数学小课题研究教学案例精选.doc

数学小课题研究教学案例精选从2005年底到现在，参与课题实验的学校和老师积累了丰富的经验，留下了许多精彩的教学案例。透过这些案例可以看到数学小课题研究课堂教学的显著特点，数学小课题研究是如何引导着学生通过研究来学习数学的，如何打破了教材的限制、课堂的限制，如何真正实现因材施教，如何使教师和学生共同进步的，在数学小课题研究中老师和学生的经历、感受和收获是什么？教学案例主要有以下内容：课题的确定、课题的布置与指导、课堂教学实录、课后研究及成果展示交流和教学反思等。课题的确定主要指课题研究的背景和意义，为什么会选择这个课题，什么原因引发的？是学生提出的，还是老师提出的？研究这个课题能起到什么作用？当课题确定以后，老师需要采取适当的措施布置研究课题，是全班同学都参与还是部分参与，是所有的问题一块提出来还是分步提出来。如何分组？是7、8个学生一组，还是3、4个学生一组，是布置课题以后就分组还是等学生研究一段时间以后再根据研究兴趣、研究方向的不同再分组？课题布置以后，老师还需要及时与学生交流并提供适当的指导，老师们是怎么指导和帮助学生的？课堂教学实录主要记录的是学生在课堂上交流展示研究成果，学生之间的辨析，老师帮助学生完成再研究、再提升，进行课堂巩固练习，提出新的研究课题等。由于有的学生可能没有机会在课堂上展示自己的研究成果，也可能有学生对研究成果不大理解，没有听明白、看清楚，因此需要课后处理好这些研究成果，是张贴在教室里供学生观看，还是提供一定的机会，采用适当的方式让学生继续展示交流？上完这样的课，老师们会有很多与常规教学不同的感想和体会，留下真实、朴素、回味悠长的教后反思。第一节 课外研究课数学小课题研究，是从课外研究课开始的。刚开始开展数学小课题研究时，学生是在老师的引导下被动地去发现生活中的数学问题的，随着小课题研究的深入开展，学生开始对数学问题感兴趣了。如“姓氏如何排序”、“生活中的图形”、“日历里的数学”、“人民币为什么只有1、2、5？”、“杯子为什么大多数是圆柱形的？”、“为什么计算器的运算速度快？ ”等等。兴趣是最好的老师，学生由刚开始的被动变得主动起来。学生初学图形时，往往感到枯燥乏味，似懂非懂。其实图形就在身边。因此，有位老师和同学们定下要研究的课题是“生活中的图形”。这是拓展性课题，因为比较简单，可以全班同学都参与。课前分成几个小组，调查收集生活中的图形，上网查询相关知识，进行归类整理，打印或摘录下来。在课上可以依据资料来汇报交流。教师引导学生汇报，认识了哪些图形？这些图形有什么特点？为学生提出问题、解决问题做好铺垫。生活中的图形如：长方形的有黑板、报纸、书本、窗户、门等。圆形的有碗、锅、轮子、井盖等。有些地方的屋顶架是三角形的。长方体的有砖、楼房、冰箱、盒子、箱子、柜子等。圆柱体的有水杯、卫生纸卷、笔、树干、汽油桶、热水瓶等。球体的有篮球、排球、足球、大部分水果、人的眼、头、太空中的星体。鸡蛋是椭圆形的。学生提出很多问题：1、黑板为什么是长方形的而不是圆形的? 2、报纸、书本为什么是长方形的？3、为什么井盖大部分是圆形的?4、碗、锅为什么是圆形而不是其它形状？5、为什么窗户大部分是长方形的而不是圆形的？门为什么是长方形的？6、轮子为什么是圆的？而不是方的或椭圆的？7、砖为什么是长方体的？8、水杯为什么是圆柱体的而不是长方体的?9、篮球、排球、足球为什么是球体？10、树干、树枝为什么是圆柱形的？等等。有些问题经过小组研究、讨论再汇报当堂就可以解决。如篮球、排球、足球为什么是球体？因为球体易滚动。轮子为什么是圆的？因为“圆”形的特性可以使自行车平稳地前进。学生在生活中发现了很多和图形有关的数学知识，极大地激发了他们学习数学、研究数学的兴趣。再见到生活中的物体马上会和所学图形联系起来，并思考为什么是这种形状的。对于低年级的学生理解这种现象就可以了，部分现在无法解决的问题，这时做好铺垫，到高年级可以继续研究。如学了圆柱体后可以引导学生提出的：为什么几乎所有的树干、树枝都是圆柱形的？可以选取部分学生课下分组研究，课上汇报交流。汇报时，不要随意扼杀学生的研究成果，即使学生得到的结论不是最佳结论，也要让学生自己去讨论、去探求。通过学生的共同讨论、探求，从而发现错误、改变思路，重新朝正确的方向前进。其实这些“半成品”更有利于引发学生的再研究，使研究成果不断得到修正和完善。展现研究成果对于满足学生的成功感、自豪感，激发研究兴趣具有很好的作用。“我听见了就忘记了，我看见了就记住了，我做了就理解了。”这三句话极富哲理。数学小课题研究突破了“教室作为数学学习唯一场所”的羁绊，激起了学生用“数学眼光”看世界的兴趣。从另一个角度讲，由于课堂教学时空的有限性，不可能把某一内容及其相关问题一一解决，相信学生的问题是永远存在的。因此我们提倡把问题带到课外，融入社会生活的大课堂中。小课题研究的开展，真正拓宽了学生的视野，激发了学生的潜能，促使学生重新认识数学、学习数学。