《数字信号处理教程》程佩青(第三版)课后习题答案.pdf

5 第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统 1 直接计算下面两个序列的卷积和 n h n x n y 请用公式表示 分析 注意卷积和公式中求和式中是哑变量m n 看作参量 结果 ny中变量是 n mm mnxmhmnhmxny 分为四步 1 翻褶 m 2 移位 n 3 相乘 4nynnyn值的 如此可求得所有值的 相加 求得一个 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n 0 0 0 01 0 0 n nn anN hn n nn xn nn 其 他 6 如此题所示 因而要分段求解 2 2 已知线性移不变系统的输入为 n x 系统的单位抽样响应 为 n h 试求系统的输出 n y 并画图 5 0 1 2 4 5 0 2 3 2 1 3 43 5 nunhnunx nRnhnnx nRnhnRnx nRnhnnx nn n 分析 如果是因果序列 ny可表示成 ny 0 y 1 y 2 y 例如小题 2 为 ny 1 2 3 3 2 1 mnxnxmnnxnxn 卷积和求解时 n的分段处理 n Nnm m n nn Nnm mnnm n nm mnhmxny Nnn 11 1N 0 0 0 1 3 全重叠时当 1 0 00 1 11 nn NN nNn nNn nn Nny m mnhmxnhnxny 解 0 1 0 nynn时当 1 2 00 部分重叠时当 Nnnn n nm m n nn nm mnnm n nm mnhmxny 0 0 0 0 0 1 00 0 0 11 1 nnnn nn nn 1 0 0 nnny nn 7 3 3 已知 10 1 1 1 1 1 10 1 1 时当 时当 解 8 为为互素的整数 则周期 有理数当 2 0 QQP Q P 当 0 2 无理数 则 nx不是周期序列 周期为是周期的 解 14 3 14 7 3 2 2 87 3 cos 0 nAnxa 是周期的 周期是 6 13 6 3 13 2 2 3 13 sin 0 nAnxb 是非周期的 是无理数 12 2 6 sin 6 cos 6 sin 6 cos 0 6 T n j n n j n enxc n j 5 设系统差分方程为 1 nxnayny 其中 nx为输入 ny为输出 当边界条件选为 0 1 2 0 0 1 y y 试判断系统是否是线性的 是否是移不变的 分析 已知边界条件 如果没有限定序列类型 例如因果序列 反因果序列等 则递推求解必须向两个方向进行 n 0 及 n xayy xayy ni nxnayny nnxa y 处递推 向 按 设 时解 9 3 111 2 111 1 111 111 111 1 111 2 2 1 3 1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 0 1 222 222 222 按 处递推向 设 0 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 222 222 222 2 1 2 1 222 处递推向 设 2 333 1 333 1 3 1 333 1 1 1 2 0 0 1 1 0 1 1 axy a y axy a y nii nany anxnayny n n 处递推向 条件下是线性系统 所给系统在 可得 综上 0 0 1 1 1 1 1 1 21 1 3 333 y nyny nuanuany iii na nxny a ny nn n 6 试判断 是否是线性系统 并判断 2 3 是否是移不变系统 分析 利用定义来证明线性 满足可加性和比例性 22112211 nxTanxTanxanxaT 移不变性 输入与输出的移位应相同 T x n m y n m n m mxny 1 解 n m mxnxTny 111 mxnxTny n m 222 n m nbxmaxnbynay 2121 11 n m nbxnaxnbxnaxT 2121 nbynaynbxnaxT 2121 系统是线性系统 2 2 nxny 解 2 111 nxnxTny 2 222 nxnxTny 2 1 2 121 nbxnaxnbynay nbynaynbxnaxT nxnabxnbxnax nbxnax nbxnaxT 2121 21 2 2 2 1 2 21 21 2 即 系统是移不变的 即 mnymnxT mnxmny mnxmnxT 2 2 系统不是线性系统 12 7 试判断以下每一系统是否是 1 线性 2 移不变的 0 n nk 4 3 2 1 0 nx enxTnnxnxT kxnxTnxngnxT 分析 注意 T x n g n x n 这一类表达式 若输入移位 m 则有 x n 移位变成 x n m 而 g n 并不移位 