初等数论期末考试试卷张.doc

. 初等数论试卷(B)一，选择题（满分15分，每题3分）1，下列不正确的是（ ）A 设，,若，则。B 设，,若,则.C 设，,若，则。D 设，,若，则。2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ）A 2，B 5，C 6，D 3。3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）A ，B ，C ，D 。4，同余方程的解为（ ）A ，B ，C ，D 此方程无解。5，下列哪一个同余方程组无解（ ） A ，B C ，D 。二，填空题（满分10分，每题2分）1，当= 时，和同时成立。2，设，则 为模m的非负最小完全剩余系。3， 。4，写出模8的一个简化剩余系： 。5，余式等价于等式： 。三，判断题（满分10分，每题2分 ）1，为欧拉函数，则。 （ ）2， 设，a，（a,m）=1，若整数集合为模的一个简化剩余系，则也为模的一个简化剩余系。 （ ）3，模的完全剩余系只有有限个。 （ ）4，循环小数的循环节长度为4。 （ ）5，两整数相等，则必同余。 （ ）四，求解题（满分30分 ）1，用“弃九法”验算下面式子是否正确：。（）2，求所化成的循环小数的循环节的长度。（）3，求同余方程的所有解。（）4，求同余方程组的解。（）五，证明题（满分25分 ）1，证明：对一切正整数，都有 。（）2，设是两个大于的质数，证明：（）3，求证：当为奇数时，。（）初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果，则( ).A B C D 2、如果，则15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定4、如果,是任意整数,则A B C T D 5、如果( ),则不定方程有解.A B C D 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式有解的充分必要条件是( ).3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果是两个正整数,则存在( )整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)1、求136,221,391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求136,221,391=?（8分）解 136,221,391=136,221,391=1768,391 = =104391=40664.2、求解不定方程.（8分） 解：因为（9，21）=3，所以有解；化简得；考虑，有， 所以原方程的特解为，因此，所求的解是。 3、解同余式. （8分）解 因为(12,45)=35,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于,即. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, ,.4、求,其中563是素数. （8分）解 把看成Jacobi符号,我们有-（3分）-（2分）,-（2分）即429是563的平方剩余. -（1分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数. (10分) 证明 因为=, -（3分）而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -（2分）并且(2,3)=1, -（1分）所以从和有,-（3分）即是整数. -（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为, -（3分）所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,1,2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以T -（7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 -（1分）3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. （11分） 证明 设是正数,并且, -（3分）如果, -（1分）则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余, 所以只能与0,1同余, 所以, -（4分）而这与的假设不符, -（2分）即定理的结论成立. -（1分）一、单项选择题1、（C ）.A B C D 02、如果，则(D ).A B C D 3、如果，则=（C ）.A B C D 4、小于30的素数的个数（A ）.A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ C ）.A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果，则15（A ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因数?解： 24871=34687+595 3468=5955+493 595=4931+102 493=1024+85102=851+17 85=175,所以,(24871,3468)=17.2、 求24871,3468=?解：因为（24871,3468）=17 所以 24871,3468= =5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。3、求136,221,391=?解： 136,221,391=136,221,391=1768,391= =104391=40664.三、证明题1、 如果是两个整数,则存在唯一的整数对,使得,其中.证明 ：首先证明唯一性.设,是满足条件的另外整数对,即,.所以,即,.又由于,所以.如果,则等式不可能成立.因此,. 其次证明存在性.我们考虑整数的有序列,则整数应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数使.我们设,则有,. 2、 证明对于任意整数,数是整数. 证明： 因为=, 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, 并且(2,3)=1, 所以从和有,即是整数. 3、 任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数. 证明： 因为 , =, 所以,-= 而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 4、 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为 所以= 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即是8的倍数. 一、单项选择题1、如果( A ),则不定方程有解.A B C D 2、不定方程（A ）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 二、求解不定方程1、.解：因为（9，21）=3，所以有解； 化简得； 考虑，有， 所以原方程的特解为， 因此，所求的解是。 2、.解：因为 ,所以有解; 考虑,; 所以是特解, 即原方程的解是 3、.解：因为（107，37）=1，所以有解； 考虑，有， 所以，原方程特解为=225，=-650， 所以通解为 4.求不定方程的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解,这里是任意整数.5.求不定方程的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)= t, 48+5(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解,这里是任意整数.一、选择题1、整数5874192能被( B )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能被(C )整除.A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如果,是任意整数,则（A ）A B C T D 二、解同余式（组）（1）.解 因为(45,132)=321,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程.我们再解不定方程, 得到一解(21,7).于是定理4.1中的.因此同余式的3个解为, , . （2）解 因为(12,45)=315,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于,即. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, ,.（3）.解 因为(111,321)=375,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程. 我们再解不定方程,得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, , . （4）.解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式,得到.于是所求的解为（5）. (参考上题)三、证明题1、 如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设是一正整数,并将写成10进位数的形式:=,. 因为100(mod5), 所以我们得到 所以整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 2、证明当是奇数时，有.证明 因为,所以. 于是,当是奇数时,我们可以令.从而有, 即. 初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果，则( ).A B C D 2、如果，则15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定4、如果,是任意整数,则A B C T D 5、如果( ),则不定方程有解.A B C D 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式有解的充分必要条件是( ).3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果是两个正整数,则存在( )整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)1、求136,221,391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)2、 求136,221,391=?（8分）解 136,221,391=136,221,391=1768,391 = =104391=40664. 2、求解不定方程.（8分） 解：因为（9，21）=3，所以有解；化简得；考虑，有，所以原方程的特解为，因此，所求的解是。3、解同余式. 解 因为(12,45)=35,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于,即. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3)即定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, , .4、求,其中563是素数. （8分）解 把看成Jacobi符号,我们有-（3分）-（2分）,-（2分）即429是563的平方剩余. -（1分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数. (10分) 证明 因为=, -（3分）而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -（2分）并且(2,3)=1, -（1分）所以从和有,-（3分）即是整数. -（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为, -（3分）所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,1,2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以T -（7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 -（1分）3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. （11分） 证明 设是正数,并且, 如果,则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余,所以只能与0,1同余,所以, 而这与的假设不符, 即定理的结论成立. 初等数论考试试卷二一、单项选择题 1、（ ）.A B C D 02、如果，则=（ ）.A B C D 3、小于30的素数的个数（ ）.A 10 B 9 C 8 D 74、如果,是任意整数,则A B C T D 5、不定方程（ ）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或97、如果，则( ).A B C D 8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定9、大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个 B 5个 C 2个 D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3