高考数学一轮复习 第七章 第1讲 一元二次不等式及其解法课件 理 苏教版 .ppt

第1讲一元二次不等式及其解法 考点梳理 1 将不等式的右边化为零 左边化为二次项系数大于零的不等式ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c 0 a 0 2 求出相应的一元二次方程的根 3 利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集 1 一元二次不等式的求解步骤 2 一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的关系如下表 x x1 x x2 r 一个命题解读一元二次不等式 分式不等式及其他不等式的解法是高考考查的热点 以填空的形式出现在高考中 而不等式的解法与函数 数列 平面向量 解析几何 导数等相结合的问题 则以解答题形式呈现 尤其是含参数的不等式及恒成立问题 考查得更多一些 两个防范 1 二次项系数中含有参数时 参数的符号影响不等式的解集 不要忘了二次项系数是否为零的情况 2 解含参数的一元二次不等式 可先考虑因式分解 再对根的大小进行分类讨论 若不能因式分解 则可对判别式进行讨论 分类要不重不漏 助学 微博 1 2012 南京学情分析 若不等式x2 2x 3 a2 2a 1在r上的解集是 则实数a的取值范围是 解析由题意得a2 2a 1 x2 2x 3 x 1 2 2恒成立 所以a2 2a 3 0 解得 1 a 3 答案 a 1 a 3 考点自测 2 2012 扬州调研 不等式 x 1 x 2 0的解集是 答案 1 1 2 答案28 4 2012 南京模拟 已知a x 1 x 2 b x x2 2x a 0 a b的交集不是空集 则实数a的取值范围是 解析若a b的交集是空集时 即x2 2x a 0在1 x 2上恒成立 令f x x2 2x a 因为对称轴为x 1 所以y f x 在集合a上递增 所以f 2 0即可 所以a 8 所以a b的交集不是空集时 实数a的取值范围是 8 答案 8 5 2012 苏北四市调研一 已知p x2 4x 5 0 q x2 2x 1 m2 0 m 0 若p是q的充分不必要条件 则m的最大值为 答案2 1 若f x 7a 0仅有一个解 求f x 的表达式 2 若f x 在 上单调递增 求实数a的取值范围 考向一一元二次不等式的解法及其应用 方法总结 解一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的一般步骤是 1 化为标准形式 2 确定判别式 的符号 3 若 0 则求出该不等式对应的二次方程的根 若 0 则对应的二次方程无根 4 结合二次函数的图象得出不等式的解集 特别地 若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式 则可直接写出不等式的解集 1 当m 3时 求a rb 2 若a b x 1 x 4 求实数m的值 2 由 1 知a x 1 x 5 而b x x2 2x m 0 且a b x 1 x 4 所以4是方程x2 2x m 0的一个根 即42 2 4 m 0 所以m 8 此时 b x 2 x 4 符合题意 故实数m的值为8 x r 2x2 3 1 a x 6a 0 d a b 1 求集合d 用区间表示 2 求函数f x 2x3 3 1 a x2 6ax在d内的极值点 解 1 从集合b中的一元二次不等式的解法入手 抓住其判别式的正负对解集的影响来讨论即可 2 结合第 1 问 再运用数形结合法 讨论f x 的单调性即得其极值 考向二含有参数的不等式的解法及其应用 例2 2012 广东卷 设a0 b 2 f x 6x2 6 1 a x 6a 6 x 1 x a a1时 f x 0 f x 单调递增 当a1 所以此时f x 在d x2 上无极值点 由f 0 0 f a 2a3 3 1 a a2 6a2 a2 3 a 0 f 1 2 3 1 a 6a 3a 1 0 再由f x 的单调性可得0 a x1 1 x2 此时f x 在d上只存在一个极大值点x a 方法总结 解含参数的一元二次不等式的步骤 1 若二次项含有参数应讨论是否等于0 小于0 还是大于0 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 2 其次判断方程的根的个数 讨论判别式 与0的关系 3 再次当方程有两个根时 要讨论两根的大小关系 从而确定解集形式 训练2 解关于x的不等式 1 ax 2 1 1 若对于一切实数x f x 0恒成立 求m的取值范围 2 若对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 考向三一元二次不等式恒成立问题 例3 设函数f x mx2 mx 1 当m 0时 6 0恒成立 当m 0时 g x 在 1 3 上是减函数 所以g x max g 1 m 6 0 所以m 6 所以m 0 方法总结 1 含参数的不等式恒成立问题 通过分离参数 参数的范围化归为函数的最值问题 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 2 一元二次不等式恒成立问题 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解法一f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为x a 当a 1 时 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 1 a 1 综上所述 所求a的取值范围为 3 1 训练3 已知f x x2 2ax 2 a r 当x 1 含参数的不等式恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐 且由于新课标对导数应用的加强 这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起 在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势 对含有参数的不等式恒成立问题 破解的方法主要有 分离参数法和函数性质法 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化 使之转化为函数的最值问题 规范解答11怎样求解含参数不等式的恒成立问题 1 求f x 的单调区间 2 求所有的实数a 使e 1 f x e2对x 1 e 恒成立 注 e为自然对数的底数 审题路线图 第 1 问求f x 令f x 0或f x 0可求单调区间 第 2 问只需f x min e 1且f x max e2即可 示例 2011 浙江卷 设函数f x a2lnx x2 ax a 0 模板构建 解含参数不等式恒成立问题 可按下列方法求解 第一种方法 利用判别式法求解 对于一元二次不等式恒成立问题这是最基本方法 第二种方法 构造函数 利用函数最值法求解 即f x 0恒成立 f x min 0 f x 0恒成立 f x max 0 第三种方法 数形结合法求解 对不太常规的函数 有时较为方便 第四种方法 分离参数 用最值法求解 即f x a恒成立 f x max a f x a恒成立 f x min a 恒成立 则实数a的取值范围是 解析由题意得 a2 8a 0 解得0 a 8 答案 0 8 高考经典题组训练 1 2012 福建卷 已知关于x的不等式x2 ax 2a 0在r上 域为 0 若关于x的不等式f x c的解集为 m m 6 则实数c的值为 3 2012 江苏卷 已知函数f x x2 ax b a b r 的值 答案9 ax 1 0 则a 解析由题知x 0时均有 a 1 x 1 x2 ax 1 0 当a 1时 不符合题意 当a 1时 4 2012 浙江卷 设a r 若x 0时均有