高中数学 6.3不等式的解法配套课件 理 新人教A版.ppt

第三节不等式的解法 三年16考高考指数 1 掌握分式不等式及高次不等式的解法 2 掌握含参数的不等式的解法 3 掌握解不等式的综合应用 1 以选择题 填空题的形式考查二次不等式 高次不等式 分式不等式及含参数的不等式的解法 2 以解答题的形式考查含参数的不等式的解法 尤其要注意分类讨论的运用 3 与函数 三角形 向量等知识融合 形成的综合题是考查的重点 1 分式不等式的解法先将分式不等式移项 通分变形成一边为0的形式 再等价转化为整式不等式求解 即 1 0 2 h x 0 g x f x g x h x 0 g x f x g x h x 0 即时应用 1 思考 与 0等价的整式不等式是什么 提示 0 2 不等式 0的解集是 解析 原不等式等价于即x 2或1 x 2 答案 2 1 2 f x g x 0g x 0 x 1 x2 4 0 x2 4 0 2 高次不等式的解法形如a0 xn a1xn 1 akxn k an 0 0 ak r a0 0 k n n n 3 的不等式可转化为 的形式来求解 一般先在数轴上标出f x 0的根 x1 x2 xm 然后从最大根的 往下引曲线穿根 奇重根穿过 偶重根过而不穿 则数轴与曲线围成的数轴上方的区域所对应的区间即为f x 0的解集 数轴与曲线围成的数轴下方的区域所对应的区间即为f x 0的解集 其中x1 x2 xm m n 右上方 即时应用 1 思考 若不等式中某一项是高次的 比如有 x x2 n 应如何处理 提示 当n是奇数时 穿过数轴 当n为偶数时 过而不穿 2 不等式x3 x的解集是 解析 x3 x x3 x 0即x x 1 x 1 0 x 1或0 x 1 答案 1 0 1 分式不等式与高次不等式的解法 方法点睛 分式不等式与高次不等式的解法指导分式不等式与高次不等式往往结合在一起形成较为复杂的不等式 解题时要注意进行合理转化 1 分式不等式一般按照移项 通分 化为积的形式 从而转化为整式不等式求解 2 整式高次不等式在分解因式后可采用数轴标根法或根据因式的符号规律转化为不等式组进行求解 提醒 解分式不等式时 注意分母不能为零 例1 解不等式 1 x 4 x 5 2 2 x 3 0 2 解题指南 求解高次不等式 可将所求不等式转化为a x x1 x x2 x xn 0 0 的形式 然后利用 标根法 求解即可 对于求解分式不等式 可变形将一边变为零 将不等式转化为整式高次不等式 然后求解即可 规范解答 1 原不等式等价于 x 4 x 5 2 x 2 3 0 其解集如图阴影部分 原不等式的解集为 x x 5或 5 x 4或x 2 x 5 0 x 4 x 2 0 x 5x 4或x 2 5 4 0 2 2 移项整理 原不等式化为 0 x2 x 1 0恒成立 原不等式等价于 0 即 x 1 x 2 x 3 0 其解集如图阴影部分 原不等式的解集为 x 1 x 2或x 3 2 3 0 1 互动探究 如果本例 2 不等号右端的 x 改为 1 如何求解 解析 原不等式可化为 1 即 0 即 0 即 x 3 x 1 x x 0所以原不等式的解集为 x x 或 1 x 或x 3 反思 感悟 1 一元高次不等式求解 一般是先分解为n n与高次不等式的最高次有关 个一次式的积 运用数轴标根的方法求解 在标根时 对于 重根 的处理方法是 奇重根一穿而过 偶重根过而不穿 2 分式不等式求解 一般等价转化为整式不等式进行求解 但应注意分母不能为零 变式备选 解下列不等式 1 2x3 x2 15x 0 2 3 解析 1 原不等式可化为x 2x 5 x 3 0 把方程x 2x 5 x 3 0的三个根x1 0 x2 x3 3顺次标在数轴上 然后从右开始画曲线顺次经过三个根 不等式的解集如图阴影部分所示 原不等式的解集为 0 3 2 原不等式可化为 0 所以原不等式的解集为 1 2 3 4 含参数的不等式解法 方法点睛 含参数的不等式解法一般来说 解含参数的不等式时都要对参数进行分类讨论 分类标准大致有如下规律 1 一元一次不等式的一次项系数为关于参数a的代数式f a 时 需对f a 的符号进行讨论 2 一元二次不等式的二次项系数为关于参数a的代数式f a 时 首先要针对f a 的符号进行第一级的讨论 然后当f a 0时 若不容易由因式分解找到对应方程的根 