学生的数学学习发生了本质性的变化：学生能够主动地联系实际，观察和应用数学，主动地将数学知识、方法与其他学科联系起来，用数学的思想和方法考虑问题，用数学眼光看待周围世界，写出了大量的数学日记、小调查、小论文、研究报告等。很多家长更是感慨的说：“这项活动让孩子受益匪浅，它让我们的孩子迷上了数学，学会了思考和研究。”1、数学解释性研究课数学解释性课题，就是利用学过的数学知识、数学原理来解释生活中蕴含的数学现象的课题。在探求如何解释这些数学现象的时候，可能会用到很久以前学过的数学知识内容，也可能经过探索、研究，不但解释了现象，有时还能了解到更广阔的数学知识，探求出更高深的数学原理、数学方法，甚至是将来才能学到的数学知识内容。(1)人民币的面值为什么只有1、2、5？执教 日照港第一小学 王艳评析 日照市新营小学 程敏一、课题的确定数学小课题研究的探索之路是从研究身边的数学问题开始的。教研室李军老师启发我们，应注重从生活实际和学生的知识背景出发，把学生带入“现实的、有意义的、富有挑战性的”数学研究活动中。并为我们举例：“人民币的面值为什么只有1、2、5？” 对于这个问题，我们成人似乎已经司空见惯，仔细想来这里面确实蕴藏着许多数学知识。人民币是我国的通用货币，人民的衣食住行都离不开它。学生在小学一年级就认识了“元角分”，并学会了简单的计算。把它作为小课题进行研究，有一定的知识基础，也富有挑战性。我们的研究目的是：通过研究，使学生了解人民币面值蕴含的数学知识、数学原理，理解它存在的必然性，懂得爱惜人民币，经历从实际生活问题抽象出数学问题、综合应用已有知识解决问题的过程，并加深对相关知识的理解，发展思维能力。人民币的面值为什么只有1、2、5？涉及到几率及重要数等方面的知识，这对小学生来说是有一定难度的。可以由老师根据具体情况予以补充，以开阔学生的数学视野。二、课题的布置与指导这是课外研究小课题，很多学生对“人民币的面值为什么只有1、2、5？”这个课题特别感兴趣，也特别想知道这其中的道理。我提前3天布置给感兴趣的学生进行研究，可以查阅资料，可以向家长或有关人员询问。 部分有能力、有兴趣的学生自愿结成研究小组。每组人数不固定，分别选出组长。研究小组成员利用课余时间搜集资料，或是走访调查，寻求解决问题的办法。研究小组成员每次有新发现，总是第一时间就与老师或同伴进行交流。我在他们研究的过程中以一个参与者的身份加入到他们的研究中。及时把握他们的研究动态，并给予一定的点拨，指导他们继续深入研究。1、第一次汇报，同学们发现在购买物品时，面值为1、2、5的钱币可以组成其它钱数。付钱找零都比较方便。由于他们组成了3个小组，我指导其中一个小组运用排列组合的知识把所有能组合的钱数列举出来。我指导第二个小组在原基础上，结合人民币在实际使用中的情况谈谈这样做的好处。我指导第三个小组研究：如果把1、2、5换成其它任意3个数字如3、6、9行不行，为什么？2、第二次汇报，学生们的发现比第一次要深入得多。一组发现用1、2、5三个数字可以把10以内的所有数全部组合出来。这样我们购买时非常方便。二组从生活实际入手找证据，如钱币面值过多会造成资源浪费，面值过多对于防伪技术的处理也带来许多难度，盲人使用也会遇到困难。学生真正体会到1、2、5这三个数的重要性。三组的学生发现把1、2、5换成其它数字会出现找零难的现象，还发现制造人民币实在不易，倡议大家要爱惜人民币。学生的研究能力真的不可小视，我表扬他们研究得非常好，要求他们将自己的语言组织得再清晰简练一些，准备向全班同学汇报。三、课堂教学实录 （课件出示所有现在发行的人民币面值：1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元）师：“同学们，这是我们日常生活中使用的人民币，可以说我们的衣食住行都离不开它。观察人民币面值出现的数字，你发现什么？对，只有1、2、5这三个数字。 “为什么人民币的面值只有1、2、5？”（板书问题），感兴趣的同学回去搜集了资料，并进行了研究。这节课，我们就一起来展示和交流，好吗？”“首先，请第一小组的同学上台发言。”生甲：“ 因为用面值1、2、5的人民币，就能组合成其它面值的人民币。例如：1元和2元能组合成3元，2张2元组成4元，1元和5元能组成6元，2元和5元能组合成7元，1元、2元和5元能组合成8元，2元、2元和5元能组合成9元，5元和5元能组合成10元。”（生乙板书这些数字的组成过程。）生乙：“既然面值1、2、5的人民币能随意组合出10以内的所有面值，就不需要再有其它面值的人民币了。”【评析：学生的汇报，语言简洁、明了，小组成员的互相配合也十分默契，学生用数学计算的方法验证1、2、5存在的重要性。看似简单的计算过程，其中包含着由重要数组成非重要数的思想。】师：“第二小组的同学有其它意见吗？请第二小组汇报。”生甲：“1、2、5这几种面值的人民币能组合成其他面值的人民币，而且因为面值种类少，使用起来比较方便。”生乙：“如果19这几个面值的人民币都有的话，种类太多，使用起来会很不方便。