高中数学 7.5圆的方程及直线与圆的位置关系配套课件 理 新人教A版.ppt

第五节圆的方程及直线与圆的位置关系 三年11考高考指数 1 掌握圆的标准方程和一般方程 2 了解参数方程的概念 理解圆的参数方程 1 圆的方程以及直线与圆的位置关系是考查的重点 2 待定系数法 数形结合的思想 方程的思想是解决与圆有关问题的重要方法和思想 3 题型以选择题和填空题为主 重点考查圆的方程 切线 弦长等问题 1 圆的定义及方程 1 定义平面内与定点距离等于定长的点的集合 轨迹 2 方程 x a 2 y b 2 r2 a b r x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 a b r r 0 即时应用 1 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 2 圆x2 2x y2 3 0的圆心到直线x y 3 0的距离为 3 当a为任意实数时 直线 a 1 x y a 1 0恒过定点c 则以c为圆心 为半径的圆的方程为 4 圆c的参数方程为则圆心为 半径r 解析 1 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 所以a2 2a 2 4 2a2 a 1 0 解得 2 a 2 x2 2x y2 3 0的圆心坐标为 1 0 它到直线x y 3 0的距离为 3 直线方程变为 x 1 a x y 1 0 由得 c 1 2 所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 5 即 x2 y2 2x 4y 0 4 圆心为 1 1 半径r 1 答案 1 2 a 2 1 3 x2 y2 2x 4y 0 4 1 1 12 点与圆的位置关系已知圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 则 1 点在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 点在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 即时应用 1 思考 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0上 则x y dx0 ey0 f满足什么条件 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0内 则x y dx0 ey0 f满足什么条件 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0外 则x y dx0 ey0 f满足什么条件 提示 x y dx0 ey0 f 0 x y dx0 ey0 f 0 x y dx0 ey0 f 0 2 已知点a 0 0 在圆 x2 y2 2ax a2 a 2 0外 则a的取值范围是 解析 因为方程x2 y2 2ax a2 a 2 0表示圆 所以 2a 2 4 a2 a 2 0 解得 a 2 又因为点a 0 0 在圆外 所以a2 a 2 0 解得 a 2或a 1 综上可得1 a 2或a 2 答案 1 a 2或a 2 3 已知点a 1 2 在圆 x2 y2 ax 2y b 0上 且点a关于直线x y 0的对称点b也在圆上 则a b 解析 点a 1 2 关于直线x y 0的对称点为b 2 1 又因为a b两点都在圆上 所以解得答案 21 3 直线与圆的位置关系 0 1 2 无 两组相同 两组不同 即时应用 1 k 1 是 直线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的 条件 2 已知点m x0 y0 是圆x2 y2 r2 r 0 内异于圆心的一点 则直线x0 x y0y r2与此圆的位置关系是 解析 1 当k 1时 圆心到直线的距离此时直线与圆相交 若直线与圆相交 则解得所以 k 1 是 直 线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的充分不必要条件 2 因为点m x0 y0 是圆x2 y2 r2 r 0 内的一点 所以圆心到直线x0 x y0y r2的距离所以直线与圆相离 答案 1 充分不必要 2 相离 4 圆与圆的位置关系 1 设圆o1 x a1 2 y b1 2 r12 r1 0 圆o2 x a2 2 y b2 2 r22 r2 0 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解 2 图形表示 相交 外离 d 0 即时应用 1 思考 若两圆相交时 公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系 提示 两圆的方程作差 消去二次项得到关于x