二元二次方程组的解法及应用.docx

【标题】二元二次方程组的解法及应用 【作者】李 鹏 【关键词】二元二次方程组特征根曲线交点韦达定理 【指导老师】秦 小 二 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言在尼罗河三角洲盛产一种形状如芦苇的水生植物纸莎草，古埃及人把这种草从纵面剖成小条，拼排整齐，连接成片，压榨晒干，用来写字，在纸莎草上写的字，叫纸草书。1822年，一位名叫高博良的法国人弄清了它们的含义，使人们知道，古埃及人已学会用数学来管理国家和宗教事务，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，按土地面积估计应该征收的地税，计算修造房屋和防御工程所需要的砖块数；计算酿造一定量酒所需的谷物数量；等等。换成数学的语言就是，古埃及人已经掌握了加减乘除运算、分数的运算；他们解决了一元一次方程和一类相当于二元二次方程组的特殊问题。早在两千年前我国古代数学名著九章算术中也记载了二、三元线性方程组的解法。2二元二次方程组的定义我们知道，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的整式方程叫一元一次方程。含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫二元一次方程。含有两个未知数的几个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是两次的整式方程叫做二元二次程。由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成或者由两个二元二次方程组成的方程组我们就称它为二元二次方程组。即：或3二元二次方程组的解法3.1代入消元法代入消元法可通过消去一个未知数后，解出一个未知数，再代入方程组中一个方程求出另一个未知数，或把一个方程或通过两个方程分解成一次式的因式，分成两个一次与二次方程组成的方程组，再按第一种类型去解，这种解法的主要目的是降次，把二次变成一次方程例1解方程组解：(1)(2)3得y2y=0，解出y1=0，y2=1，分别代入(2)得出x1=3，=1；x2=0,=2,为原方程的解例2解：(1)(2)2得x+y=0，即x=y(3)把(3)代入(2)并化简得 2x23x2=0解出代入(3)求出所以:,为原方程的解3.2因式分解法例3解方程组解：由（1）得：()=25，则=5或者=-5由（2）得:所以:原方程组可化为：或（无解）或或（无解）解之：得：,3.3完全平方法例4解方程组解：得,所以得,所以由(3)和(4)联立解之解方程组.解之得原方程组的解为3.4韦达定理法例5解方程组解：由（2），得把(1)代入(3),得,即由（1）、（4）及韦达定理的逆定理，知是方程的两个根。解这个方程，得.所以原方程的解为,.3.5特征方程法为了下面的需要我们先讨论一下实系数二元二项式的复分解问题.设是一个实系数二元二项式,由解析几何理论知识知道:能分解,则二次曲线=0是退化的,即曲线上有奇点,因而其系数行列式=0反过来,如果,则二次曲线=0必是下列情形之一:(1)表示两条相交曲线;(2)表示两条平行直线直线;(3)表示两条平行直线;(4)表示两条平行虚线;(5)表示一实点(即两条共轭虚直线的交点),因此总有能在复数范围内分解.综上所述有以下定理:定理:实系数二元二项式在复数范围内能分解的充要条件是=0.现在设方程组容易看出且有:(1) 对应于一个二元二次方程组至多有六个不同的特征根;(2) 若有特征根为0,既原方程组中必有一方程可以分解为两个一次方程,反之也成立;(3) 特征方程至少有一实根,如果特征方程是有理系数方程,可以先求有理根,若不存在有理根,可用三次方程的求根公式求出这一实根;(4) 特征方程有相同个数的根,且有相同个数的非零根,而且非零根互为倒数.原理对于任一实系数二元二次方程组若知道它的一个实特征根,则(或)或可能分解或可能降次,于是问题转化为求解同解方程组:或的问题,在具体解题时,一般先判断是否有方程可以分解降次,再考虑用特征方程.例6解方程组解：=-42 0;=-2 0,所以说都不能分解.=取特征根于是方程组可化为解这个方程组得所求解为,;,.例7解方程组解：=0所以必能分解,事实上=于是原方程组化为,解这个方程组,.4二元二次方程组的应用4、1二元二次方程组与曲线理论我们先来看一个例子，解二元二次方程组，我们可以运用前面我们讲的消元法、和韦达定理法很快解得和都是方程组的解，不难看出这一组解具有对称性，我们把这组解称为对称解。事实上，我们只要联系高中数学中曲线的对称性和交点理论我们很快发现这个问题。高中数学中的曲线对称性和交点理论告诉我们：（1） 若方程中，的位置互换后方程不变，则方程所对应的曲线关于直线对称，即点在曲线上则点也在曲线上。（2） 两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共实数解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来方程组有几个实数解，两条曲线就有几个交点。从方程组不难看出，若将方程（1），（2）中的的位置颠倒，方程（1），（2）仍然不变。根据曲线的对称性理论，由（1），（2）两方程所确定的两条曲线关于直线对称，由图象可以看出，若（3，4）是线和曲线在平面上交点，则（3，4）关于直线对称的点（4，3）也必定是直线和曲线在平面上交点，再由曲线交点理论就知道和都是方程组的解。由曲线的对称性和交点理论我们不难得出下面的结论：一个简单的二元二次方程组如果：1、 在原方程组中的位置互换后方程都不变，若是方程组的解，则也是方程组的解。2、 在方程组用-代替（不变）后方程（1），（2）都不变，若是原方程组的解则也是原方程组的解。3、 在方程组用-代替（不变）后方程（1），（2）都不变，若是原方程组的解则也是原方程组的解。4、 在方程组，用-，-代替后方程（1），（2）都不变，若是原方程组的解则也是原方程组的解。5、 在方程组（1）中，互换后所得的方程恰好是方程（2），且原方程组有解，则必有的解。例8求曲线与这两条曲线的交点坐标。解：建立二元二次方程组得因为次方程组满足上面的条件5，所以有的解，所以可在（1）中令得到，所以有，所以，于是得到两组解：和，又因为方程组又满足2和3的条件，所以还有和这两组解。因此我们可知道着两条曲线交于四个点，交点分别是（2，2），（-2，-2），（2，-2），（-2，2）4.2二元二次方程组和几何问题例9如图在 ABC中 C=，BE=AC，DEBCBD=，BC+DE=1，求证： B=。证明：设DE=，BE=AC=，则：。由（2）-（1）得到，于是在Rt BDE中，。例10正方形ABCD内接于抛物线和直线所围成的图形（如图），求C的坐标。解：设C点坐标为（a,b）,C点坐标满足抛物线方程因此：，由对称性知B与C关于直线对称有：得到方程组：解得：和其中不合题意，舍去。所以C点坐标为（，）。5总结本文从理论方法和实际运用两方面研究二元二次方程组的解法及其解法