高中数学 6.2不等式的证明配套课件 理 新人教A版.ppt

第二节不等式的证明 三年9考高考指数 1 掌握比较法 分析法 综合法证明简单的不等式 2 掌握放缩等证明不等式的解题技巧 解决不等式的综合问题 1 比较法 分析法 综合法是高考考查的重要方法 2 高考的解答题中经常渗透不等式证明的内容 不等式的证明历来都是高中数学的一个难点 复习中不宜涉及过多难度很大的证明题 3 反证法 换元法 函数单调性法 构造法等证明不等式的方法也是考查学生能力的内容之一 4 不等式常与函数 数列 解析几何 三角函数 向量 导数等知识综合形成压轴题 1 比较法比较法是证明不等式的一种最基本的方法 分作差 作商两种形式 a b 0 1 作差比较法 它的依据是 a b 0 a b 0 基本步骤是 作差 变形 定号 结论 差的变形的主要方法有配方法 分解因式法 分子有理化等 a b a b a b 2 作商比较法 它的依据是 若a 0 b 0 则ab 1 ab 1 ab 1 基本步骤是 作商 变形 判断商与 的大小 它在证明幂 指数不等式中经常用到 a b a b a b 1 1 比较下列各组数 式 的大小 x2 1 2x log23 log34 2 设0 x 1 则a b 1 x c 中最大的一个是 3 设x a2b2 5 y 2ab a2 4a 若x y 则实数a b应满足的条件为 解析 1 x2 1 2x x 1 2 0 x2 1 2x log34 log32 1 log34 log23 即log23 log34 2 因0 x 1 故0 1 x2 1 则1 x 即b c 又1 x 0 即1 x 故a b 即最大的是c 3 由x y 得a2b2 5 2ab a2 4a ab 1 2 a 2 2 0 ab 1或a 2 答案 1 2 c 3 ab 1或a 2 2 综合法 1 定义利用某些已经证明过的不等式和 推导出所要证明的不等式成立 这种证明方法叫综合法 2 思路综合法的思路是 由因导果 也就是从已知的不等式出发 不断地使用必要条件代替前面的不等式 直到得出要证明的不等式 综合法适用于从条件入手比较容易得到条件与结论的关联的不等式证明问题 3 表现形式 因为 所以 不等式的性质 即时应用 1 若0 a 1 0 b 1 且a b 则a b 2 a2 b2 2ab中最大的是 2 若a b 1 p q lga lgb r lg 则p q r从小到大的顺序是 解析 1 0 a 1 0 b 1 且a b a2 b2 2ab a b 0 a 1 0 b 1 a a 1 0 b b 1 0 a a 1 b b 1 0 故a2 b2 a b 2 a b 1 q lg ab r 又p q p q r 答案 1 a b 2 p q r 3 分析法 1 定义从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的 把不等式证明转化为 是否具备的问题 如果能够肯定这些充分条件已经具备 那么就可以断定原不等式成立 这种证明不等式的方法叫做分析法 充分条件 判断这些充分条件 2 思路分析法的思路是 执果索因 也就是从求证的不等式出发 不断地使用充分条件代替前面要证的不等式 直到找出已知的 或已经证明过成立的 不等式 分析法适用于从条件入手很难得到条件与结论的关联的不等式证明问题 3 表现形式 要证 只要证 即时应用 1 思考 分析法与综合法有怎样的关系 提示 分析法的特点是 从 未知 看 需知 步步寻求使 未知 成立的充分条件 逐步向 已知 靠拢 综合法则是由 已知 看 可知 步步导出 已知 产生的必要条件 逐步向 未知 靠拢 综合法往往是分析法的逆过程 其表述简洁 条理清晰 故作证明题时 常常先用分析法寻求思路 再用综合法书写过程 2 比较大小 1 解析 要比较 1与 的大小 也即比较与 1的大小 也即比较与的大小 即8与4 的大小 即4与的大小 而2 成立 所以 1 答案 比较法证明不等式 方法点睛 比较法证明不等式需要注意的问题比较法证明不等式是最基本 最重要的方法 其最关键的一步是变形 1 作差法证明不等式时 常用下面三种方法对差式作变形 将差式因式分解 变为若干个因式相乘或相除的形式 将差式通过配方写成一些正 负 数的和的平方 把差式中的某一字母视为自变量 构造函数 证明函数值恒正或恒负 2 作商法证明不等式时 要特别注意首先保证不等式两边同号 然后通过合理的变形将商与1比较得出结论 提醒 