但 y n 移位 m 则 x n 和 g n 均要移位 m 79 2 sin 3 nxny 解 79 2 sin 79 2 sin 2 1 21 nbx nax nbynay nbynay nbxnaxT nbxnax nbxnaxT 21 21 21 21 79 2 sin 即有 系统是线性系统 系统是移不变的 即 mnymnxT mnxmny mnxmnxT 79 2 sin 79 2 sin 79 2 sin 11 nxny 79 2 sin 22 nxny 13 1 21 21 21 21 nxbTnxaT nbxngnaxng nbxnaxng nbxnaxT nxngnxT 解 系统是线性系统 解 2 21 21 21 0 21 00 0 nxbTnxaT kxbkxa kbxkax nbxnaxT kxnxT n nk n nk n nk n nk 系统是线性系统 系统不是移不变的 即 mnymnxT mnxmngmny mnxngmnxT 系统是移不变的 即 mny mnxT emny emnxT mnx mnx 14 系统不是移不变的 即 mnymnxT kxmny kx mkxmnxT mn nk mn mnk n nk 0 0 0 8 8 以下序列是系统的单位抽样响应 nh 试说明系统是否是 1 因果的 2 稳定的 4 7 1 3 0 6 3 0 5 3 4 3 3 1 2 1 1 2 n nunu nunu nu n nu n nn nn 分析 注意 0 1 已知 LSI 系统的单位抽样响应 可用 Mnh n 来判断稳 定性 用 h n 0 n 0 来判断因果性 不稳定 是因果的 时当 解 1 1 0 1 0 0 1 22 n nh nhn 3 21 0201 21 0 nxbTnxaT nnbxnnax nbxnaxT nnxnxT 解 15 稳定 是因果的 时 当 3 8 1 4 1 2 1 11 1 2 3 1 1 2 1 11 2 1 1 1 0 1 0 0 2 n nh nhn 不稳定 是因果的 时 当 210 333 0 0 3 n nh nhn 稳定 是非因果的 时 当 2 3 333 0 0 4 210 n nh nhn 系统是稳定的 系统是因果的 时 当 7 10 3 03 03 0 0 0 5 210 n nh nhn 系统不稳定 系统是非因果的 时 当 21 3 03 0 0 0 6 n nh nhn 系统稳定 系统是非因果的 时 当 1 0 0 7 n nh nhn 9 列出下图系统的差分方程 并按初始条件0 0 nny 求输入为 nunx 时的输出序列 ny 并画图表示 分析 信号与系统 课中已学过双边 Z 变换 此题先写出 H z 然后利用 Z 反变换 利用移位定理 在时域递推求解 也可直接求出序列域的差分方程再递推求 16 解 注意输入为 u n 解 系统的等效信号流图为 1 1 0 1 4 1 0 1 1 1 4 4 1 4 4 1 1 1 1 1 xxyy nxnxnyny nxnxnyny z z zX zY 由梅逊公式可得 则 4 1 3 5 3 8 4 1 4 1 4 1 1 2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 2 2 3 2 4 1 3 4 1 4 1 1 2 1 2 1 4 1 2 4 1 2 0 1 0 4 1 1 1 3 2 2 nu nxnxnyny xxyy xxyy xxyy n nn L M 10 10 设有一系统 其输入输出关系由以下差分方程确定 1 2 1 1 2 1 nxnxnyny 设系统是因果性的 试求 的响应利用卷积和求输入的结果由 该系统的单位抽样响应 e a b a nj nunx 分析 小题 a 可用迭代法求解 小题 b 要特别注意卷积后的结果其存在的 n 值范围 17 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1 1 2 1 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 1 2 1 xxyh xxyh xxyh xxyh nnhny nnxa nxnxnyny 解 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 nnunh nxnxnynh n n 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 nuenu e e nuenu e ee nue nu e ee e nuenue nuenuenu nuennu nhnxny b nj j nnj nj j jnnj nj j njnj nj n m njmnjm njnjn njn 18 解 根据奈奎斯特定理可知 失真 频谱中最高频率 无失真 频谱中最高频率 3 2 6 5 5cos 3 2 