高中数学 4.4向量的应用配套课件 苏教版.ppt

第四节向量的应用 高考指数 1 向量在平面几何中的应用 1 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行 垂直 长度 夹角等问题 2 用向量解决常见平面几何问题的技巧 线平行 点共线利用共线向量定理 垂直问题利用数量积的运算性质 夹角问题利用夹角公式 cos 为的夹角 3 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题 即时应用 判断下列命题的正误 请在括号中填写 或 1 若则三点a b c共线 2 在 abc中 若 0 则 abc为钝角三角形 3 在 abc中 若 0 则 abc为直角三角形 4 在四边形abcd中 边ab与cd为对边 若 则此四边形为平行四边形 解析 1 因为共始点a 且故 1 正确 2 b为锐角 不能判断 abc的形状 故 2 不正确 3 b为直角 故 3 正确 4 答案 1 2 3 4 2 向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解与合成和向量的 和 相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 是力与位移的数量积 即 加法 减法 即时应用 1 已知两个力的夹角为90 它们的合力的大小为10n 合力与的夹角为60 那么的大小为 2 已知 cosx sinx cosx sinx 则函数y 的最小正周期为 解析 1 如图所示 2 cos2x 答案 1 5n 2 10n 60 向量在平面几何中的应用 方法点睛 平面几何问题的向量解法平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具 利用可以求线段的长度 利用 为与的夹角 可以求角 利用可以证明垂直 利用可以判定平行 提醒 向量关系与几何关系并不完全相同 要注意区别 例如 向量并不能说明直线ab cd 例1 2011 天津高考 已知直角梯形abcd中 ad bc adc 90 ad 2 bc 1 p是腰dc上的动点 则的最小值为 解题指南 以直角顶点为原点建立平面直角坐标系 用参数表示出点p c b a的坐标 进而表示出 然后转化为函数问题求解 规范解答 建立平面直角坐标系如图所示 设p 0 y c 0 b 则b 1 b a 2 0 则 2 y 3 1 b y 5 3b 4y 25 3b 4y 2 0 y b 当时 最小 答案 5 反思 感悟 平面几何问题的向量解法 1 坐标法把几何图形放在适当的坐标系中 就赋予了有关点与向量具体的坐标 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 这种解题方法具有普遍性 应该把它掌握好 2 基向量法适当选取一组基底 沟通向量之间的联系 利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解 变式训练 已知 abc的三边长ac 3 bc 4 ab 5 p为ab边上任意一点 则的最大值为 解析 方法一 坐标法 以c为原点 建立平面直角坐标系如图 设p点坐标为 x y 且0 y 3 0 x 4 则 x y 0 3 3y 当y 3时 取得最大值9 o a c b p 4 3 x y x y 方法二 基向量法 cos bac为正且为定值 当最小即时 取到最大值9 答案 9 变式备选 平面上有四个互异点a b c d 已知则 abc的形状是 解析 由得 abc是等腰三角形 答案 等腰三角形 向量在三角函数中的应用 方法点睛 平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路 1 命题形式 一般题目条件给出向量 其中向量的坐标中含有三角函数 然后给出向量的运算规则 按照规则得到三角函数的关系式 然后通过恒等变形 考查三角函数的图象性质 2 解题思路 此类题解题的基本思路是转化 即把向量的模或平行 垂直 条件转化为三角函数式 再利用三角函数知识求解 例2 1 已知向量x 0 则函数的值域为 2 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 向量 求sina的值 若b 2 abc的面积为3 求a 解题指南 1 利用向量的基本运算写出关于x的函数 然后求出值域 2 利用列出关于sina的方程求解 由sina b及可求出c 再由余弦定理求a 规范解答 1 g x g x 0 2 答案 0 2 2 cos2a 1 sina 2sina 6 1 2sin2a 7sina 1 sina 5sin2a 7sina 6 0 sina sina 2舍 由s abc bcsina 3 b 2 得c 5 又cosa a2 b2 c2 2bccosa 4 25 2 2 5cosa 29 20cosa 当cosa 时 a2 13 a 当cosa 时 a2 45 a 互动探究 本例 2 中若且其他条件不变 又如何求sina 解析 1 sina sin2a cosa 2sina sin2a 2 sina 0 sina 0 1 2 sina 0 sin2a 0 又a 0 2a 0 2 2a a sina 1 反思 感悟 解向量与三角函数综合题的关键把向量关系转化为向量的运算 再进一步转化为三角函数的运算 即该类题的解题关键是 转化思想方法的应用 变式备选 设 abc三个角a b c的对边分别为a b c 向量 a 2b sina 1 且 1 求角b的大小 2 若 abc是锐角三角形 cosa cosb 1 sina cosatanb 求的取值范围 解析 1 a 2b sina 1 且 a 2bsina 0 由正弦定理得sina 2sinbsina 0 0 a b c sinb 得 2 abc是锐角三角形 于是由a c b 及0 c 得a c 结合0 a a 得 a 向量在解析几何中的应用 方法点睛 向量在解析几何中的作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于给出题目条件 解决此类问题的关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 2 工具作用 利用可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较可行的方法 例3 已知两点m 1 0 n 1 0 且点p使成公差非负的等差数列 1 求点p的轨迹方程 2 若 为与的夹角 求 的最大值及此时点p的坐标 解题指南 1 设p x y 直接求点p的轨迹方程 2 先求出cos 的范围 再求 的最大值 规范解答 1 设点p的坐标为 x y 则 1 x y 1 x y 2 0 2 1 x x2 y2 1 2 1 x 依题意得 点p的轨迹方程为x2 y2 3 x 0 2 1 x y 1 x y x2 y2 1 2 0 x cos 1 0 的最大值为 此时x 0 点p的坐标为 0 反思 感悟 1 向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标 然后进行向量的运算 2 相等向量 共线向量 垂直向量的坐标形式经常用到 必须熟练掌握 变式训练 已知点p 0 3 点a在x轴上 点q在y轴的正半轴上 点m满足 0 当点a在x轴上移动时 求动点m的轨迹方程 解析 设m x y 为所求轨迹上任意一点 设a a 0 q 0 b b 0 则 a 3 x a y x b y 由 0 得a x a 3y 0 由得 x a y x b y x y b 把代入 得整理得 x 0 变式备选 平面上有三个点a 2 y b 0 c x y 若则动点c的轨迹方程为 解析 由得即y2 8x 又点b c不同 x 0 答案 y2 8x x 0 易错误区 忽视对直角位置的讨论致误 典例 2012 宿迁模拟 已知平面上三点a b c 2 k 3 2 4 1 若三点a b c不能构成三角形 求实数k应满足的条件 2 若 abc为直角三角形 求k的值 解题指南 1 三点a b c不能构成三角形 即a b c三点共线 2 对a b c谁为直角顶点进行分类讨论 规范解答 1 由三点a b c不能构成三角形 得a b c在同一直线上 即向量与平行 4 2 k 2 3 0 解得 2 2 k 3 k 2 3 abc为直角三角形 则当 bac是直角时 即 2k 4 0 解得k 2 当 abc是直角时 即 k2 2k 3 0 解得k 3或k 1 当 acb是直角时 即 16 2k 0 解得k 8 综上得k 2 1 3 8 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到如下误区警示和备考建议 1 2012 无锡模拟