在比较法中 作商比较法常用于积 商 幂 根式问题的证明 且被比较的两项最好都为正 例1 设a b 0 n为偶数 证明 解题指南 该不等式比较复杂 且不等式两边都是 和 的形式 适合用作差法比较大小 由于a b的符号不确定 故需要按a b的符号对差值的正负进行讨论 规范解答 1 当a 0 b 0时 an bn an 1 bn 1 0 ab n 0 所以 0 从而 2 当a b中有一个为负值时 不妨设a 0 b 0 因a b 0 故a b 又n为偶数 所以有 an bn an 1 bn 1 0 又 ab n 0 从而 0 即 综合 1 2 知原不等式成立 互动探究 若将本例中的 n为偶数 改为 n z 结论改为 比较与的大小 应怎样求 解析 由本例易知 当a 0 b 0时 对任意n z都有 ab n 0 an bn an 1 bn 1 0 所以 0 从而 当a b有一个为负值时 不妨设a 0 b 0 因a b 0 故a b 对任意n z都有 an bn an 1 bn 1 0 若n为偶数 则 ab n 0 从而 0 即 若n为奇数 则 ab n 0 从而 0 即 综上所述 当n为偶数时 当n为奇数时 若a 0 b 0 则 若a b有一个为负值 则 反思 感悟 利用作差法证明不等式时 关键是要根据式子的结构特征 将差式进行因式分解 如有分式还要进行通分 最后化为可以判断正负的若干个因式的积或商 以此来判断差式的符号 变式训练 已知a b为正实数 n n m n 且1 m n 求证 an bn an mbm ambn m 证明 an bn an mbm ambn m an m am bm bn m bm am am bm an m bn m 当a b时 an bn an mbm ambn m 0 即an bn an mbm ambn m 当a b 0时 am bm an m bn m 故 am bm an m bn m 0即an bn an mbm ambn m 当b a 0时 am bm an m bn m 故 am bm an m bn m 0即an bn an mbm ambn m 综上所述an bn an mbm ambn m 变式备选 已知a 0 b 0 求证 证明 即 综合法 分析法证明不等式 方法点睛 综合法 分析法证明不等式的注意事项 1 在用综合法证明不等式时 应注意选择适当的已知不等式作为依据 其中常用来作为证题依据的不等式有 若a b r 则 a 0 a2 0 a b 2 0 若a b同号 则 2 当且仅当时等号成立 若a b r 则a2 b2 a b 2 2ab 当且仅当a b时等号成立 若a b c r 则a2 b2 c2 ab bc ca a b c 2 3ab 3bc 3ca a b c 2 3a2 3b2 3c2 当且仅当a b c时上述各式等号成立 若a b x y r 则 a2 b2 x2 y2 ax by 2 当且仅当ay bx时等号成立 2 分析法的书写格式为 要证明b 只要证明b1 即证b2 只需证明a成立 而已知a成立 所以b成立 例2 1 已知a 0 b 0 c 0 且a b c不全相等 求证 a b c 2 若a b 1 且a b为正 求证 解题指南 1 本题求解思路较多 综合法 分析法都可证明 2 求解本题既可用综合法 也可用分析法 规范解答 1 方法一 分析法 要证 a b c 只要证 a b c a b c 0 只要证 bc 2 ac 2 ab 2 abc a b c 由公式知 bc 2 ac 2 2abc2 ac 2 ab 2 2a2bc bc 2 ab 2 2ab2c a b c不全相等 上面各式中至少有一个等号不成立 三式相加得 2 bc 2 ac 2 ab 2 2abc2 2a2bc 2ab2c 即 bc 2 ac 2 ab 2 abc a b c 成立 a b c成立 方法二 综合法 a 0 b 0 c 0 2c 2b 2a 又 a b c不全相等 上面三式不能全取等号 三式相加两边同除以2得 a b c 2 方法一 综合法 a b 1 2 方法二 综合法 当x y 0 时 x y 2 2 x y 2 即 a b 1 当且仅当a b 时等号成立 故不等式得证 方法三 分析法 要证 2 即证 4 即证a b 1 2 4 a b 1 故即证 1 即证ab a b 1 即证ab 只需证ab 也即证2ab a2 b2 这显然是成立的 故原不等式成立 互动探究 