n项和为tn 且tn 令cn anbn n n 求数列 cn 的前n项和rn 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a1 2d 6 2a1 9d 22 所以a1 2 d 2 所以数列 an 的通项公式an 2 n 1 2 2n 2 因为tn 当n 1时 当n 2时 bn tn tn 1 且n 1时满足所以数列 bn 的通项公式为bn 所以所以即两式相减得 所以 2 2014 合肥模拟 已知数列 an 的前n项和为sn 对一切正整数n 点 n sn 都在函数f x 2x 2 4的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn an log2an 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 由题意知 sn 2n 2 4 n 2时 an sn sn 1 2n 2 2n 1 2n 1 当n 1时 a1 s1 23 4 4 也适合上式 所以数列 an 的通项公式为an 2n 1 n n 2 因为bn an log2an n 1 2n 1 所以tn 2 22 3 23 4 24 n 2n n 1 2n 1 2tn 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 n 1 2n 2 得tn 23 23 24 25 2n 1 n 1 2n 2 23 n 1 2n 2 23 23 2n 1 1 n 1 2n 2 n 1 2n 2 23 2n 1 n 1 2n 2 2n 2 n 2n 2 3 2014 益阳模拟 已知数列 an 的前n项和为sn 且a1 an 1 an 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn n 2 sn n n 若集合m n bn n n 中恰有4个元素 求实数 的取值范围 解析 1 方法一 由已知可得其中n n 所以数列是公比为的等比数列 其首项为所以 方法二 由已知可得所以以上各式累乘可得又 2 由 1 知 所以所以因此 所以 所以当n 1时 b2 b1 0 即b2 b1 当n 2时 bn 1 bn 0 即bn 1 bn 又要使集合m n bn n n 恰有4个元素 需所以 所求实数 的取值范围是 加固训练 1 2014 石家庄模拟 已知数列 an 的前n项和为sn sn 2an 1 n n 数列 n 1 an 的前n项和tn 解析 因为sn 2an 1 所以sn 1 2an 1 1 所以an 1 2an 1 2an 即an 1 2an 又因为s1 2a1 1得a1 1 所以an 2n 1 tn 2 20 3 21 4 22 n 1 2n 1 则2tn 2 21 3 22 n 2n 1 n 1 2n 所以 tn 2 2 22 2n 1 n 1 2n 2 n 1 2n n 2n 所以tn n 2n 答案 n 2n 2 2014 杭州模拟 设正项等比数列 an 的首项a1 前n项和为sn 且 a2 a3 a1成等差数列 1 求数列 an 的通项 2 求数列 nsn 的前n项和tn 解析 1 设正项等比数列 an 的公比为q q 0 由题知a1 a2 2a3 且a1 所以a1 a1q 2a1q2 即有2q2 q 1 0 解得q 1 舍去 或q 所以an 2 因为故则数列 nsn 的前n项和tn 1 2 n 两式相减 得 3 2014 聊城模拟 已知函数f x logkx k为常数 k 0且k 1 且数列 f an 是首项为4 公差为2的等差数列 1 求证 数列 an 是等比数列 2 若bn an f an 当k 时 求数列 bn 的前n项和sn 3 若cn anlgan 问是否存在实数k 使得 cn 中的每一项恒小于它后面的项 若存在 求出k的范围 若不存在 说明理由 解析 1 由题意知f an 4 n 1 2 2n 2 即logkan 2n 2 所以an k2n 2 所以因为常数k 0且k 1 所以k2为非零常数 所以数列 an 是以k4为首项 k2为公比的等比数列 2 由 1 知 bn anf an k2n 2 2n 2 当k 时 bn 2n 2 2n 1 n 1 2n 2 所以sn 2 23 3 24 4 25 n 1 2n 2 2sn 2 24 3 25 n 2n 2 n 1 2n 3 得sn 2 23 24 25 2n 2 n 1 2n 3 23 23 24 25 2n 2 n 1 2n 3 所以sn 23 n 1 2n 3 n 2n 3 3 存在 由 1 知 cn anlgan 2n 2 k2n 2lgk 要使cn1时 lgk 0 n 1 n 2 k2对一切n n 恒成立 只需k2 因为单调递增 所以当n 1时 所以k2 且0 k 1 所以0 k 综上所述 存在实数k 1 满足条件 易错误区 求数列中项的绝对值之和的易错点 典例 2014 日照模拟 已知数列 an 的前n项和sn n2 6n 则 an 的前n项和tn a 6n n2b n2 6n 18 解析 误区警示 规避策略 类题试解 1 在等差数列 an 中 a1 0 a10 a11 0 若此数列的前10项和s10 36 前18项和s18 12 则数列