6 2 2cos 2 22 1 11 ty ttx ty ttx a aa a aa 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 N k N k N k N k N k N k khBB kh kh y B nkh nkh khny nh nhB nh nh nx khBny Bknx knxkhny knxkhny nyN nNnnh 因此 于是 凑一个序列 为达到这个界值我们 则输出的界值若 而 写成因此 可以把式中 证明 由于题中给出 21 第二章第二章 Z变换变换 1 求以下序列的 z 变换 并画出零极点图和收敛域 分析 Z 变换定义 n n znxzXnxZ n 的取值是 nx 的有值范围 Z 变换的收敛域 是满足 Mznx n n 的 z 值范围 解 解 1 由 Z 变换的定义可知 n n n zazX n n nn n n zaza 0 1 n n nn n n zaza 01 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 az a za za azaz a z a az az 2 1 2 nunx n 1 2 1 3 nunx n 1 1 4 n n nx 为常数 00 0 sin 5 nnnnx 10 cos 6 0 rnunArnx n 1 1 aanx n 22 z z 即 收敛域 0 2 1 zz零点为 极点为 解解 3 n n n znuzX 1 2 1 1 2 1 n nn z 1 2 n nn z z z 21 2 1 2 1 1 1 z 2 1 12 z 的收敛域为故 的收敛域相同 的收敛域和因为 1 1 ln 1ln ln zzX dz zdX zX z z zzzX z 1 0 零点为 极点为 zz 解 解 5 设 sin 0 nunny 则有 1 cos21 sin 2 0 1 0 1 z zz z znyzY n n 而 nynnx zY dz d zzX 1 cos21 sin 1 22 0 1 0 21 z zz zz 因此 收敛域为 1 z zzzz ezez jj 0 1 1 00 零点为 极点为二阶 极点为 解解 6 1 1 4 n n nx 为常数 00 0 sin 5 nnnnx 10 cos 6 0 z zz z zz z zz z zY nunnun nunn nunny 设 的收敛域为则 而的收敛域为则 cos21 cos cos 1 22 0 1 0 1 rzzX zrrz rzA r z YAzX nyArnxzzY n 2 假如 nx的 z 变换代数表示式是下式 问 zX可能有多少 不同的收敛域 8 3 4 5 1 4 1 1 4 1 1 212 2 zzz z zX 分析 分析 要单独讨论 环状 圆外 圆内 有三种收敛域 双边序列的收敛域为 特殊情况有 左边序列的收敛域为 因果序列的收敛域为 右边序列的收敛域为 特殊情况有 有限长序列的收敛域为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 2 1 21 z RzR nnRz nnRz nnzR nnzR nz nz nnnz xx x x x x 解 对 X Z 的分子和分母进行因式分解得 4 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 111 1 ZjZjZ Z X Z 的零点为 1 2 极点为 j 2 j 2 3 4 X Z 的收敛域为 4 3 1 2 1 1 4 1 1 2 1 1 2 1 1 112 11 ZZZ ZZ ZX 25 1 1 2 Z 3 4 为双边序列 为双边序列 请看请看 2 Z 1 2 为左边序列 请看为左边序列 请看 3 Z 3 4 为右边序列 为右边序列 请看请看 aaz az zX z z zX z z zX zzX 1 z 1 3 4 1 z 4 1 1 21 2 2 1 z 4 1 1 2 1 1 1 3 1 1 2 1 反变换的部分分式法求以下留数定理用长除法 分析 分析 长除法 对右边序列 包括因果序列 H z 的分子 分母都要按 z的降幂排列 对左边序列 包括反因果序列 H z 的分子 分 母都要按z的升幂排列 部分分式法 若X z 用z的正幂表示 则按X z z 写成部分分 式 然后求各极点的留数 最后利用已知变换关系求z反变换可得 x n 留数定理法 号 负号 数时要取 用围线外极点留 号 负号 必取 用围线内极点留数时不 现的错误 这是常出 相抵消 来和不能用 消 的形式才能相抵的表达式中也要化成因而 注意留数表示是 2 1 1 1 Re 1 1 1 11 kk k n k n k k n zzzz zzzzX zz zzXzz zz zzXs 1 i 长除法 1 i 长除法 12 1 2 1 1 1 4 1 1 2 1 1 zz z zX 2 1 