数学建模实验报告线性规划.doc

数学建模实验报告姓名：霍妮娜班级：计算机95学号：09055093指导老师：戴永红提交日期：2011年5月15日一线性规划问题描述：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大。进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.问题分析：首先应该明确本题是一个线性规划问题，通过分析题目，列出方程组，然后可以借助Mathematic软件包来解决这个问题。解： 设生产甲饮料的百箱数为x，乙的百箱数为y，总收益为z，先列出由题目得出的方程组,目标函数为z=10x+9y，约束条件如下 6x+5y60 10x+20y150 0x8 y0 这是一个线性目标函数在线性等式和不等式约束下求最大值的问题，用Mathematic中解决线性规划模型的语句：ConstrainedMax10*x+9*y,6*x+5*y60,10*x+20*y150,10*x+20*y150, 0x8,x,y 输出的结果是： 通过变换将其变为小数即根据程序运行结果可以看出，投资6.42857百箱的甲饮料，4.28571百箱的乙饮料，能得到最大利润102.857万元。讨论题：1).这个问题跟上个问题非常类似，只不过是目标函数变成了获利减去投资的钱即为总收益z。设投资增加了m千克原料，则目标函数变为：z=10x+9y-0.8m 约束条件为： 6x+5y60+m 10x+20y150 0x8 y0 用Mathematic中解决线性规划模型的语句：ConstrainedMax10x+9y-0.8m,6x+5y60+m,10x+20y150, 0x8,x,y,m 输出结果为： 根据程序的执行结果，当投资生产8百箱的甲饮料，3.5百箱的乙饮料，并增加5.5千克的原料，即再投资4.4万元，能够获得的最大收益为107.1万元。由于107.1102.857，应该做增加原料的投资。2).这一题与原题基本一样，只需要将10改为11即可，此时目标函数变为： z=11x+9y 6x+5y60 10x+20y150 0x8 y0 用Mathematic中解决线性规划模型的语句：ConstrainedMax11x+9y,6x+5y60,10x+20y150, 0x8,x,y 输出结果为： 在这种情况下，当生产8百箱甲饮料，2.4百箱乙饮料，可以获得最大收益109.6万元，显然106.9102.857，所以应该改变生产计划。实验体会：线性规划问题用计算机处理，非常简洁方便，而且准确率很高，可以提高效率，节省时间，非常实用。二随机模型问题描述：有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层，设每个乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学模型。问题分析： 本题除了利用概率论的知识进行数学分析建模，还可以通过计算机经过大量重复试验，建立数学模型。本题中，我利用随机变量函数，产生均匀分布的随机数，利用这些随机数的大小可以模拟在某一层楼出去的人数，通过编程统计就可以得到电梯需要听的次数了。本次实验中我利用了Matlab来完成计算机的仿真建模。1. 首先需要计算机生成一组随机整数组：y=randint(c,n,1,x)，它的范围是从1x，其中x即为电梯中现有的人数。2. 在通过两重for循环，来实现10000次模拟实验，最后统计出总的数目。结果为res=17程序代码：r=20;n=17;c=10000;s=0;x=n;y=randint(c,n,1,x)for i=1:c x=n;for j=1:n;if(x0);j=j+1;p=y(i,j);end if(p0);x=x-p;s=s+1;endendendres=s/c程序结果如下：实验体会：关于循环的问题，关键是要明白循环的逻辑关系，不要因为循环次数太多了而导致自己逻辑混乱。还有对于随机变量的合理利用，可以对解决问题起到非常大的作用。三插值问题描述：在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。X129140103.588185.5195105Y7.5141.52314722.5137.585.5Z4868688X157.5107.57781162162117.5Y-6.5-81356.5-66.584-33.5z9988949问题分析：通过问题可以看出，本题是一个插值问题，可以利用Matlab中的软件包来进行解决。1首先需要输入插值基点数据，给出插值节点X0、Y0以及Z0，这些数据在上表中都已经给出了。A = 129 7.5 4; 140 141.5 8; 103.5 23 6; 88 147 8; 185.5 22.5 6195 137.5 8; 105 85.5 8; 157.5 -6.5 9; 107.5 -81 9; 77 3 881 56.5 8; 162 -66.5 9; 162 84 4; 117.5 -33.5 9 ;x0= A( :, 1);y0 = A( :, 2 );z0 = A( :, 3 );2.