绵阳市高中2013级第一次诊断性考试数学(理科)及答案.doc

第 1 页 20132013 级诊断性考试级诊断性考试数学数学 理科 理科 选择题 本大题共 12小题 每小题5分 共60分 在每小题给出的四个选项中 只 有 一项是符合题目要求 1 设集合 b 0 1 2 则等于 a 0 b 0 1 c 0 1 2 d 2 命题 则是 a b c d 3 己知数列为等差数列 且 则的值为 a b c d 4 设 则 a c b ab b a c c c a bd a b c 5 函数 的零点所在的区间为 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 6 如图 在 中 ad 2db de ec 若 则 a b c d 7 设函数的部分图象如下图所示 则 力的 表达式为 a b c d 8 若函数在区间 o 1 上单调递增 且方程的根都在区间 2 2 上 则实数 b 的取值范围为 a o 4 b c 2 4 d 3 4 9 已知定义在 r 上的奇函数 x 是上的增函数 旦 f 1 2 f 2 4 设 若是的充分不必要条 件 则实数 t 的取值范围是 a b c d 10 某公司租赁甲 乙两种设备生产 a b 两类产品 甲种设备每天能生产 a 类产品 5 件 和 b 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 a 类产品 6 件和 b 类产品 20 件 已知设备甲 每天的租赁费 为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 a 类产 品 50 件 b 类产品 140 件 所需租赁费最少为 第 2 页 a 2400 元b 2300 元c 2200 元d 2000 元 11 已知函数则满足不等式 则 x 的取值范围为 a 0 3 b c d 1 3 12 已知定义在 r 上的函数 f x 满足且 当 则等于 a b c d 第 ii 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 已知向量 a 2 1 b x 2 若 a b 则 x 14 已知偶函数在上是增函数 则 n 15 已知 an 是递增数列 且对任意的都有 恒成立 则角 的取值范围是 16 设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合 m 给出下列命题 所有奇数都属于 m 若偶数 2k 及属于 m 则 若 则 把所有不属于 m 的正整数从小到大依次择成一个数列 则它的前 n 项和 其中正确命题的序 号是 写出所有正确命题的序号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 说明过程或演算步骤 17 本题满分 12 分 设向量 函数 i 求函数 f x 的最小正周期及对称轴方程 i i 当时 求函数 f x 的值域 18 本题满分 12 分 已知等差数列 an 的前 n 项和为 sn 公差 且 s3 s5 58 a1 a3 a7成等比数列 i 求数列 an 的通项公式 i i 若 bn 为等比数列 且记 求t10值 第 3 页 19 本题满分 12 分 己知二次函数 y f x 的图像过点 1 4 且不等式 f x 0 i 求证 数列 an 为等比数列 ii 若数列 an 的公比 q f t 数列 bn 满足 求数列 bn 的通项公式 iii 设 对 ii 中的数列 bn 在数列 an 的任意相邻两项 ak与 ak 1之间插 入 k 个后 得到一个新的数列 记此数列为 cn 求数列 cn 的前 2012 项之和 22 本题满分 14 分 己知函数在 c 2 处的切线斜率为 i 求实数 a 的值及函数 f x 的单调区间 ii 设 对使得 成 立 求正实数的取值范围 iii 证明 第 5 页 高 2013 级第一次诊断性考试 数学 理 参考解答及评分标准 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 bcbcc aaddb ab 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 4 14 2 15 45 02 33 16 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 f x a b cos2x 1 1 3sin2x 3sin2x cos2x 2 sin 2x 6 6 分 最小正周期 2 2 t 令 2x 6 2 k k z 解得 x 26 k k z 即 f x 的对称轴方程为 x 26 k k z 8 分 当 x 0 2 时 即 0 x 2 可得 6 2x 6 7 6 当 2x 6 2 即 x 6 时 f x 取得最大值 f 6 2 当 2x 6 7 6 即 x 2 时 f x 取得最小值 f 2 1 即 f x 的值域为 1 2 12 分 18 解 由 s3 s5 58 得 3a1 3d 5a1 10d 8a1 13d 58 a1 a3 a7成等比数列 a32 a1a7 即 a1 2d 2 a1 a1 6d 整理得 a1 2d 代入 得 d 2 a1 4 an 2n 2 6 分 由 知 a8 18 b5 b6 b4 b7 2b5 b6 18 解得 b5 b6 9 t10 log3b1 log3b2 log3b3 log3b10 log3 b1 b10 log3 b2 b9 log3 b5 b6 5log3 b5 b6 5log39 10 12 