2 1 zz而收敛域为 极点为 按降幂排列 分母要为因果序列 所以分子因而知 nx 21 4 1 2 1 1zz 1 1 2 1 1 1 2 1 1 z z 26 21 1 4 1 2 1 2 1 zz z 2 4 1 z 0 21 2 1 4 1 2 1 1 n n n z zzzX 所以 2 1 nunx n 1 ii 留数定理法 留数定理法 c n dzz z j nx 1 1 2 1 1 1 2 1 设 c 为 2 1 z内的逆时针方向闭合曲线 当0 n时 nn z z z z 2 1 1 1 1 2 1 1 1 在c内有 2 1 z一个单极点 则 0 2 1 2 1 Re 2 1 n z z snx n n z 是因果序列由于 nx 0 0 z 所以 2 1 nunx n 2 i 长除法 长除法 4 1 4 1 zz而收敛域为由于极点为 因而 nx是左边序列 所以要按z的 升幂排列 2 112288zz z zz 82 2 4 1 2 287 7 zz z 32 2 11228 28 zz z 1 1 2 478 478 112288 n nn n nn z z zzzX 所以 1 4 1 7 8 nunnx n 2 ii 留数定理法留数定理法 4 1 2 1 1 为设 zcdzzzX j nx c n 内的逆时针方向闭合曲线 时 当 0 n 1 n zzX 在c外有一个单极点 4 1 z 28 0 4 1 7 Re 4 1 1 0 0 nnx则 综上所述 有 1 4 1 7 8 nunnx n 2 iii 部分分式法 部分分式法 4 1 78 4 1 2 z z zz z z zX 则 1 4 1 1 7 8 4 1 7 8 z z z zX 因为 4 1 可知 nx为 因果序列 因而要按 z 的降幂排列 2 2 1 1 1 1 11 z a a a z a a aa a z azaz 1 1 1 1 1 1 1 z a a aa a a a 29 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 z a a a z a a a z a a a 则 1 1 1 1 n n n z aa a a zX 所以 1 1 1 1 nu aa an a nx n 3 ii 留数定理法留数定理法 a zdzzzX j nx c n 1 c 2 1 1 为 设 内的逆时针方向闭合曲线 1 1 1 1 0 0 1 1 Re Re 0 1 0 c 0 0 1 1 1 1 Re 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 nu aa an a nx nx nxn a a a a zzXszzXsx a zz zzXn n aa a z a z az a zzXsnx a zczzX n n nn n n n n n z a z a z a z 所以 此时 是因果序列 时 由于当 两个单极点 内有在时 当 一个单极点内有在 时 当 3 iii 部分分式法 部分分式法 az a z a azz az z zX 1 1 1 2 30 则 1 1 1 1 1 z a a aazX 所以 1 1 nu aa ananx n 1 1 1 1 nu aa an a n 4 有一右边序列 nx 其 z 变换为 1 2 1 1 1 11 zz zX a 将上式作部分分式展开 用 1 z表示 由展开式求 nx b 将上式表示成 z 的多项式之比 再作部分分式展开 由展开 式求 nx 并说明所得到的序列与 a 所得的是一样的 注意 注意 不管哪种表示法最后求出x n 应该是相同的 解 a 因为 1 11 2 2 1 1 1 z z zX 且x n 是右边序列 所以 2 1 2 nunx n b 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 z z zz z zz z zX 31 2 1 2 1 2 1 2 1 nu nununnx n n 则 5 对因果序列 初值定理是 lim 0 zXx z 如果序列为 0 n 时 0 nx 问相应的定理是什么 nx讨论一个序列 其z变换为 值 试求其的收敛域包括单位圆 0 xzX 分析 分析 这道题讨论如何由双边序列Z变换 zX来求序列 初值 0 x 把序列分成因果序列和反因果序列两部分 它们各自由 zX求 0 x表达式是不同的 将它们 各自的 0 x相加即得所求 0 lim 2 1 0 0 0 0 2 0 xzX zxzxx znxzX nxn z n n 所以此时有 有时当序列满足解 若序列 nx的 Z 变换为 2 1 2 2 1 3 2 4 2 1 2 24 19 12 7 2 5 1 24 19 12 7 21 21 2 21 1 zzzX zXzX z z z z zz zz zz z zX 的极点为 由题意可知 X Z 