高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性配套课件 理 人教版 .ppt

2 4函数的奇偶性与周期性 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲练互动 考向瞭望把脉高考 知能演练轻松闯关 基础梳理1 函数的奇偶性 f x f x y轴 f x f x 原点 2 函数的周期性 1 周期的定义一般地 对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有 则称函数f x 为周期函数 非零常数t称为函数f x 的周期 2 最小正周期对于一个周期函数f x 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数叫做f x 的 f x t f x 最小正周期 思考探究1 奇 偶函数的定义域有什么特点 提示 奇 偶函数的定义域在数轴上都关于原点对称 2 存在既是奇函数又是偶函数的函数吗 提示 存在 f x 0 x r 课前热身1 教材改编 设f x x3 2x g x 2x4 3x2 则y f x g x 是 a 奇函数b 偶函数c 既是奇函数又是偶函数d 非奇非偶函数答案 a 答案 a 答案 a 4 2012 高考上海卷 已知y f x x2是奇函数 且f 1 1 若g x f x 2 则g 1 解析 y f x x2是奇函数 f x x 2 f x x2 f x f x 2x2 0 f 1 f 1 2 0 f 1 1 f 1 3 g x f x 2 g 1 f 1 2 3 2 1 答案 1 5 f x 是定义在r上的以3为周期的奇函数 则f 3 答案 0 思路分析 可从定义域入手 在定义域关于原点对称情况下 考查f x 与f x 的关系 4 易知f x 的定义域为r f x x x 2 1 x x2 1 f x f x f x 即f x 是偶函数 误区警示 对于 1 只代入 x而得出偶函数结论 对于 2 易丢掉定义域 对于 3 只判断一部分 考点2函数的周期性函数的周期性是指函数的重复性变化 是对于定义域内的所有自变量x来说的 不是指某几个特定的自变量 若t是它的一个周期 则nt n z n 0 也是该函数的一个周期 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x恒满足f x 2 f x 1 求f 0 的值 f 2 的值 2 证明f x 是周期函数 并求最小正周期 思路分析 1 x 0 f 0 f 2 2 f x 4 f x 2 t 解 1 f x 是定义在r上的奇函数 f 0 f 0 f 0 0 又 f x 2 f x 当x 0时 f 2 f 0 0 2 证明 由f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是最小正周期为4的周期函数 跟踪训练1 2012 高考山东卷 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2012 a 335b 338c 1678d 2012解析 选b 由f x 6 f x 可知 函数f x 的周期为6 所以f 3 f 3 1 f 2 f 4 0 f 1 f 5 1 f 0 f 6 0 f 1 1 f 2 2 所以在一个周期内有f 1 f 2 f 6 1 2 1 0 1 0 1 所以f 1 f 2 f 2012 f 1 f 2 335 1 1 2 335 338 故选b 考点3函数性质的综合应用有关函数问题 要充分考虑到它的所有性质 定义域 值域 最值 奇偶性 单调性 周期性 并结合图象综合运用 思路分析 1 x1 x2 1 f 1 2 令x1 1 x2 x f x f x 3 关于x 1对称 f x f 2 x f x f 2 x 解 1 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 2 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 令x1 1 x2 x 有f x f 1 f x f x f x f x 为偶函数 思维总结 对于抽象函数奇偶性的判定通过赋值寻找f x 与f x 的关系 跟踪训练2 2011 高考陕西卷 设函数f x x r 满足f x f x f x 2 f x 则y f x 的图象可能是 解析 选b 由于f x f x 所以函数y f x 是偶函数 图象关于y轴对称 所以a c错误 由于f x 2 f x 所以t 2是函数y f x 的一个周期 d错误 所以选b 方法技巧1 奇 偶函数的性质 1 设函数f x g x 的定义域分别是d1 d2 那么在它们公共定义域上有 当f x g x 均为奇函数时 f x g x 是奇函数 f x g x 是偶函数 当f x g x 均为偶函数时 f x g x 是偶函数 f x g x 是偶函数 奇函数的反函数也是奇函数 2 若f x 是偶函数 f x f x 若奇函数f x 的定义域内含有数0 则必有f 0 0 3 若函数f x 为奇函数 在 a b 上为增函数 则f x 在 b a 上为增函数 若函数f x 为偶函数 在 a b 上为增函数 则f x 在 b a 上为减函数 4 函数奇偶性的判定方法 利用定义f x 是奇函数 f x f x f x f x 0 f x 是偶函数 f x f x f x f x 0 利用图象的对称性f x 是奇函数 f x 的图象关于原点对称 f x 是偶函数 f x 的图象关于y轴对称 2 若f x 同时关于x a与x b对称 a b 则f x 的一个周期为2 b a 3 若f x 关于x a对称 同时关于点 b 0 对称 b a 则f x 的一个周期为4 b a 4 若f x 关于 a 0 对称 同时关于 b 0 对称 则f x 的一个周期为2 b a 失误防范1 判断函数的奇偶性 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2 判断分段函数奇偶性时 要以整体的观点进行判断 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性 3 奇偶性和周期性都是函数的整体性质 奇偶性是解决函数图象的对称性问题 周期性是解决函数图象的平移问题 单调性是函数的局部性质 要注意区分对于偶函数y f x f a f b f a f b 4 并不是所有的周期函数都有最小正周期 命题预测 典例透析 答案 d 名师点评 本题的技巧