然后在矩形区域（75,200）（-50,150）进行散点数据的插值计算，其中插值方法选用双三次插值；xi = 75 : 0.5 : 200;yi = -50 : 0.5 : 150;zi =griddata ( x0, y0, z0, xi, yi, cubic );3.接下来通过mesh( xi, yi, zi )作海底曲面图； mesh( xi, yi, zi );结果如下图所示4.最后作出水深小于5的海域范围，这个问题可以转化为z=5的等高线。contour( xi, yi, zi, 5,5, r );结果如下所示： 通过这个等高线，就可以得到水深小于5m的区域了，也就是我们所要求的船应该避免进入的地方。实验体会 通过本次实验我对Matlab强大的画图功能有了进一步的认识，对插值的计算方法，关于离散数据插值的计算比较了解了。对于这一类型的题目，相信也不会再有无从下手的感觉了。四黑白球放置问题描述：如图所示，27个立方形空盒排成333的三维阵列，如果三个盒子在同一条水平线上，或同一条垂直线上，或同一条对角线上,则认为三盒一线。这样的线共有49条：水平线18条，垂直线9条，水平面对角线6条，垂直面对角线12条，对角面对角线4条。现有白球13个，黑球14个，每个盒子中放入一球，如何投放，使有单一色球的线数最少。问题分析： 本题主要利用计算机来进行大量的计算，实现穷举。其中代码如下： 由于本次实验中用到了随机函数来产生随机数，所以应该做尽可能多的试验来保证结果的准确性，本次实验中采用了n=10000。 在每一次试验中，构建一个333的三维数组，其数值均在01，规定当值大于0.5放入该位置的为黑球，否则为白球。2.接下来就是判断这是否是一个可以接着计算得模型了，如果白球的个数不是13个，那么说明这个模型是错误的，不应该继续下去，如果white=13，继续下一步3.for三次循环，每次循环判断有哪些线的球是同一个色，如果是单色球线，则line加一4比较result和line，如果前者比后者大，则将line赋值给result5.循环结束后，输出result，即得到最小的单色球的线数。程序代码如下：有结果可以看出，最少单一色球线数为4.实验体会：通过此次实验，我理解了用穷举法解决实际问题的方法，深刻的体会到了利用计算机解决一些需要大量计算，循环的问题时的方便之处，对于穷举法较以前也有了更深的认识。五层次分析法问题描述一位四年级大学生正在从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位，他考虑的主要因素包括发展前景、经济收入、单位信誉、地理位置等，试建立模型给他提出决策建议。问题分析 首先经过对问题的具体情况了解后，建立层次结构模型，进而进行决策分析。下面我建立这样一个层次结构模型： 某岗位综合分数 发展前景x1 经济收入x2 家庭因素x3 地理位置x4 这是一个比较简单的层次结构模型,经过如下步骤就可以将问题解决。1.成对比较 从x1, x2, x3, x4中任取xi和xj，对他们对于y贡献的大小，按照以下标度给xi/xj赋值： xi/xj=1，认为前者与后者贡献程度相同；xi/xj=3，前者比后者的贡献程度略大；xi/xj=5，前者比后者的贡献程度大；xi/xj=7，前者比后者的贡献大很多；xi/xj=9，前者的贡献非常大，以至于后者根本不能和它相提并论；xi/xj=2n，n=1，2，3，4，认为xi/xj介于2n-1和2n+1直接。xj / xi =1/n，n=1，2，9，当且仅当xi/xj=n。2.建立逆对称矩阵 记已得所有xi/xj，i，j=1，2，3，4，建立n阶方阵 1 1 3 5 A= 1 1 3 5 1/3 1/3 1 3 1/5 1/5 1/3 13.迭代 e0=（1/n，1/n，1/n，1/n）T ek=Aek-1一直迭代直达到极限 e=(a1, a2, , a4)T则权系数可取Wi=ai解：首先通过迭代法计算得x1，x2，x3，x4的权数分别为：0.278，0.278，0.235，0.209.假设 对所有的xi都采用十分制，现假设有三家招聘公司，它们的个指标如下所示： x1x2x3x4甲 8 5 7 9乙 7 9 6 6 丙 5 7 9 8 按公式分别求出甲、乙、丙三家公司的综合指数为7.144，7.112和7.123.由此可以看出，应该选择甲公司。实验体会：或许这次的实验不是一道很难的题目，但是我却通过本次这个简单的层次分析法解决的问题的实验，学会了用层次来解决与管理有关的决策问题，对迭代法的认识更加深刻。由小到大，由简到难，知道了如何判断矩阵的一致性，如何利用方根法以及和积法计算矩阵的最大特征根。总结词： 通过这一学期对数学建模的学习，我对数学建模的三大功能：解释，判断，预测有了更进一步的感性认识。当然，通过一学期的实验，我也对强大的数学软件Matlab和Mathematic有所了解，如果能够好好的利用这些软件，那么在处理建模问题的过程中将会