则需要针对判别式的符号进行第二级的讨论 从而明确对应方程的根 最后当 0时若两根的大小关系不确定 则还需要针对两根的大小进一步作第三级的讨论 3 一元高次不等式的最高次项系数为关于参数a的代数式f a 时 对参数的讨论规律与一元二次不等式的讨论规律很类似 当然有可能不会出现对判别式的符号的讨论 但对找对应方程的根这一步可能要求更高 若原不等式能等价地变换为两个易作出图象的函数时 可利用数形结合的方法辅助求解 尤其是选择题 填空题 例2 已知函数f x a b为常数 且方程f x x 12 0有两个实根x1 3 x2 4 1 求函数f x 的解析式 2 解关于x的不等式f x 解题指南 第 1 问根据f x x 12 0的两个实根x1 x2 解方程组求得a b的值 从而得到f x 的解析式 第 2 问将不等式化简整理成分式不等式 然后通过分类讨论 求出不等式的解集 规范解答 1 将x1 3 x2 4分别代入方程 x 12 0 得解得所以f x x 2 2 由 1 知不等式即化简得 即 x 1 x 2 x k 0 当k 1时 不等式 的解为k x 1或x 2 当k 1时 不等式 的解为x 2 当1 k 2时 不等式 的解为1 x k或x 2 当k 2时 不等式 的解为1 x 2或x k 综上所述 当k 1时 原不等式的解集为 x k x 1或x 2 当k 1时 原不等式的解集为 x x 2 当1 k 2时 原不等式的解集为 x 1 x k或x 2 当k 2时 原不等式的解集为 x 1 x 2或x k 反思 感悟 解答含参数的不等式的基本方法是分类讨论 其分类标准的确定是 1 依据不等式的同解变形 即变形的前后不等式解集相同 的需要 如两边同乘以一个含有字母的代数式 则以此代数式是否大于零为分类标准 再如利用函数单调性来 脱去 函数记号时 则以此函数的单调性为分类标准 2 根据不等式的解的结构需要 如解一元二次不等式 当其对应的一元二次方程的根含有参数时 则以根的大小为分类标准 变式训练 解关于x的不等式ax2 2 2x ax a r 解析 原不等式变形为ax2 a 2 x 2 0 1 当a 0时 原不等式变为 2x 2 0 故其解集为 x x 1 2 当a 0时 不等式即为 ax 2 x 1 0 当a 0时 不等式即为 x x 1 0 故其解集为 x x 或x 1 当a 0时 不等式即为 x x 1 0 1 当 2 a 0时 1 故其解集为 x x 1 当a 2时 不等式即为 x 1 2 0 故其解集为 x x 1 当a 2时 1 故其解集为 x 1 x 综上 当a 0时 解集为 x x 1 当a 0时 解集为 x x 或x 1 当 2 a 0时 解集为 x x 1 当a 2时 解集为 x 1 x 不等式解法的综合应用 方法点睛 恒成立问题的解题策略 1 解决恒成立问题首先要分清谁是自变量 谁是参数 一般地 已知谁的范围 就把谁作为自变量 而求谁的范围 就把谁作为参数 2 对于二次不等式的恒成立问题 恒大于零也就是所对应的二次函数的图象在给定区间上全部都在横轴的上方 恒小于零则相反 3 对于一般的含参数的不等式恒成立问题 通常可采用分离参数法 即将参数移到式子的一端 求另一端所对应的函数的最大 小 值 当然 分离参数时若有多种可能 则最终参数的范围是所有情况的交集 例3 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若对所有的实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 设不等式对于满足 m 2的一切m的值都成立 求x的取值范围 解题指南 1 由于含x2项的系数含有参数 故应首先就系数m是否为零讨论 明确不等式类型 再利用恒成立问题的解法求解 2 转换思想 构造以m作为自变量的函数 利用函数的单调性求解 规范解答 1 令f x mx2 2x m 1 则f x 0对所有实数x恒成立 当m 0时 f x 2x 1 显然f x 0不恒成立 当m 0时 要使f x 0恒成立 则需 即此不等式组无解 故所求m的取值范围为 m 0 2 2 4m 1 m 0 m 0m2 m 1 0 2 方法一 设g m x2 1 m 2x 1 则由题意知g m 0对满足 m 2的一切m的值都成立 则只需即解得 x 