y的二元一次方程 就是公共弦所在的直线方程 2 判断下列两圆的位置关系 x2 y2 2x 0与x2 y2 4y 0的位置关系是 x2 y2 2x 4y 1 0与x2 y2 4x 4y 1 0的位置关系是 x2 y2 4x 2y 4 0与x2 y2 4x 2y 4 0的位置关系是 解析 因为两圆的方程可化为 x 1 2 y2 1 x2 y 2 2 4 所以 两圆圆心距而两圆的半径之和r1 r2 1 2 3 两圆的半径之差r2 r1 2 1 1 所以r2 r1 o1o2 r1 r2 即两圆相交 因为两圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 4 x 2 2 y 2 2 9 所以 两圆圆心距而两圆的半径之和r1 r2 2 3 5 o1o2 r1 r2 即两圆外切 因为两圆的方程可化为 x 2 2 y 1 2 9 x 2 2 y 1 2 1 所以 两圆圆心距而两圆的半径之差r1 r2 3 1 2 o1o2 r1 r2 即两圆内切 答案 相交 外切 内切 求圆的方程 方法点睛 1 求圆的方程的方法 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 2 确定圆心位置的方法 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在任意一弦的垂直平分线上 3 两圆相切时 切点与两圆圆心共线 例1 1 过点a 2 4 b 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程 2 求经过点a 2 4 且与直线l x 3y 26 0相切于点b 8 6 的圆的方程 解题指南 1 可设圆的方程的一般形式 利用a 2 4 b 3 1 两点在圆上及该圆在x轴上截得的弦长等于6 得出三个方程 解方程组即可确定圆的方程 2 可先设圆心坐标为c a b 由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a b的两个方程 解方程 组即可得到圆心坐标 再求出半径 得出圆的方程 也可直接求出圆心坐标 再求出半径 得出圆的方程 规范解答 1 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 将a b两点的坐标代入得再令y 0 得x2 dx f 0 设x1 x2是方程的两根 由 x1 x2 6得 d2 4f 36 因此 所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0或x2 y2 6x 8y 0 答案 x2 y2 2x 4y 8 0或x2 y2 6x 8y 0 2 方法一 设圆心坐标为c a b 依题意得 半径因此 所求圆的方程为 方法二 依题意得 圆心在ab的垂直平分线上 而ab的垂直平分线方程为 x y 4 0 又因为圆心也在过b且与直线l垂直的 直线上 而此直线方程为 3x y 18 0 解方程组以下同方法一 互动探究 本例 2 中 经过点a 2 4 改为 圆心在直线x y 4 0上 结果如何 解析 方法一 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 依题设有因此 所求圆的方程为 方法二 依题设可知 圆心也在过切点b 8 6 且与l垂直的直线上 其斜率为3 所以方程为y 6 3 x 8 即3x y 18 0 又圆心在x y 4 0上 由得圆心半径因此 所求圆的方程为 反思 感悟 1 从题组求解可以看出 确定一个圆的方程 需要三个独立的条件 选形式 定参数 是求圆的方程的基本方法 即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式 进而确定其中的三个参数 2 解答与圆有关的问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 简化运算 变式备选 已知圆心为点 2 3 一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上 则这个圆的方程是 解析 因为圆心为点 2 3 一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上 所以 直径的两个端点坐标为 4 0 0 6 所以 圆的半径为圆的方程为 x 2 2 y 3 2 13 答案 x 2 2 y 3 2 13 直线与圆的位置关系 方法点睛 1 代数法判断直线与圆的位置关系的步骤 1 将直线方程与圆的方程联立 消去x 或y 得到关于y 或x 的一元二次方程 2 求上述方程的判别式 并判断其符号 3 得出结论 2 几何法判断直线与圆的位置关系的步骤 1 求出圆心到直线的距离d 2 判断d与半径的大小关系 3 得出结论 3 直线被圆截得弦长的求法 