例如：商店的收银员必须用一个很大的抽屉，才能把19这几个面值的人民币分类存放，工作起来会造成很多不便；人们把钱放到钱包里的时候，因为面值太多，分类存放会很麻烦，而且买东西交钱的时候会浪费时间，也会造成不必要的丢失。”（这时有学生举手示意有话要说。）师：“非研究人员有什么意见吗？” 生：“我不同意他的意见。我觉得如果19这几种面值的人民币都有的话会很方便。那样买东西的时候如果需要8元，就直接付一张8元的，如果需要6元，直接付一张6元的，这样不是很方便吗？”（二组成员马上反驳。） 生丙：“如果19的面值的人民币都有的话，就需要很多的纸来印刷，那就会砍伐大量的树木，造成资源浪费，破坏环境。” 生乙：“会给工人带来繁重的工作。”（非研究人员马上站起来反驳。）生：“我不同意该小组的意见。我觉得面值是19都有的话不会造成浪费，只有1、2、5会造成浪费。因为19的面值都有的话，买东西的时候付钱的张数反而少。例如：需要付7元，直接付一张7元，不需要用一张2元和一张5元的组合。然而只有1、2、5的话，付钱的时候需要进行组合，容易造成资源浪费。”（二组成员有些着急，脸都涨红了。）生丁：既使19的面值有这点优势，那为什么国家只发行1、2、5的面值的人民币？还是我们的有道理！师：别着急，把你们的道理慢慢讲出来，好吗？生甲：“19的面值都有的话，会给盲人造成不方便。1、2、5这几个面值的人民币，因为种类少，盲人使用时间久了，对每一种面值的人民币的花纹和纸张的大小会很熟悉，使用起来就会比较方便。如果19的面值都有的话，人民币的种类就会很多，纸张也会大小不一，花纹也会出现很多种，盲人使用起来就会很麻烦。生丙：我还走访了银行人员，我们了解到造纸的原料大多采用纤维较长的棉、麻等植物作纸浆, 这样造出来的纸耐磨,不容易发毛、断裂。在制造人民币的过程中, 还专门采取了十几道先进的技术, 使纸张具有防伪的特征。银行工作人员还教给我一些识别真假币的方法。如果人民币印刷面值过多，对于防伪技术的处理也带来许多难度，我们辨别起来也十分麻烦。” 【评析：二组同学能将数学与生活密切联系起来，分别从节约资源、防伪技术等角度阐述了使用只有1、2、5这几种面值人民币的好处。可见研究成员在研究中确实下了功夫。研究人员经过搜集资料、调查走访等方式得出结论，这是我们的常规数学课堂受时间空间限制所做不到的。学生还发现人民币面值越多分类越麻烦，体现了数学的简约美。更难能可贵的是，研究成员与没有研究的学生之间的质疑辩晰，精彩的一问一答，真有点辩论会的感觉，在争辩中得出的结论更有说服力，正因为有了深入的研究，所以研究成员辨析得有理有据，没有研究的同学受他们的影响，思维也非常积极活跃。】师：“理不辨不明，看来人民币的面值发行种类过多，真的会带来许多负面影响。那么干嘛非得发行1、2、5面值的人民币？为什么不只发行3、6、9这几个面值的人民币呢？”三组学生进行汇报： 生甲：“如果只有3、6、9这几个面值，会很不方便。因为3、6、9只能组合成9、12、15、18等，而不能组合成其它的面值。如：1元、2元、5元、10元等。” 生乙：“如果只有3、6、9这几种面值，商店里给商品定价格的时候会有局限，不能灵活地给不同价值的商品定一个合理的价格。” 师：“那为什么不只发行面值是1或者只发行面值是2的人民币呢？” 生甲：“如果只发行面值是1的人民币，人们在使用的时候要进行大量的组合，会造成时间的浪费和资源的浪费。如：买一件价格是9元的商品，需要付9张1元的；如果没有1元的，需要付90张1角的。” 生乙：“如果只发行面值是1或2的人民币，需要很多的张数，肯定要比现在这样多得多，会给银行的钞票运输和储存带来不方便。”【评析：学生通过举例从反面证明发行其它面值的人民币的局限性，很有说服力。教师课前指导时没有让学生仅仅停留在1、2、5这三个数字上，而是指导研究成员从反面去验证使用其它数字的局限性，教师将学生的思路拓宽了，教师的研究意识和能力对学生起着积极的影响。】师：“同学们发表了这么多的意见，老师觉得都有一定的道理。老师也查阅了有关的资料，总结了两点：一、1、2、3这3个数字，在进行加减组合的时候，1和2出现的机会最多，大约占百分之七十二，而3只占百分之十八，所以国家会发行面值是1和2的人民币。二、在19这几个数字中，有重要数和非重要数之分。1、2、5是重要数，其它几个数字是非重要数。几个重要数经过最少次数的组合，就能得到非重要数，所以考虑多方面的原因，国家只发行1、2、5这几种面值的人民币。也许，国家在研究发行人民币的时候，也考虑到了同学们发表的这些意见。也许还有其它的我们还没有发现的原因，希望同学们课下时间能有更进一步的研究、发现，能有更大的收获。”【评析：教师的总结起着画龙点睛的作用。可能学生对重要数这样的词语并不能完全理解，但学生在具体的研究中有所领悟，在老师的点评中自然豁然开朗了。学生对这一生活现象从数学的角度有了更深刻的认识。】四、课后的继续研究与成果展示交流学生将研究中的发现，特别是课堂汇报后又补充的新发现，以小组为单位制成研究报告，张贴在班级的宣传栏里。每位学生回家后将自己的收获介绍给爸爸妈妈或其他朋友听。