的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为 2 2 1 变换的变换性质求利用 zYznyz 分析 分析 则 注意移位定理 2 1 2121 1 1 zXzXzYnxnxny zXzm nx zXzmnx zXnxzXnx mm 解 根据题目所给条件可得 1 1 2 1 1 1 z nx 1 2 3 1 1 1 z nx Z 1 3 1 2 1 1 3 z z nx Z 2 1 z z zXnx Z 3 1 1 1 1 22 3 1 1 z z z nx Z 3 1 1 1 1 2 3 z 而 1 3 21 nxnxny 33 所以 1 3 21 nxZnxZzY z z z z 3 1 1 2 1 1 1 1 3 2 1 3 3 3 zz z 7 求以下序列 nx的频谱 j eX 1 0 nn 2 nue an 3 0 nue nj 4 cos 0n nue an 分析 分析 可以先求序列的Z变换 zX再求频率 j jj ez zXeXeX 即 j eX为单位圆上的Z变换 或者直接求序列的 傅里叶变换 n njj enxeX 解 对题中所给的 nx先进行z变换 再求频谱得 0 1 0 n z nnZ nxZzX 0 jn ez j e zXeX j 1 1 1 2 ze nueZzX a an 34 ja ez j ee zXeX j 1 1 1 0 0 1 1 3 ze nueZzX j nj 0 1 1 j ez j ee zXeX j cos 4 0n nueZzX an aa a ezez ez 22 0 1 0 1 cos21 cos1 j ez j zXeX ajaj aj eeee ee 22 0 0 cos21 cos1 8 若 21 nxnx是因果稳定序列 求证 2 1 2 1 2 1 2121 deXdeXdeXeX jjjj 分析 分析 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 deeXeXnxnx njjj 2 1 2121 而 2 1 0 0 0 21 2121 deXeX xx n nxnx jj 再利用 21 nxnx 的傅里叶反变换 代入n 0 即可得所需结果 证明证明 deeXeX eXeXeY zXzXzY nxnxny njjj jjj 2 1 21 21 21 21 则设 35 2 1 21 nxnx ny deeY njj 0 0 2 1 21 0 0 21 021 21 xx knxkx nxnx deXeX n n k n jj deeXnx deeXnx njj njj 2 1 2 1 22 11 deXx j 2 1 0 11 deXx j 2 1 0 22 2 1 2 1 2 1 21 21 deXdeX deXeX jj jj 9 求 5 nRnx 的傅里叶变换 分析分析 这道题利用傅里叶变换的定义即可求解 但最后结果应化为模和相角的关系 解解 根据傅里叶变换的概念可得 2 1 2 1 22 2 1 2 1 0 1 1 1 jj N j N j j N j j N n N j ee ee e e e e enRDTFTeX Nj nj kN kk N e N j 2 2 2 sin 2 sin 2 1 为整数 36 和即可得到所需的时 当 arg 5 j j eX eXN 2 sin 2 sin 2 N eX k j 时当 2 sin 2 sinarg 2 1 arg N N eX j 10 设 j eX是如下图所示的 nx信号的傅里叶变换 不必求出 j eX 试完成下列计算 a 0j eX b deX j c deX j 2 d d d edX j 2 分析 分析 利用序列傅里叶变换的定义 它的导数以及帕塞瓦公式 2 12 2 n j nxdex 解 解 4 0 2 6 0 00 x deeXdeXb nxenxeXa jjj nn njj c由帕塞瓦尔公式可得 n nxdeX j 2 2 2 28 d n njj enxeX 1 N 2 N 2 2 1 1 62 是其收敛区域 零极点图如右图所示 右边是本题的零极点图 右边是本题的零极点图 212121 1 az z az z aaazaz z zHb因为 0 2 0 1 21 1 2 1 121 1 1 1 1 11 n nn n nn zaza aa zazaaa 62 0 62 1 1 21 21 21 aa nuaa aa nh nn 式中 所以 由于 zH的收敛区域不包括单位圆 故这是个不 稳定系统 c 若要使系统稳定 则收敛区域应包括单位圆 因此选 zH的 收敛区域为 12 aza 即 62 162 0 z 则 2121 1 az z az z aa zH 中第一项对应一个非因果序列 而第二项对应一个因果序列 0 2 1 1 21 1 n nn n nn zaza aa zH所以 40 62 0 1 62 1 447 0 1 1 21 12 nunu