高中数学（入门答疑+思维启迪+状元随笔）3.1.2用二分法求方程的近似解同步课堂讲义课件 新人教A版必修1.ppt

3 1 2用二分法求方程的近似解 在一档娱乐节目中 主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格 若猜中了 就把物品奖给选手 某次竞猜的物品为价格在500元 1000元之间的一款手机 选手开始报价 选手 750 主持人 低了 选手 800 主持人 高了 选手 760 主持人 高了 选手 755 主持人 高了 选手 753 主持人 高了 选手 752 主持人 祝贺你 答对了 问题 物价竞猜体现了什么数学知识 提示 二分法求近似值 1 会用二分法求方程的近似解 重点 2 明确精确度 与近似值的区别 易混点 3 会判断函数零点所在的区间 难点 连续不断 f a f b 0 一分为二 零点 用二分法求方程的近似解 对二分法定义的理解 1 二分法的基本思想 逼近思想 2 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用 对函数的不变号零点不适用 解析 由题意知选c 答案 c 2 用二分法求方程f x 0在 1 2 内近似解的过程中得f 1 0 f 1 25 0 则方程的根在区间 a 1 25 1 5 b 1 1 25 c 1 5 2 d 不能确定解析 由题意知f 1 25 f 1 5 0 方程的根在区间 1 25 1 5 内 故选a 答案 a 3 若函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 参考数据如下 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 精确度0 1 为 解析 根据题意知函数的零点在1 40625至1 4375之间 因为此时 1 4375 1 40625 0 03125 0 1 故方程的一个近似根可以是1 4375 答案不唯一 可以是 1 4375 1 40625 之间的任意一个数 答案 1 4375 解析 由于f 2 10 故取区间 3 2 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如图 由于 2 25 2 1875 0 0625 0 1 所以函数的一个近似负零点可取 2 25 4 求函数f x x2 5的负零点 精确度0 1 二分法的概念 下列函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中函数零点的是 思路点拨 解答本题可根据二分法的定义 判断是否具备二分法的条件 解析 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号 在b中 不满足f a f b 0 不能用二分法求零点 由于a c d中零点两侧函数值异号 故可采用二分法求零点 答案 b 二分法 与判定函数零点的定义密切相关 只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用 二分法 求函数零点 1 1 函数f x 的图象如图所示 能用二分法求函数f x 的零点个数为 a 0b 1c 4d 3 解析 1 由图可知 图象与x轴有四个公共点 三个穿过x轴 共有4个零点 其中有3个变号零点 故选d 2 根据二分法定义得 正确 故选a 答案 1 d 2 a 用二分法求函数零点的近似值 用二分法求方程2x3 3x 3 0的一个正实数近似解 精确度0 1 思路点拨 令f x 2x3 3x 3 经计算 f 0 30 f 0 f 1 0 所以方程2x3 3x 3 0在 0 5 1 内有解 如此继续下去 得到方程的正实数根所在的区间 如下表 由于 0 6875 0 75 0 0625 0 1 所以0 75可作为方程的一个正实数近似解 用二分法求方程的近似解要注意的问题 1 要看清题目要求的精确度 它决定着二分法步骤的结束 2 初始区间的选定一般在两个整数间 不同的初始区间结果是相同的 但二分的次数却相差较大 3 在二分法的第四步 由 a b 便可判断零点近似值为a或b 即只需进行有限次运算即可 4 用二分法求出的零点一般是零点的近似值 但并不是所有函数都可以用二分法求零点 必须满足在区间 a b 上连续不断且f a f b 0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值 2 用二分法求函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精确度0 01 解析 经计算f 1 0 所以函数在 1 1 5 内存在零点x0 取 1 1 5 的中点x1 1 25 经计算f 1 25 0 因为f 1 5 f 1 25 0 所以x0 1 25 1 5 如此继续下去 如下表 因为 1 328125 1 3203125 0 0078125 0 01 所以函数f x x3 x 1精确度为0 01的一个近似零点可取为1 328125 函数零点与方程解的个数问题 求函数f x 2x lg x 1 2的零点个数 思路点拨 方法一 因为f 0 1 0 2 10 所以由函数零点存在性判定定理知 f x 在 0 2 上必定存在零点 8分又f x 2x lg x 1 2在 0 上为增函数 故f x 0有且只有一个实根 即函数f x 仅有一个零点 12分 判断函数零点个数的方法主要有 1 直接求出函数的零点进行判断 2 结合函数图象进行判断 3 借助函数的单调性及函数零点存在性判定定理进行判断 若函数f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 且在区间 a b 上单调 满足f a f b 0 则函数f x 在区间 a b 上有且仅有一个零点 答案 1 b 用二分法求方程x2 5 0的一个非负近似解 精确度为0 1 错解 令f x x2 5 因为f 2 2 2 22 5 0 160 所以f 2 2 f 2 4 0 说明这个函数在区间 2 2 2 4 内有零点x0 取区间 2 2 2 4 的中点x1 2 3 f 2 3 2 32 5 0 29 因为f 2 2 f 2 3 0 所以x0 2 2 2 3 再取区间 2 2 2 3 的中点x2 2 25 f 2 25 0 0625 因为f 2 2 f 2 25 0 所以x0 2 2 2 25 同理可得x0 2 225 2 25 2 225 2 2375 又f 2 225 0 0494 f 2 2375 0 0064 且 0 0064 0 0494 0 0558 0 1 所以原方程的近似正解可取为2 225 错因 本题错解的原因是对精确度的理解不正确 精确度 满足的关系式为 a b 而本题错解中误认为是 f a f b 正解 令f x x2 5 因为f 2 2 0 160 所以f 2 2 f 2 4 0 说明这个函数在区间 2 2 2 4 内有零点x0 取区间 2 2 2 4 的中点x1 2 3 f 2 3 0