五、教学反思本节课是数学小课题研究初期上的一节课外研究课，初次接触“小课题”，对于参与活动的我和学生们来说，都是一个很大的挑战。“为什么人民币的面值只有1、2、5？”这个研究课题虽然很小，却深深地吸引着每个参与研究的孩子。他们充分调动自己的知识储备去分析问题，并通过调查走访走进生活，走进社会，了解简单事件后面蕴藏的数学知识。从简单的数字组合，到与资源使用的联系；从考虑人们的使用情况，到考虑纸币的防伪可以看出，研究人员确实认真扎实地进行了研究。虽然有的研究结论说服力不是很强，展示时的语言不是很完善，他们的研究过程却非常精彩。研究人员已经成功地迈出了“小课题研究”的第一步，这是我在课前准备的时候没有想到的，超出了预想的效果。我的评价语言尤其是激励学生的语言有点单一、僵化，以后要不断改进，以便更好地关注学生的情感、态度等方面的发展。【总评：弗兰登塔尔指出：数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。我们学习数学的目的不能仅仅局限于课本知识。本节课外研究课从生活背景出发提出数学问题，把它作为小课题进行研究。人民币与每一个人息息相关，应用十分广泛。因此学生研究起来不觉得陌生。学生不仅能从数学的角度认识到1、2、5这三个数字的重要性，还能紧密联系生活实际剖析它存在的必然性。数学并不是枯燥的数字游戏，而是活生生的。这节研究课彰显的特色是：1、以人为本，关注学生的个性发展。教师没有强求每一个孩子必须参与研究。研究成员在研究中锻炼了自己，收获了许多。非研究成员在聆听理解的同时也经历了认识提高的过程。从课前的指导到课堂上的汇报，教师尊重每个研究人员和非研究人员的实际情况和研究能力，让学生愉快地逐步深入地进行研究和交流。2、自主学习、合作学习、探究学习是当前新课改的一个亮点，我们从这节研究课可以看到教师充分尊重学生的主体地位，课前为学生创设了自主探究、合作学习的充分的时间和空间，课堂上为学生营造了宽松民主的交流氛围，研究成员与非研究成员的交流、对话、质疑，显得非常自然、真实、有实效。 3、教师的主导作用在小课题研究过程中也是不容忽视的。从课前的两次指导，到课堂上的适时点拨，教师处理得准确及时。教师的引导、点拨如同指路明灯为学生的研究与交流照亮了前程。这节课外小课题研究课为我们的数学小课题研究开了个好头，我们将汲取其中的优点，将课题实验继续深入地开展下去。】（2）装液体的器具为什么大多数都是圆柱形状的? 执教 莒县第四实验小学 杨洪萍 评析 莒县第四实验小学 滕 云一、课题的确定装液体的器具是学生常见、常用的，身边的水杯子、墨水瓶、钢笔、饮水机上的矿泉水桶、教室里的暖气管道、家里的下水管道、油桶、饮料桶、酒瓶等等，这些随时都能看得见摸得着的器具，的确让我们熟视无睹。对于为什么装液体的器具大多数都是圆柱形状的这一问题，学生感到很新奇。基于此，针对六年级学生的年龄特征和他们已有的认知水平，我们提出“装液体的器具为什么大多数都是圆柱形状的呢？”这一研究课题，其意图是从学生的生活实际出发，使学生从周围熟悉的事物中学数学，用数学，体验 “数学源于生活”的真正含义。学生在几何知识教学中，学过计算圆及其它图形的面积和周长、表面积、体积及容积等知识，为了进一步拓展学生对这些知识的认识，密切几何知识与现实生活的联系，运用所学知识解决现实生活中的实际问题，我们确定了本研究课题。二、课题的布置与指导本班共分五个小课题研究小组，课前先让各小组研究：“装液体的器具为什么大多数都是圆柱形状的？”初步的研究情况是：各小组都认为主要是因为没有棱角更安全；形状比较好看；便于搬运；安全耐用；节省材料。但对于是否节省材料还有争议。看来圆柱形状的器具是否节省材料是需要进一步研究的。我及时调整各组研究进程和方向，明确组1组3：分别从不同的角度探索验证“制作圆柱形状的器具是否节省材料”。根据各组研究情况和学生意愿确定为：第一小组用“数据验证法”，第二小组用“材料对比法”，第三小组用“容器比较法”，其他两个小组探究“有没有比圆柱形更为省料的形状呢？”。组内成员分工准备验证数据、材料，及时合作交流验证方法和结论。教师适时了解各小组研究进展情况。三、课堂教学实录（一）创设情境，谈话引入（多煤体出示“问题口袋”）（如图）“装液体的器具为什么大多数都是圆柱形状的？”1、师：我从同学们的问题口袋里，发现有的同学提出这样一个问题 ：“装液体的器具为什么大多数都是圆柱形状的？”课下我们已经布置了对这一问题感兴趣的同学进行了研究，这节课咱们一起交流一下好吗？师：生活中圆柱形状的物体很多，你能举例说一说吗？生：杯子、水桶、饮料桶、易拉罐、汽油桶。生：钢笔、圆珠笔芯、灯管、暖气管道、自来水管道。生：2、师：为什么圆柱形状的物体能够被广泛的应用呢？生：形状比较好看，也便于使用。像杯子、钢笔等没有棱角，看起来挺圆滑，外表美观，用手拿着感觉也不磨手。生：便于搬运。如果是比较大的圆柱形器具，搬运时可以滚动，既方便又省力。生：安全耐用。没有棱角，耐磨损，不会给周围物体造成伤害。生：主要是节省材料。