nuanua aa nh nn nn 则有 从结果可以看出此系统是稳定的 但不是因果的 13 研究一个输入为 nx和输出为 ny的时域线性离散移不变系 统 已知它满足 1 3 10 1 nxnynyny 并已知系统是稳定的 试求其单位抽样响应 分析 分析 在Z变换域中求出 zXzYzH 然后和题 12 c 一样分解成部分分式分别 求Z反变换 解 对给定的差分方程两边作Z变换 得 3 1 3 3 10 1 3 10 1 1 zz z zz zX zY zH zXzzYzYzYz 则 3 1 3 21 zz极点为 为了使它是稳定的 收敛区域必须包括 3 1 3 3 3 1 21 z 零极点图二 2 2 1 z 零极点图三 2 1 z 则系统 是非稳定的 但是因果的 其单 位抽样响应为 1 21 21 nuzz zz nh nn 22 3 2 nu nn 2 同样按 12 题 当收敛区域为 2 2 1 z 则系统是稳定的但是非因果的 其单位抽样响应为 1 1 21 12 nuznuz zz nh nn 2 1 1 2 3 2 nunu n n 12 zzz 其中 2 1 z 2 1 2 z 3 类似 当收敛区域为 2 1 因为 是因果系统 且当 0 n 时 nx 等 于零 所以 0 0 n 时 采用围线积分法 其中围线 C 包围 azz 21 三个极点 所以 45 3 1 1 p p n zzzzYny 2121 2 21 2 21 2 12 nu azazzz azzzazzaz n nn 代入上式 即可得到将 jj rezrez 21 ny 16 下图是一个因果稳定系统的结构 试列出系统差分方程 求系统函数 当 5 0 1 5 0 110 abb 时 求系统单 位冲激响应 画出系统零极点图和频率响应曲线 分析 解法一 利用此系统是一阶系统写出差分方程 令其二阶项系统为零 可得一阶差分方程 取 Z 变换求得 H z 从而求得 h n 解法二 将系统用流图表示 改变流图中两个一阶节的级联次序 线性系统服从交换定理 然后写出差分方程 再取 Z 变换 求得 H z 从而求得 h n 解法一 由图示可得 1 111 nxanxnx 1 1110 nxbnxbny 2 1 1 1 11101110 nxkbnxkbnxbnxb nkyny则 2 1 11101010 nxkbnxkbbbanxb 1 01010 nxkbbbanxb 2 2 11101011 nxkbnxkbbbaa 由方框图可看出 差分方程应该是一阶的 1101110 2 1 0 akkbbkababa 所以 46 则有 1 1 0110101 nxbabbanxbnyany 1 10 nxbnxb 1 1 10 1 1 zXzbbzazY 即 1 1 1 10 1 za zbb zX zY zH所以 时 当 5 0 1 5 0 110 abb 1 1 1 1 1 10 5 01 5 0 1 z z za zbb zH 1 1 1 5 015 01 5 0 z z z 因为此系统是一个因果稳定系统 所以其收敛 5 0 z域为 1 5 0 5 05 0 1 nununh nn 解法二 将图 P2 11 画成流图结构 并化简如下 由于线性流图的级联结构可以改变级联次序 因而 上图又可化成 由这个流图即可很方便地写出其线性差分方程 1 1 101 nxbnxbnyany 取 z 变换可得 47 1 1 10 1 1 zXzbbzazY 所以 1 1 1 10 1 za zbb zX zY zH 代入 可得 将5 0 1 5 0 110 abb 5 2 2 5 0 5 0 5 01 5 0 5 01 5 01 5 0 1 1 BA z B z A zz z z zH z z z z zH 其中 5 0 5 0 5 2 2 z z z zH因而 由于系统是因果稳定的 5 0 5 2 2 nunnh n 所以 17 设 nx 是一离散时间信号 其 z 变换为 zX 对下列信 号利用 zX 求它们的 z 变换 a 1 nxnx 这里 记作一次差分算子 定义为 1 nxnxnx b 2 nx 为奇数 为偶数 n n n x 0 2 c 2 3 nxnx 分析 2 nx 式序列的抽取序列 3 nx 是 内插零值序列 不是内插序列 解题的 关键是要进行变量变换 以得到与 nx 的 Z 变换相似的表达式 解 a 1 nxZnxZnxZ 1 11 zXzzXzzX 48 b evenn n z n xnxZ 2 2 则令 2 n m 22 zXzmx m m 上式 c 则令nm2 evenm m n n zmxznxzY 2 2 由此可设 1 1 2 1 mxmx m m m m zmxzY 2 1 1 2 1 则 m mm m zmxzmx 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zXzX 49 第三章第三章 