在本例的第 1 小题中 若本题条件不变 求证 a b c 证明 a b c都是正数 只需证a4 b4 c4 a2bc ab2c abc2 a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 c4 a4 2c2a2 又a b c不全相等 上面各式中至少有一个等号不成立 三式相加两边同除以2得 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 又a2b2 b2c2 2ab2c b2c2 c2a2 2abc2 c2a2 a2b2 2a2bc 又a b c不全相等 上面各式中至少有一个等号不成立 三式相加两边同除以2得 a2b2 b2c2 c2a2 ab2c abc2 a2bc 由 得a4 b4 c4 a2bc ab2c abc2 即 成立 所以 a b c 反思 感悟 当要证明的不等式比较复杂 两端差异难以消去或者已知条件信息太少 已知和待证之间的关系不明显时 一般可采取分析法分析思路 综合法书写过程 变式备选 已知a b c为不全相等的正数 求证 3 证明 左式 3 a b c为不全相等的正数 2 2 2 且等号不同时成立 3 3 即 3 证明不等式的其他方法 方法点睛 放缩的重要依据及方法放缩法是证明不等式的最重要方法之一 主要用于与特殊数列的和有关的证明中 放缩时一定要有目标意识 而且要把握好度 1 放缩的主要依据有 不等式的传递性 等量加不等量为不等量 同分子 分母 异分母 分子 的两个分式比较大小 2 放缩的主要方法有 添项或减项 如 调整分母如 等 例3 设 n n n 1 1 证明 a 2 证明 解题指南 本题属于若干个不同分母的分数相加 证明和在某个范围内的问题 解决这类问题一般有三类办法 对各项进行裂项求和 将和式放缩成一个等比 等差 数列求和 构造函数 利用函数单调性求范围 规范解答 1 方法一 放缩法 对任意n n n 1 a 所以a 方法二 构造法 设f n 则k n k 1时 所以f k 1 f k 从而对任意n n n 1 f n f 1 0 即a 2 即 又 反思 感悟 注意分式放缩技巧 对于一个正的分式 将分式的分子不变 分母变大 则分式变小 反之分母变小 则分式变大 将分式的分母不变 分子变大 则分式变大 反之分子变小 则分式变小 变式训练 已知正项数列 an 满足a1 a 0 a 1 且an 1 求证 1 2 证明 1 由条件得则 n 2 n n 累加得 n 1 即所以 2 0 a 1 由 1 得 满分指导 不等式证明解答题的规范解答 典例 12分 2011 安徽高考 1 设x 1 y 1 证明 2 设1 a b c 证明 logab logbc logca logba logcb logac 解题指南 1 观察待证不等式两边的结构特点可利用分析法和比较法证明 2 借助对数函数的性质和对数换底公式的知识证明 规范解答 1 由于x 1 y 1 所以要证明x y 只需证xy x y 1 y x xy 2 2分 将上式中的右式减左式 得 y x xy 2 xy x y 1 xy 2 1 xy x y x y xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 5分因为x 1 y 1 所以 xy 1 x 1 y 1 0 从而所要证明的不等式成立 6分 2 设logab x logbc y 由对数的换底公式得logca 8分于是 所要证明的不等式即为 10分其中x logab 1 y logbc 1 故由 1 成立知logab logbc logca logba logcb logac成立 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 陕西高考 设0 a b 则下列不等式中正确的是 a b c d 解析 选b 方法一 作差法 已知a b和 比较a与 因为 a a b 0 所以a 同理由b2 b b a 0 得 b 0 所以 b 综上可得a b 故选b 方法二 特殊值法 取a 2 b 8 则 4 5 所以a 2 2012 北海模拟 已知a b为非零实数 且a b 则下列命题成立的是 a a2 b2 b a2b ab2 c d 解析 选c a2 b2 a b a b 不能判断a b的正负 故不能得到a2 b2 a2b ab2 ab a b 不能判断ab的正负 故不