我觉着这是圆柱形器具的一大优点，厂家生产一种容器时，都希望用最少的材料来装一定量的液体，或者说用同样的材料使做成的容器容量最大，这就要考虑哪种形状最省料！圆柱形状正好具有这一优点。【评析：学生争先恐后地谈想法，说理由。可以看出学生在已有生活经验的基础上，对这些常见的器具进行了再观察，再思考。看来以学生身边熟悉的“物”或“体”为切入点，从具体问题入手，唤起了学生主动探究和交流的欲望，会使学生感受到数学与生活的密切联系。】3、师：能不能想个办法来验证你们的想法？（二）组织各小组汇报研究情况第一组。生：我们学过圆的面积和周长的计算方法，也知道其他一些平面图形，如：等知识 ，我们小组通过对比、分析各种图形的特点，并通过测算验证，发现 、 和 在周长相等的前提下圆的面积最大，其次是正方形的面积，最小的是正三角形的面积。如：C圆C = C= 31.4厘米 9.2S圆=r23.14523.142578.5（平方厘米）S（31.44）27.8522 61.62（平方厘米）10.46S10.469.2248.12（平方厘米）通过上面的数据可以证明，圆的面积最大，所以在装同样的液体时，如果容器的高度一样，那么圆柱形的容器装的液体最多。做成圆柱形状的容器省材料。师：对于这组同学得出的这一结论，同学们是否赞同呢？生：我同意他们组的结论，可是你们是怎样求正三角形的面积的呢？生：我来解释吧，我们是用一根长31.4厘米的细绳子围出一个正三角形，量出它的高然后计算面积。师：他们组这种解决问题的方法你们觉得怎么样？ 生：挺特别的，缺少的已知条件（三角形的高 ）他们量出来了，这个办法我没想到。生：是呀！平时我们都习惯了用已知条件解决问题。 【评析：这种计算正三角形面积的方法虽然不是很精确，但是不影响对比分析三个数据。他们组以“面”代“体”，利用数据进行分析研究，为抽象的生活问题提供了具体、形象的数据模型。本环节学生在交流过程中，通过互动进一步完善了验证方法。通过周长面积体积的巧妙转化，使转化思想和数形结合思想得到有机渗透。】第二小组。 生 ：大家仔细看，我们小组先认定这三种不同形状的容器底面面积是相等的。大家看对应这三个底面的侧面所用材料分别是：（对比数据展示三种容器的底面和侧面用料）S圆100平方厘米 C圆 35.4厘米S= 100平方厘米 C 40厘米S=100平方厘米 C 45.6厘米 生：啊！相差那么多呀！（学生惊奇的说。）这就是说，面积相等时，在用圆、正方形与正三角形等图形做底制作容器时，如果容器的高度一样，那么侧面所需要的材料就以圆柱形的容器最省。【评析：第二小组利用感性材料（卡纸图片），进行合理的动态演示，他们边对比演示边配合数据进行解释。特别是三块容器侧面材料，面积差别比较大。三种不同颜色（红、黄、蓝）的卡纸材料，使底面与侧面对应明确，三块容器侧面材料长短对比明显，使人一目了然，结论简洁明确，让人信服。不只是学生惊叹不同形体的奇妙，听课老师们也为之一震。第三小组。我们制做了三种不同形状的容器：（1）圆柱形容器（2）底面是正方形的长方体容器（3）底面是正三角形的容器。它们的底面积、高分别相等。大家看，我们把圆柱形容器里的水分别倒入这两个不同形状的容器中，正好也是满的，说明什么问题呢？生：三个容器的容积相等。你们组这个办法真好！生：我们用线绳分别围一围三种容器，通过对比发现侧面所用的材料却是不相等的，圆柱形容器侧面用料最少。这和第二组同学得到的结论是一样的。 【评析：第三组同学用硬纸板和胶带制成了三种不同形状的容器。虽然有些粗糙，但能直观地看出正好装下等量的水，验证了三个容器容积相等，也展示了他们动手操作的能力。特别得到同学们的认可和赞扬，使组内同学更加欣慰。这种演示操作型活动是有效的数学操作活动，利于在学生头脑中留下完整的表象，进而达到促进分析，帮助抽象概括的作用。学生体验到自主参与学习的成就感，领悟并掌握解决问题的有效策略。】（三）质疑问难，深化提高。1、师：对于上面的结论，仔细想一想，谁还有疑问？生：圆柱形有那么多好处，为什么不把所有的器具都做成圆柱形的呢？生：还有没有比圆柱形更为省料的形状呢？2、师：这个问题 ，同学们思考一下，谁想回答呢？生：我认为不同形状都有各自独特的优点，虽然做圆柱形的容器比较省料，但是，装固体的东西就不一定经济实用，所以箱子、柜子等通常是做成长方体的。生：我在家和爸爸妈妈讨论过，觉得圆球形状的容器可能更省材料吧。3、师：面对新的问题，大家有何想法呢？生：我通过从网上查阅资料知道，根据数学原理，在同样的材料做的一些容器中，球形容器的容积要比圆柱形的更大，也就是说，做球形的容器比圆柱形的更节省材料，但是球形容器很容易滚动，同学们想象一下，到处滚动的球形容器（学生开心的笑了。）是不利于存放和运输的，再说它的盖子也不容易做呀，所以不实用【评析：学生带着问题大胆猜测、思考，与同伴交流，与家长交流，师生交流，积极查资料去验证。他们在自主探索、主动交流、用心体验、互助领悟的过程中成了发现者和创造者。课堂上同学们幽默的情境描述，会意的笑容，开心的笑声，让人感觉这样的课给了学生一把开启智慧的钥匙，放飞了学生的思维，培养了学生的创新精神。】