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 1 如下图 序列 x n 是周期为 6 的周期性序列 试求其傅立叶级数的系数 5 0 6 2 6 5 0 X n nkj nk n enxWnxk 解 kjkjkjkjkj eeeee 5 6 2 4 6 2 3 6 2 2 6 2 6 2 1068101214 计算求得 339 5 33 4 0 3 33 2 339 1 60 0 jXjXX jXjXX 并作图表示试求 设 2 64 kXnxkX nxnxnRnx 5 0 6 2 6 5 0 n nkj nk n enxWnxkX 解 kj kjkj eee 3 2 3 1 计算求得 3 5 1 4 0 3 1 2 3 1 4 0 jXXX XjXX 的周期卷积并作图与试求 令 其它 设 2 0 40 1 3 46 4 nhnx nhnhnxnx nRnh n nn nx 解 在一个周期内的计算值 mnhnhnxny mnhnhnxny 50 等各序列 试画出所示如图已知 3 13 4 77556 33665 nRnxnRnxnx nRnxnRnxnx Pnx 5 x n 4 Nn0 n n 3 2 cos 1 5 2 00 0 nRnnx nnR nx nRanx nRnanx DFTN N N N n N 闭合形式表达式点试求以下有限长序列的 2 1 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 1 2 1 1 1 1 1 cos cos 0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 222 2 2 1 2 2 1 2 2 1 222 2 1 1 0 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 000 000 000 000 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 2 00 2 k N e N e k N e N e a eee eee eee eee a kR e e e e a kReea kReeea kRenakX nRnanx k N j N j k N j N j k N jk N jk N j N j N j N j k N jk N jk N j N j N j N j N kj Nj kj Nj N N n nj N n nkj N N n nkj njnj N n N nkj N NN NN N N 解 51 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 cos cos 1 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 00 1 0 2 0 0 0 0 0 0 00 kR e e e e a kReea kReeea kRena kX nRnanx N k N j Nj k N j Nj N N n n N j N n nk N j N N n nk N jnjnj N n N nk N j N 解 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 222 2 2 1 2 2 1 2 2 1 222 000 000 000 000 k N jk N jk N j N j N j N j k N jk N jk N j N j N j N j eee eee eee eee a 2 1 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 1 0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 0 2 0 0 0 0 k N e N e k N e N e a k N j N j k N j N j k N j N N n nk N j n N n ae a eakX nRanx 2 1 0 2 1 1 2 52 0 3 0 2 1 0 2 0 1 0 2 00 kRe kRenn kRenxkX Nnnnnx N kn N j N N n nk N j N n N nk N j 1 1 1 1 1 1 2 2 1 32 1 4 1 1 1 32 1 32 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 kR W N kX N W W N kRWN kRNWN WWWN WWW nWnWWkX kRnWkXW kRnWkX nnRnx N k N k N k N N N n nk N N kN N k N k N kN N k N k N k N N n kn N N n nk N k N N n N kn N k N N n