数列题型归纳.doc

数列题型归纳考点一：数列的概念1. (2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且,那么 ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55答案：A 解析：，2.【2012高考浙江理7】设是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是A.若d0，则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项，则d0C.若数列Sn是递增数列，则对任意，均有D. 若对任意，均有，则数列Sn是递增数列【答案】C【解析】选项C显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3，满足数列S n是递增数列，但是S n0不成立故选C。3.【2012高考福建理14】数列an的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=_.【答案】3018【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前项和的求法，以及余弦函数的周期性，同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力，难度较大【解析】因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数6，所以.4 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知数列满足,则的前10项和等于(A) (B) (C) (D)【答案】C 5（2013年高考陕西卷（理）观察下列等式: 照此规律, 第n个等式可为_. 【答案】6.（2013年高考新课标1（理）若数列的前n项和为Sn=,则数列的通项公式是=_.【答案】=. 考点二：等差数列1.（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】2. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .【答案】10【解析】由题得3.【2012高考重庆理1】在等差数列中，则的前5项和= A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B【解析】因为，所以，所以数列的前5项和,选B.4. (2011年高考湖北卷理科13)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升答案： 解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.5.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，则 解析：74. ，故6.【2012高考辽宁理6】在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176【答案】B【解析】在等差数列中，答案为B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。7.【2012高考山东理20】本小题满分12分）在等差数列中，.（）求数列的通项公式；（）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.【答案】解：（）因为是一个等差数列，所以，即所以，数列的公差，所以， （）对，若 ，则 ，因此 ，故得 于是 8.（2013年高考新课标1（理）设等差数列的前项和为,则 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C 9.（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和_.【答案】 10（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）在等差数列中,已知,则_.【答案】 11.（2010浙江文数）（19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足+15=0。（）若=5，求及a1；（）求d的取值范围。12.（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。考点三：等比数列1.（2010浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，则（A）11 （B）5 （C） （D）解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题2(2011年高考北京卷理科11)在等比数列an中，a1=，a4=-4，则公比q=_；_。【答案】2 3.【2012高考新课标理5】已知为等比数列，则（ ） 【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.4.【2012高考辽宁理14】已知等比数列an为递增数列，且，则数列an的通项公式an =_。【答案】【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.【解析】【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。5.高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）等比数列的前项和为,已知,则(A) (B) (C) (D)【答案】C 6.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则_.【答案】63 7. （2010天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5 （B）或5 （C） （D）【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.8.（2010全国卷1理数）（4）已知各项均为正数的等比数列中，=5，=10，则= (A) (B) 7 (C) 6 (D) 考点四：等差数列和等比数列的综合1.（2010广东理数）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=w_w w.k*s_5 u.c o_mA35 B.33 C.31 D.292C设的公比为，则由等比数列的性质知，即。由与2的等差中项为知，即 ，即，即3. (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和, ,则的值为A-110 B-90 C90 D110【答案】D.【解析】，解之得，.4.【2012高考湖北理18】（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（）求等差数列的通项公式；（）若，成等比数列，求数列的前项和.【答案】 （）设等差数列的公差为，则，由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得，或.故，或. （）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件.故 记数列的前项和为.当时，；当时，；当时， . 当时，满足此式.综上， 5.【2012高考陕西理17】（本小题满分12分）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。（1）求数列的公比；（2）证明：对任意，成等差数列。【解析】（1）设数列的公比为（）。由成等差数列，得，即。由得，解得，（舍去），所以。（2）证法一：对任意， ，所以，对任意，成等差数列。证法二：对任意， ，因此，对任意，成等差数列。6.【2012高考天津理18】（本小题满分13分）已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，.（）求数列与的通项公式；（）记，证明（）.【答案】（1） 设数列的公差为，数列的公比为；则 得：（2） 【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.7.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）已知是等差数列,公差,为其前项和,若成等比数列,则【答案】 考点五：数列的综合应用1.（2010辽宁理数）（16）已知数列满足则的最小值为_. 【答案】【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+,所以当n=5或6时有最小值。又因为，所以，的最小值为2.（2010天津文数）（15）设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和。记设为数列的最大项，则= 。【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。因为8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.3.（2010江西理数）5.等比数列中，=4，函数，则（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。4.(2011年高考上海卷理科18)设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为（ ）A是等比数列。 B或是等比数列。C和均是等比数列。D和均是等比数列，且公比相同。【命题意图】本题考查等比数列的概念及充要条件的判断问题，难度较大.【答案】D【解析】由题意知=，若是等比数列，则=为非0常数，即=，=，和成等比数列，且公比相等；反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为，则=，则是等比数列，故选D.5.【2012高考上海理18】设，在中，正数的个数是（ ）A25 B50 C75 D100【答案】D【解析】当124时，0，当2649时，0，但其绝对值要小于124时相应的值，当5174时，0，当7699时，0，但其绝对值要小于5174时相应的值，当1100时，均有0。【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.6.【2012高考四川理12】设函数，是公差为的等差数列，则（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】D【解析】数列an是公差为的等差数列，且，即，而是公差为的等差数列，代入，即，不是的倍数，.，故选D.点评本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.7.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_【答案】【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。由题意：，而的最小值分别为1，2，3；。8.【2012高考新课标理16】数列满足，则的前项和为 【答案】1830【解析】由得，即，也有，两式相加得，设为整数，则，于是9 （2013年高考新课标1（理）设的三边长分别为,的面积为,若,则()A.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列,S2n为递减数列D.S2n-1为递减数列,S2n为递增数列【答案】B10（2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）等差数列的前项和为,已知,则的最小值为_.【答案】 11（2013年高考湖北卷（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 可以推测的表达式,由此计算_.12.（2013年高考湖南卷（理）设为数列的前n项和,则(1)_; (2)_.【答案】; 13.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8= -10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和.（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 5分 （II）设数列，即，所以，当时， 所以综上，数列14. (2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且(1)求数列的通项公式.(2)设 求数列的前项和.分析：(1)先求首项和公比，后求通项(2)可以先求出，然后得新数列通项后再求和解析：（）设数列an的公比为q，由得所以。由条件可知a0,故。由得，所以。故数列an的通项式为an=。（）故所以数列的前n项和为15.【2012高考广东理19】（本小题满分14分）设数列an的前n项和为Sn，满足，nN,且a1，a2+5，a3成等差数列（1） 求a1的值；（2） 求数列an的通项公式（3） 证明：对一切正整数n，有.【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考