分 19 解 由已知 y f x 是二次函数 且 f x 0 的解集是 0 5 可得 f x 0 的两根为 0 5 于是设二次函数 f x ax x 5 代入点 1 4 得 4 a 1 1 5 解得 a 1 f x x x 5 4 分 h x 2f x g x 2x x 5 x3 4k 10 x 5 x3 2x2 4kx 5 于是 2 344h xxxk h x 在 4 2 上单调递增 在 2 0 上单调递减 x 2 是 h x 的极大值点 2 2 3 2 4 2 40hk 解得 k 1 6 分 h x x3 2x2 4x 5 进而得 2 344h xxx 令 2 2 3443 2 0 3 h xxxxx 得 12 2 2 3 xx 由下表 x 3 2 2 2 2 3 2 3 2 3 1 第 6 页 h x 0 0 h x 极大 极小 可知 h 2 2 3 2 2 2 4 2 5 13 h 1 13 2 12 4 1 5 4 h 3 3 3 2 3 2 4 3 5 8 h 2 3 2 3 3 2 2 3 2 4 2 3 5 95 27 h x 的最大值为 13 最小值为 95 27 12 分 20 解 asina a b sinb csinc 由正弦定理 sinsinsin abc abc 得 22 aab bc 即 222 abcab 由余弦定理得 222 1 cos 22 abc c ab 结合0c 得 3 c 6 分 由 c a b 得 sinc sin b a sinbcosa cosbsina sinc sin b a 3sin2a sinbcosa cosbsina sinbcosa cosbsina 6sinacosa 整理得 sinbcosa 3sinacosa 8 分 若 cosa 0 即 a 2 时 abc 是直角三角形 且 b 6 于是 b ctanb 2tan 6 2 3 3 s abc 1 2 bc 2 3 3 10 分 若 cosa 0 则 sinb 3sina 由正弦定理得 b 3a 联立 结合 c 2 解得 a 2 7 7 b 6 7 7 s abc 1 2 absinc 1 2 2 7 7 6 7 7 3 2 3 3 7 综上 abc 的面积为 2 3 3 或 3 3 7 12 分 21 解 当 t 1 时 2an 2 0 得 an 1 于是数列 an 为首项和公比均为 1 的等比数列 1 分 当 t 1 时 由题设知 t 1 s1 2ta1 t 1 解得 a1 1 由 t 1 sn 2tan t 1 得 t 1 sn 1 2tan 1 t 1 两式相减得 t 1 an 1 2tan 1 2tan 1 2 1 n n at at 常数 数列 an 是以 1 为首项 2 1 t t 为公比的等比数列 4 分 q f t 2 1 t t b1 a1 1 bn 1 2 1 f bn 1 n n b b 1 111 1 n nnn b bbb 数列 1 n b 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 于是 1 n n b 1 n b n 8 分 iii 当 t 1 3 时 由 i 知 an 1 1 2 n 于是数列 cn 为 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 1 2 设数列 an 的第 k 项是数列 cn 的第 mk项 即 ak k m c 当 k 2 时 mk k 1 2 3 k 1 1 2 k k m62 6263 1953 2 m63 63 64 2016 2 设 sn表示数列 cn 的前 n 项和 第 7 页 则 s2016 1 1 2 2 1 2 62 1 2 1 1 2 2 2 1 3 3 3 1 62 62 62 显然 1 1 2 2 1 2 62 1 2 63 62 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2n 2 2n 1 2 4n 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 1 62 62 62 1 22 32 42 52 62 612 622 2 1 2 1 4 3 4 3 6 5 6 5 62 61 62 61 3 7 11 123 31 3 123 2 1953 s2016 62 1 2 2 1953 1955 62 1 2 s2012 s2016 c2016 c2015 c2014 c2013 1955 62 1 2 62 1 2 62 62 62 1769 61 1 2 即数列 cn 的前 2012 项之和为 1769 61 1 2 12 分 22 解 由已知 1 fxa x 由题知 11 2 22 fa 解得 a 1 于是 11 1 x fx xx 当 x 0 1 时 0fx f x 为增函数 当 x 1 时 0fx f x 为减函数 即 f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 5 分 由 x1 0 f x1 f 1 0 即 f x1 的最大值为 0 由题知 对 x1 0 x2 0 使得 f x1 g x2 成立 只须 f x max g x max 2 2 xkxk g x x 2 k xk x 2 k xk x 22kk 只须kk22 0 解得 k 1 10 分 要证明 2 222 ln2ln3ln21 234 1 nnn nn n n n 2 只须证 2 222 2ln22ln32ln21 232 1 nnn nn 只须证 2222 222