N nk N N k N N N n nk NN W N kXnnRnx WnkXnRnnx 1 4 5 11 1 0 22 则 小题的结论根据第 53 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 32 1 2 32 1 0 1 2 1 0 2 1 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 12 1 1 2 4 1 94 1 k N k N k N N n nk N N n nk N kN N k N k N kN N k N k N k N N n kn N N n nk N k N N n kn N k N W NWNN kX W N NN kXNN nWNN WnN NWN WWWN WWW WnWnWkX WnkXW 6 4 2 0 3 0 2 1 1 6 1 0 2 kkx XkX kX ekX N nx nx N k nkNj 哪些序列列能做到 成虚数外除时间原点使所有的哪些序列能够通过选择 成为实数时间原点使所有的哪些序列能够通过选择 问傅里叶级数 这些序列可以表示成列如图画出了几个周期序 条件 故第二个序列满足这个 为对称轴偶对称以即 应满足偶对称 故 虚部为零为实序列由图知 又为轴关于虚部奇对称 应满足实部偶对称一个周期内 在其的性质可知根据 即要求为实数要使解 0 0 1 nnx nxnx nx nx n nxDFT kXkX kX 54 这个条件 故这三个序列都不满足 为对称轴奇对称以 在一圆周上即在一个周期内 故 为实序列又已知 为轴关于虚部偶对称 实部奇对称一个周期内应满足 在其的性质可知根据 即要求为虚数要使 0 0 2 n nx nxnx nx n nxDFT kXkX kX 0 6 4 2 1 1 1 1 1 8 3 1 44 3 0 8 2 1 kXk ee e ekX kj k kj kj n nkj 时当 对于第一个序列 点周期序列由于是 0 6 4 2 1 1 1 4 4 3 2 0 4 1 kXk e e ekX kj kj n nkj 时当 对于第二个序列 4 20 0 6 4 2 1 1 1 1 4 3 4 113 113 kkX kXk e e kXekXkX nxnxnx kj k kj kj 第三个序列满足第一 时当 根据序列移位性质可知 对于第三个序列 55 7 卷积试画出它们的六点圆周限长序列在下图中画出了两个有 试画出试画出 试画出 点序列如图表示一个 3 2 1 5 8 32 1 nxnxnynxnxny nxnxny nx 应该得到的点 于 的哪些点对应问设所得结果为的 再求乘积相乘然后将两个点的各作 其他 其他 设有两序列 15 n 0 14n0 n 0 5n0 9 nynx nfnfIDFT DFTDFT ny ny nx nx 应该得到的点 的点对应于到中只有 点处发生混叠 即这到内在 时 一个周期卷积序列为周期而延拓形成圆周以 用线性卷积结果 所以 混叠点数为 点的圆周卷积 即的与为又 的点数应为 故 的点数为的点数为解 序列 145 5 1 40 15 51520 1515 201 15 6 21 21 nynxnn nfLNnn nf LN Lnynxnf NNNnynx NnyNnx 10 已知两个有限长序列为 6n5 1 4n0 1 6n4 0 3n0 1 ny n nx nxnfnynx 以及试用作图表示 ny 的关系 与点试求 点的有限长序列长度变成 现将点有限长序列是已知 1 rNnN 0 1 Nn0 11 kXDFTrNnyDFT nx ny nyrN nxDFTkXNnx 6 5 0 621 nRmnxmxny m 56 相等 与倍时 的整数为不一定为零 而当 个其他的数值的每两个值之间插入相当于在 的周期为倍的的抽样点数是在一个周期内 解 1 1 1 0 10 1 0 N 2 1 0 1 0 1 0 2 r k XkYlrk rkXrN kYrkXkY Nllrk r k Xenx WnxWnynyDFTkY NkenxnxDFTkX N n r k n j nk rN rN n N n nk rN N n nk N j 的关系 与点试求 其他 序列 点的有限长度得到一个长为个零值点的每两点之间补进 现将点的有限长序列是长为已知 0 0 1 12 kXnyDFTrN n Niirnrnx nyny rNr nxnxDFTkXNnx 周期为即 次形成的 延拓周期为将是 解 rNkY rNkXkY kRkXkY rNkWixWrirx WnynyDFTkY NkWnxnxDFTkX rNN N i ik N N i irk rN rN n nk rN N n nk N 10 10 1 0 1 0 1 0 1 0 并证明你的回答 频率间隔试确定频谱抽样之间的 个抽样的计算了被抽样频谱分析的模拟信号以 512 8 13DFTkHz 57 HzF NKH