4、适时总结，拓展新知。师：大家通过研究，得出的结论是，圆柱形状的器具有“节省材料”、“方便耐用”、“外形美观”等优点。既然圆柱体有这么多的优点，同学们设想一下，你想怎样利用这些圆柱体呢？生：可以建圆柱形的教学楼，这样空间又大，又省建筑材料。生：还可以建造圆柱形的立体停车场，解决停车难问题。生：圆筒形的书包也挺漂亮的。【评析：本环节中，对于学生们的设想，教师引导他们从“正”、“反”两个方面出发各抒己见，展开辩论，学生在倾听别人的同时大胆谈自己的看法。这种宽松的氛围利于学生理解、巩固和运用有关知识，也利于拓展学生的思维。】师：同学们设想了这么多，受同学们的启发我联想到，自然界中动物的头和躯干，以及植物的果实和枝干也是呈球形和圆柱形的。大自然是神奇的，数学也是很美妙的。我们仔细想想，其实不只是装液体的器具，大到工厂里的一些大型建筑物，小到一针一线，都与圆柱形状有关，也与数学有关。如果我们大家善于思考问题，我们将会有更伟大的发现！老师期待着同学们发现你学习生活中的“新大陆”。师：通过这节课的学习，你有哪些收获？生：我感受到生活离不开数学，我们身边竟有那么多物体都与数学有关。生：数学知识还挺有用处的，我们用学过的数学知识来研究解决问题，感觉真好。生：【评析：本课突出体现了学生的主体作用，教师巧设问题情境，联系实际生活有效合理地开发课程资源，突出小组合作、探究、交流。在学生思考-猜测-观察-讨论-验证-交流-反思-归纳-总结-应用等环节中，有效渗透了数学思想方法，使他们体验到数学就在身边，真正领悟了数学的魅力。】 四、课后研究及成果展示交流课后，各小组将自己的研究成果展示给大家，在互动交流过程中，学生会自主对比三种验证方法，选出自己喜欢的，选取自己没想到的验证方法去验证。另外，不同形状的器具都有哪些优点呢？圆球形状的容器更省材料，球体的体积怎样计算呢？既然圆柱形状的器具节省材料，为什么牛奶盒大多是长方体形状的呢？这些新的问题又会激发新一轮的小课题研究。五、教学反思1、问题激趣，真正激起了学生的好奇心。好奇心使学生自主思考，寻求原因，说理由，谈想法。有个聪明好动的学生说过：“老师，我在听到这个问题时马上想到，如果我用的杯子是长方体形状的，喝水时会怎样？肯定不方便，很想试试看。回家后我用长方体形状的纸盒装水试了试，一是漏水，二是不好拿。确实不方便，挺别扭的。”圆柱形状的物体能够被广泛应用的原因是形状比较好看、便于搬运、安全耐用，还是因为节省材料呢？学生在初步交流的基础上，肯定了圆柱型状器具有“方便耐用”、“外形美观”等优点。但对于是否“节省材料”有争议，需要进一步探究。接下来学生动脑筋寻找研究办法，从具体问题入手，进入实质研究阶段。2、小组合作，从不同角度思考，立体交流显奇效。在这一阶段中，学生既忙碌又兴奋。他们根据组内同学的特点合理分工，查资料的、测算的、准备材料的、动手制作的、记录研究情况的各负其责。研究过程中的小花絮、饭前课后的小组碰头会、意见不统一时的争吵、制作学具成功时的喜悦、课堂上交流时的小组合作氛围、大胆质疑时的辩论声等，成为当时班内的一道道风景线。3、拓展思维，深化提高，适时拓宽了探究面。学生通过自主思考、合作探究、集体交流，互助互学，统一了认识。在此基础上适时拓展学生思维尤其重要，此时通过质疑问难拓宽探究面。（1）圆柱形状的物体有那么多好处，为什么不把所有的器具都做成圆柱形的呢？（2）还有没有比圆柱形装的器具更省料的呢？学生先是大胆猜测、思考，接着互动交流。这一环节中，展示汇报者神采飞扬，听众用心领悟。明确了根据数学的原理，在同样的材料做的一些容器中，球形容器的容积要比圆柱形的更大，做球形的容器比圆柱形的更节省材料，但是球形容器很容易滚动，不利于存放和运输，所以不实用接下来的拓展新知环节，研究氛围更加浓厚。本节课学生因“疑”而思，因“思”而自主想办法去验证，因“操作”活动而感悟新知，因“感悟”而主动应用新知，因“应用”而融会新旧知识，因“拓展”而内化创新。 【总评：纵观这节课，主要有以下几个特点：1、设计了“提出问题合作探究互动交流解决问题”这样几个课内外教学环节，力图体现新课标倡导的“问题情境建立模型解释应用拓展延伸”这一思路。2、抓住“是否节省材料”这一关键问题，从不同角度思考，寻找验证方法。即“数据验证法” 、“材料对比法” 和“容器比较法”。实践应用是新课程提倡的学习方式之一，是促进学生可持续发展的重要手段。让学生在动手操作中应用旧知识，在解决问题过程中学习新知识，有效地培养了学生的应用意识和实践能力。 3、体现数学思维活动的特点。本节课在探索验证“是否节省材料”这一关键问题时，学生巧妙的利用圆柱型器具中“面”与“体”的内在联系。用“对比底面想侧面”、“对比侧面想体积”、“对比体积想表面”三种方法验证，体现了由操作表象思维这一数学思维活动的过程。交流驿站1（日照市实验学校 任仲恩）（1）课外小课题研究多长时间开展一次？需要准备多长时间？答：多长时间开展一次小课题研究，应该根据学校和班级的实际情况，还有小课题的难易程度而定。