高等数学第七版1-3函数极限ppt课件.ppt

1 第三节函数的极限 2 自变量变化过程的六种形式 根据自变量的这种变化过程 本节主要研究以下两种情况 二 当自变量x的绝对值无限增大时 f x 的变化趋势 一 当自变量x无限地接近于x0时 f x 的变化趋势 3 一 自变量趋向有限值时函数的极限 这个函数虽在x 1处无定义 但从它的图形上可见 当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时 f x 的值无限地接近于4 我们称常数4为f x 当x 1时f x 的极限 4 怎样用数学语言刻划 问题 无限接近 于确定值A 5 1 定义 定义1 设函数 有定义 记作 或 恒有 在点x0某去心邻域内 6 注 1 定义习惯上称为极限的 定义其三个要素 正数 正数 不等式 3 与任意给定的正数 有关 2 有没有极限 与在点是否有定义无关 7 必存在x0的去心邻域 对于此邻域内的x 对应的函数图形位于这一带形区域内 作出带形区域 8 一般说来 应从不等式 出发 推导出应小于怎 这个正数就是要找的与相对应的 这个推导常常是困难的 但是 注意到我们不需要找最大的 所以 适当放大些 的式子 变成易于解出 找到一个需要的 找到 就证明完毕 可把 样的正数 9 证 这是证明吗 非常非常严格 例1 10 例2证明 证 于是 恒有 11 例3 分析 函数在点x 1处没有定义 但这与函数在该点是否有极限并无关系 证 12 例4 证 min 可用 保证 13 练习 证明 证 由于 要使 解出 只要 可取 有 解不等式 14 3 左 右极限 单侧极限 例如 两种情况分别讨论 记作 记作 15 左极限 右极限 或 或 记作 记作 16 且 此性质常用于判断分段函数当x趋近于 分段点 时的极限 17 1 左 右极限均存在 且相等 2 左 右极限均存在 但不相等 3 左 右极限中至少有一个不存在 找找例题 函数在点x0处的左 右极限可能出现以下三种情况之一 18 例5 设函数 讨论 时 的极限是否存在 解 利用定理3 因为 显然 所以 不存在 19 练习 y f x x O y 1 1 在x 1处的左 右极限 解 20 二 自变量趋向无穷大时函数的极限 21 22 23 24 25 26 27 返回 28 通过上面演示实验的观察 如何用精确的数学数学语言刻划函数 无限接近 29 30 2 另两种情形 31 解 显然有 可见 和 虽然都存在 但它们不相等 例5 讨论极限是否存在 32 图形 完全落在 的图形的 水平渐近线 horizontalasymptote 则直线 33 例6 证 成立 由极限的定义可知 34 例7 证 要使 成立 只要 有 解不等式 35 练习 试证 证 注意 有 为了使 只要使 有 36 三 函数极限的性质 函数极限与数列极限相比 有类似的性质 定理1 极限的唯一性 有极限 若在自变量的某种变化 趋势下 则极限值必唯一 定理2 局部有界性 f x 有极限 则f x 在上有界 f x 有 极限 且证明方法也类似 37 定理3 局部保号性 证 1 设A 0 取正数 即 有 自己证 38 只要取 便可得更强的结论 证 1 也即 2 自己证 定理3 1 的证明中 不论 定理 39 证 假设上述论断不成立 那么由 1 就有 在该邻域内 这与 所以 类似可证的情形 假设矛盾 若定理3 2 中的条件改为 必有 不能 如 思考 是否 定理3 40 1 函数极限的 或 定义 2 函数极限的