1 代数方法 直线方程与圆的方程联立 消元转化为关于x的一元二次方程 由根与系数的关系即可求得弦长 2 几何法 设圆的半径为r 弦心距为d 弦长为l 则有 l 提醒 如果能判断直线过定点 则可由定点到圆心的距离 即点在圆内 圆上 圆外 判断直线与圆的位置关系 小于半径相交 等于半径相切或相交 大于半径相交 相切 相离都有可能 例2 1 过点p 2 4 引圆 x 1 2 y 1 2 1的切线 则切线方程为 2 若经过点a 4 0 的直线l与圆 x 2 2 y2 1有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 3 已知点p 0 5 及圆c x2 y2 4x 12y 24 0 若直线l过点p且被圆c截得的弦长为 求直线l的方程 求过点p的圆c的弦的中点的轨迹方程 解题指南 1 已知直线过点p 2 4 要求直线方程还需直线的斜率 可设直线的点斜式方程 注意斜率不存在的情况 利用待定系数法求解 2 直线与圆有公共点 即直线与圆相交或相切 利用圆心到直线的距离小于等于半径即可 3 本题求直线方程 因为直线过点p 0 5 所以只差直线的斜率 因此可利用条件求斜率 设中点的坐标 可利用条件 寻求等式 化简即得轨迹方程 规范解答 1 当直线的斜率不存在时 直线方程为x 2 此时 圆心到直线的距离等于半径 直线与圆相切 符合题意 当直线的斜率存在时 设直线方程为y 4 k x 2 即 kx y 4 2k 0 因为直线与圆相切 所以 圆心到直线的距离等于半径 即 解得 k 所以所求切线方程为 即 4x 3y 4 0 答案 x 2或4x 3y 4 0 2 由题可设直线方程为y k x 4 即 kx y 4k 0 因为直线与圆有公共点 所以 圆心到直线的距离小于或等于半径 即 解得 k 答案 3 圆c的标准方程为 x 2 2 y 6 2 16 所以圆心坐标为c 2 6 半径r 4 当斜率不存在时 直线方程为x 0 圆心到此直线的距离为2 此时弦长为符合题意 当直线l的斜率存在时 设直线方程为y kx 5 即kx y 5 0 又因为圆的半径r 4 弦长为 圆心到直线l的距离为解得 k 因此直线方程为x y 5 0 即3x 4y 20 0 综上可知 所求直线方程为x 0或3x 4y 20 0 设弦的中点为m x y 由圆的性质得 x 2 y 6 x 0 y 5 0 化简得 x2 y2 2x 11y 30 0 因此 所求轨迹方程为 x2 y2 2x 11y 30 0 互动探究 将本例 2 中条件 经过点a 4 0 的直线l 改为 在y轴上截距为 2的直线l 其他条件不变 结论如何 解析 由题可设直线方程为y kx 2 即 kx y 2 0 因为直线与圆有公共点 所以 圆心到直线的距离小于或等于半径 即 解得 反思 感悟 1 直线与圆位置关系的判断 一般有以下两种方法 方法一 几何法 利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系求解 方法二 代数法 联立直线方程与圆的方程 利用方程组的解来解决 2 求切线方程时 要注意讨论直线的斜率不存在的情况 否则容易漏解 3 第 3 小题第一问应分斜率存在与不存在两种情形考虑 该问题易忽略斜率不存在的情况 解答第二问关键是找到一个等量关系 本题利用圆心与弦的中点的连线垂直于该弦来求解 变式备选 已知圆c x 1 2 y 2 2 25 直线l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 1 是否存在一点a 对于任意的实数m 直线l恒过a点 若有 请说明理由 并求出a点坐标 2 证明 对于任意m r 直线l一定与圆c相交 3 求直线l与圆c所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程 解析 1 因为直线l的方程 2m 1 x m 1 y 7m 4 0可化为 x y 4 m 2x y 7 0 所以 该直线一定过直线x y 4 0与直线2x y 7 0的交点 即a 3 1 2 因为直线l过定点a 3 1 而圆心坐标为c 1 2 所以所以直线l一定与圆c相交 3 要使直线l与圆c所截得的弦长最短 则直线l与ac垂直 而所以kl 2 因此直线l的方程为 y 1 2 x 3 即2x y 5 0 圆心c到直线l的距离所以最短弦长为l 与圆有关的最值问题 方法点睛 与圆有关的最值问题 常见的有以下类型 1 形如型的最值问题 可转化为过点 a b 和点 x y 的直线的斜率的最值问题 2 形如t ax by型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2型的最值问题 可转化为动点到定点距离的平方的最值问题 也可利用圆的参数方程转化为三角函数的最值问题 例3 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 