我个人认为一个月左右开展一次比较好。有的小课题需要准备一周左右，有的可能3、4天或2、3天。（2）课外小课题研究在什么时间进行？会不会影响正常教学进度？答：课外的小课题研究大多针对部分有兴趣的、有研究能力的学生开展的，采取课下研究、课上展示、交流的形式，并不影响正常的教学活动和进度。整节课，师生合作，生生合作贯穿教学过程的始终，杨老师注重学生之间的信息交流，培养学生的合作意识、团队精神，营造平等、和谐、互动的学习氛围。在合作交流的过程中让学生体会到解决问题策略的多样性，也体现了数学小课题研究的优势。在学生思考、猜测、观察、讨论、验证、交流、反思、归纳、总结、应用等环节中，有效渗透了一些简单的数学思想方法，使他们体验到数学就在身边，真正领悟了数学的魅力，提升了师生的数学素养。】 2、数学拓展性研究课面对实际问题，能融会贯通所学知识、综合运用各种方法、灵活处理和解决相关问题。在这里，不是数学课本知识的简单运用，可能所用到的数学知识内容与现在数学课本的知识内容距离较远，也可能这些数学知识内容要高于课本知识内容，但又是学生可以掌握、运用的数学知识内容。（3）人的头发有多少根 执教 日照港第一小学 高光辉评析 日照市教学研究室 李军 一、 课题的确定李老师来我校调研和老师们座谈时说：“可以尝试着让学生课下研究一些生活中司空见惯的问题，如人的头发有多少根？、人民币的面值为什么只有1、2、5？老师及时指导，然后，由学生在课上展示交流研究成果”。大家听了都觉得挺新鲜的。李老师指定我和王艳老师开这个头，并问我：“和学生研究人的头发有多少根，行不行？”一开始我并不理解上这样的课究竟有什么目的，应该怎么上，但在李老师的指导下，我渐渐地明白了：让学生数出人的头发有多少根并不是这节课的主要目的，而是借助这个方式，让学生经历探索发现的过程，发展思维能力，让学生经历分析问题、解决问题的过程，培养学生应用所学知识分析、解决问题的能力。但如何上这样的课我还是心里没底。尽管有这么多的担心和疑惑，也想象不出到时会是什么样子，但李老师把任务交给我了，我便按努力照李老师的意思去做，反正李老师告诉我这只是一个尝试，我也就没有什么太多的顾虑。带着这样一种复杂的心情和朦朦胧胧的感觉，我思考着如何和我的学生进行研究。人都长有头发，学生也能说出头发的好多作用，而且四年级的学生已有平均分和面积的知识储备。但人的头发大约有多少根呢？学生会不会对这个问题很感兴趣？书上能不能查到这方面的内容呢？二、课题的布置与指导我先把研究任务布置给全班同学作初步的思考和交流，然后挑出了平时比较喜欢钻研问题的十几个同学，分成了三个小组，每个小组有4、5名同学，每个小组都有一位长头发的女同学，可以就地取材，方便小组研究。由于研究的情况和汇报的需要，在课前又对这三个小组的同学作了调整，合成了两个大组。在刚刚布置给学生这一题目时，他们觉得受到了一定的挑战，兴趣盎然、斗志昂仰。 “老师，一根一根的数！” “那样好数吗？”几个人数了一下，“噢，这样不好数呀”“数不了，数不了！” “老师，全剪下来数数毛孔就知道了。”“老师，那不现实。” “也可以的。” “有没有更好的法子了”“那样比数头发还简单吗？” “老师，可以发明一种像银行点钞机一样的机器，过一遍就数出来了”“谁来设计那样的机器？” “老师，那怎么数呀？”“同学们，做任何一件事情，都不能束手无策，坐以待毙。老师相信，只要你们反复实践、积极动脑思考、探索，就一定能找到解决问题的方法的，我相信你们一定能行！”他们研究的并不顺利，以致几天都没有找到一个合适的方案，仍旧数不出有多少根。学生没有任何类似的经验，我也是。学生在研究，我也在研究。没有一点可以借鉴的东西，我只能及时向李老师报告、请教，报告学生的研究情况，请教接下来该怎样办，在李老师的指导下，我的心里稍稍有了底。而且随着学生研究地不断深入，我终于看到了一丝又一丝的曙光，学生乐于研究、主动探索的那种精神，在我眼前不断闪亮，不断令我惊喜，这在平时的数学课中是难以见到和感受到的。他们几个人的那种坚韧，让我为之感动，反反复复、反反复复的探究、汇报，我想那种精神不正是做研究所需要的吗？三天后，我给了他们一段尼龙绳，绳子是三股尼龙丝扭在一起的，还给了他们一顶帽子，帽子上面有八根小辫子，我告诉他们，回去好好研究一下，看能不能有所启发。方案终于有了，而且两个小组的方案不一样，这让他们兴奋不已。我祝贺他们的成功，告诉他们尽量让自己的方案完善起来，要汇报给其它同学。在完善已有方案的同时，他们又提出了利用面积知识也可以数出头发有多少根。三、课堂教学实录（一）交待问题，创设探讨氛围师：同学们，前几天大家已经初步讨论了“人的头发多少根”这个问题，大家都认为头发太多，不好数，还有的同学觉得，根本就不可能数出来。我们两个研究小组的同学，经过课下反复研究，终于找到了数头发多少根的方法，但是，他们的方法到底是否可行，还需要同学们用自己的智慧，来帮助作出判断。大家想不想知道他们是怎样数的？ 生：想。师：让我们用掌声请出一组的同学给大家作汇报。