即所求x的取值范围为 g 2 2x2 2x 3 0g 2 2x2 2x 1 0 2x2 2x 3 02x2 2x 1 0 x 或x x 方法二 原不等式可化为 x2 1 m 2x 1 当x2 1 0 即x 1时 易知若x 1 则2x 1 1 0 不等式成立 若x 1 则2x 1 3 0 不等式不成立 所以x 1符合题意 x 1不符合题意 当x2 1 0 即x 1或x 1时 m 对一切m 2 2 都成立的充要条件是 2 即解得1 x x2 1 0 2 当x2 1 0 即 1 x 1时 m 对一切m 2 2 都成立的充要条件是 2 即 解得 x 1 综上所述 x的取值范围为 x x 1 x 1 2 互动探究 本例中第 1 问改为 若对任意实数x 1 2 不等式恒成立 则m的范围又是怎样的 解析 方法一 令f x mx2 2x m 1 当m 0时 f x 2x 1 则y f x 在 1 2 上为减函数 f x max f 1 1 0 当m 0时 f x 0在x 1 2 上恒成立 当m 0时 f x 0在x 1 2 上恒成立等价于 解得m 1 0 m 1 f 1 1 0f 2 3m 3 0 当m 0时 函数y f x 图象的对称轴为x 0 故y f x 在区间 1 2 上单调递减 f x max f 1 1 0 m 0 综上 所求m的范围为 m m 1 方法二 原不等式可等价变形为 x2 1 m 2x 1 当x 1时不等式恒成立 此时m r 当x 1 即x 1 2 时 不等式变形为m 此时原不等式恒成立等价于x 1 2 时m min 设t 2x 1 则t 1 3 此时 而t 1 3 时t 2 2 故x 1 2 时 min 1 因此m 1 综上所述 对任意实数x 1 2 不等式恒成立时m的取值范围为 m m 1 反思 感悟 在以上求解中 1 例题第 1 问极易漏掉讨论m 0的情况 2 例题第 2 问的第二种解法中 易出现分类不全的情况 导致漏解 变式备选 设函数f x mx2 mx 1 1 若函数y log m 2 f x 的定义域为r 求m的取值范围 2 若函数y log m 2 2 f x 的定义域为 1 3 求m的取值范围 3 若函数y log m 2 f x 的值域为r 求m的取值范围 解析 1 由题意知m 2 0且m 2 1 即m 2且m 1 当m 0时f x 1符合条件 当m 2且m 1且m 0时 函数y log m 2 f x 的定义域为r的充要条件是解得0 m 4 故所求m的取值范围为 m 0 m 4 2 由题意知m 2且m 1 x 1 3 时2 f x mx2 mx 1 0恒成立 即mx2 mx 1 0恒成立 设g x mx2 mx 1 则当m 0时 g x 1 0显然恒成立 m 0 m2 4m 0 当m 0时 由于g 1 1 0 要使g x 0在x 1 3 上恒成立 只要g 3 0即可 即9m 3m 1 0解得 m 即0 m 当m 0时 若 m2 4m 0 则g x 0显然成立 此时 4 m 0又m 2且m 1 故 2 m 1或 1 m 0 若 0 即m 4 又m 2且m 1 故不合题意 综上可知所求m的取值范围为 m 2 m 1或 1 m 3 由题意知m 2且m 1 f x mx2 mx 1的值能取遍所有的正数 当m 0时 f x 1不合题意 当m 0时 要使f x mx2 mx 1的值能取遍所有的正数则一定有 m2 4m 0 即m 4 当m 0时 函数图象为开口向下的抛物线 函数值不可能取遍所有的正数 综上所述所求m的取值范围为 m m 4 满分指导 不等式解答题的规范解答 典例 12分 2012 桂林模拟 已知f x 是二次函数 不等式f x 0的解集为 0 5 且f x 在区间 1 4 上的最大值为12 1 求f x 在区间 1 4 上的最小值 2 解关于x的不等式 1 m 0 解题指南 1 已知f x 是二次函数 结合不等式解集与对应方程根的关系可得f x 的解析式 2 中的分式不等式要先等价转化为整式不等式 再利用含参数的整式不等式的解法求解 规范解答 1 f x 是二次函数 且f x 0的解集是 0 5 设f x ax x 5 a 0 2分 f x 在区间 1 4 上的最大值是f 1 6a 12 a 2 f x 2x x 5 2x2 10 x x 1 4 时f x min f 5分 2 由已知得 1 即