解题指南 充分利用所求代数式的几何意义 运用几何法求解 1 为点 x y 与原点连线的斜率 2 y x表示动直线y x b的纵截距 3 可以利用x2 y2表示点 x y 与原点的距离的平方求解 也可以利用圆的参数方程转化为三角函数的最值问题 规范解答 1 原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 为圆心 为半径的圆 的几何意义为点 x y 与原点连线的斜率 所以设 k 即y kx 当直线与圆相切时 斜率k取最大值或最小值 此时解得k 所以的最大值为 最小值为 2 y x可看作直线y x b在y轴上的截距 当直线与圆相切时 直线y x b在y轴上的截距取最大值或最小值 此时解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 3 方法一 x2 y2表示点 x y 与原点的距离的平方 由平面几何知识可知 原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值或最小值 又圆心到原点的距离为2 故 x2 y2 max 2 2 7 4 x2 y2 min 2 2 7 4 方法二 由圆的标准方程 x 2 2 y2 3 可设圆的参数方程为 为参数 则x2 y2 2 cos 2 sin 2 7 4cos x2 y2 max 7 4 x2 y2 min 7 4 反思 感悟 1 本题三问都是求代数式的最值 它们都可以利用代数式的几何意义与取最值时所满足的条件得出等式 通过解方程即可得出结论 2 解答圆的最值问题 应注意数形结合 充分运用直线的斜率 在坐标轴上的截距 几何性质 来寻找解题思路 变式训练 已知点p x y 在圆x2 y 1 2 1上运动 则的最大值为 最小值为 解析 的几何意义表示圆上的动点与 2 1 连线的斜率 所以设 k 即kx y 1 2k 0 当直线与圆相切时 斜率k取最大值或最小值 此时 解得k 所以的最大值为 最小值为 答案 变式备选 若点p x y 是圆 x 1 2 y2 1上任意一点 求 x 2 2 y 4 2的最大值 最小值 解析 方法一 x 2 2 y 4 2表示圆上的点到定点 2 4 的距离的平方 因为圆心 1 0 到点 2 4 的距离为所以 圆上的点到点 2 4 的距离的最大值为6 最小值为4 因此 x 2 2 y 4 2的最大值为36 最小值为16 方法二 因为点p x y 是圆 x 1 2 y2 1上任意一点 所以可设则 x 2 2 y 4 2 cos 3 2 sin 4 2 26 8sin 6cos 26 10sin 其中tan 故 x 2 2 y 4 2的最大值为36 x 2 2 y 4 2的最小值为16 圆与圆的位置关系 方法点睛 1 两圆公切线的条数 2 判断两圆位置关系的方法判断两圆的位置关系 可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解 提醒 利用两圆所组成的方程组的解的个数 不能判断内切与外切 外离与内含 例4 已知两圆x2 y2 2x 6y 1 0和x2 y2 10 x 12y m 0 1 m取何值时两圆外切 2 m取何值时两圆内切 此时公切线方程是什么 3 求m 45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 解题指南 1 两圆外切则有两圆圆心距等于两圆半径之和 2 两圆内切则有两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值 先求出公切线斜率 利用点到切线的距离等于半径求解 3 两圆公共弦所在直线方程为两圆的方程之差所得的直线方程 弦长可用几何法求解 规范解答 两圆的标准方程为 x 1 2 y 3 2 11 x 5 2 y 6 2 61 m 圆心分别为m 1 3 n 5 6 半径分别为 1 当两圆外切时 解得 m 25 10 2 当两圆内切时 因定圆的半径小于两圆的圆心距5 因此 有解得 因为所以两圆公切线的斜率一定为设切线方程为y x b 则有 解得 容易验证当时 直线与后一圆相交 故所求公切线方程为即4x 3y 5 13 0 3 两圆的公共弦所在直线的方程为 x2 y2 2x 6y 1 x2 y2 10 x 12y 45 0 即4x 3y 23 0 所以公共弦长为 反思 感悟 1 解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满足的圆心距与半径的几何关系求解 2 当两圆相交时 其公共弦方程可利用两圆的一般方程相减得到 变式训练 设圆c2经过点a 4 1 且与圆c1 x2 y2 2x 6y 5 0切于点b 1 2 求圆c2的方程 解析 由平面几何知识可知 c1 b c2三点共线 又bc1的方程为 x 2y 5 0 ab的垂直平分线方程为 x y 2