【评析：开门见山，将“人的头发有多少根”这个课题提了出来，把部分不同意见简单交代了一下，为引发不同思维的碰撞做了铺垫，将课前研究小组已经做了充分研究进行了说明，拉开了在课堂上展示交流研究成果的序幕。】 （二）汇报交流1、第一小组汇报交流李超：大家好！我们小组先把李馨月同学的头发从中间平均分成二份，用皮筋各自扎起来，然后再把其中的一份分成两等份，各自扎起来，再把其中的一份分成二等份，依次类推，我们一共等分了八次，最后的一束头发就比较少了，可以数出来，我们数了数有142根。（边汇报，边演示。）马小涵：剩下的头发就不用数了，我们可以通过计算来得到头发的根数。同学们知道怎么算了吗？（停顿） 用142乘2乘2乘2乘2乘2乘2乘2乘2就可以算出头发的根数是36352。王振洋：你们这样分有什么根据吗？马小涵：有呀，不就是平均分的知识嘛。把一大份平均分成2份，拿其中的一小份乘2不就是原来的吗？王振洋：那你们一共乘了几个2 ？马小涵：因为我们一共平均分了八次，所以我们就乘了八个2，这样就是原来的头发数了。李玉：你们小组是怎样想到这种方法的？李超：一开始我们也没有想到这种方法，因为头发太多我们怎么也数不出来，但是，后来我们从老师给我们的帽子上受到了启发。大家看，就是这顶帽子，上面扎的小辫子不就是平均分后变细了变少的么？变细变少，我们就可以数出来了。王旭阳：你们是怎样做到平均分的？李超：我们用手呀，两边分得一样多。王旭阳：我觉得用手分得不一样多，因为多点少点根本就试不出来。生：有道理。用个什么样的仪器分就好了。李超：那我们课下再去想想，想好再跟大家汇报。生：好。师：同学们，从一组同学的汇报当中，我们不难发现，他们采用了化整为零、变多为少的策略，巧妙地运用我们学过的平均分的知识解决了这一难题，有内容有方法，很值得我们去学习。刚才，王振洋和王旭阳两位同学提出了自己的疑惑，这很好。对于用手分的方式，老师也觉得不是很科学，同学们课下可以继续对这个问题进行思考。师：让我们用掌声对他们的研究汇报表示感谢。【评析：第一研究小组用“平均分”的知识数头发，在课下进行了实际操作并进行了计算，得出了真实的数据，能够清楚地向同学们汇报研究方法和过程，面对质疑能从容地说清楚，说明课前做了充分准备，研究是比较深入的，面对棘手的问题，他们也能虚心接受，愿意继续研究，表现出了实事求是的态度和严谨的精神。非研究小组的同学能够大胆质疑，善于质疑，说明课题能够吸引住学生，呈现出“打破砂锅问到底”的热闹场面。】 2、第二小组汇报交流胡彦坤：先数出200根头发，扎成一束，然后取同样多（粗）的一束，把他们并在一起后重新扎成一束，再取与现在这束一样多（粗）的并在一起，重新扎成一束，一直这样并下去，我们一共并了八次，最后还剩68根没有并进去。王一帆：这样就可以用200乘2乘2乘2乘2乘2乘2乘2乘2再加上68就得到头发的根数是51268。李小玉：你最后为什么拿200去乘那么多的2呢？王一帆：一开始数出了200根，再并上同样多的，那不就是400根嘛，400也就是200乘2，再并上与400根一样多的，就得到800根，也就400乘2，依此类推，并了八次，就乘8个2，最后加上余下的那68根，就是总数。你明白了吗？师：同学们都明白了第二小组是怎样数的吗？生：明白。师：第二小组与第一小组的方法一样吗？王旭阳：不一样。一组是由一个整体渐渐分小了，而二组是由一小束一步步变大的。宁小远：都是用到了平均分的知识。一组正着用，二组反着用的。【评析：第二研究小组也是用“平均分”的知识数头发的，但和第一组不大一样，在老师的适时点拨下，学生自己得出结论，即起到了梳理的作用，又能给学生以有益的启发，还能让学生学会归纳总结这种重要的数学方法。】 （三）课上合作探究师：“两个小组的同学数的都是长头发，那么短发怎么数呢？”生：先测出发区有多少平方厘米，再数出一平方厘米有多少根头发，然后相乘就得到多少根头发了。师：这是应用了什么知识？生：应用了面积方面的知识。师：我们分工来做怎么样？一组数一平方厘米有多少根头发，二组测出发区面积。因为时间关系，两个小组还没有答案，就请他们课下合作，完成这一方案。【评析：在两个研究小组展示交流完研究成果后，学生们的思路也就被打开了，老师话锋一转，将长发改为短发，预示着不能一撮撮地数头发了，“面”显现了出来，使学生能够想到采用面积的方法去解决这个问题。】 （四）总结师：“英雄们也不知道他们有多少根头发，也不妨碍他们成为英雄。那么我们今天研究头发有多少根，有意义吗？” （不少学生一愣，是没有什么意义，再一想，恍然大悟，明白了这节课并不是真的要数出有多少根头发，而在乎于过程，在乎方法，在乎于那种研究的氛围与精神。）【评析：这是本节课的“题眼”，使学生明白数出头发有多少根不是根本目的，而是让学生经历研究的过程，找到解决问题的办法。】 四、课后研究与成果展示交流 课上的两种方案基本成型，经过简单修改后，学生就写出了研究的过程，形成了书面报告，向全班作了交流。对于第三种方法，也就是用单位面积知识来计算头发的根数，课上没有完成，研究小组的同学，在课下继续合作。一平方厘米的面积大约有多大，在头上怎么确定，又如